北師大版 九年級上冊第四章《45相似三角形判定定理證明》課件

北師大版數(shù)學九年級上冊第四章圖形的相似4.5相似三角形定理證明北師大版數(shù)學九年級上冊第四章圖形的相似1．了解相似三角形判定定理的證明過程，知道構(gòu)造全等三角形是一種有效的證明方法．2．進一步掌握相似三角形的三個判定定理．學習目標1．了解相似三角形判定定理的證明過程，知道構(gòu)造全等三角形是一我們已經(jīng)學習過相似三角形的判定定理有哪些？你能證明它們一定成立嗎？答：相似三角形的判定定理有：(1)兩角分別相等的兩個三角形相似；(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；(3)三邊成比例的兩個三角形相似．回顧舊知我們已經(jīng)學習過相似三角形的判定定理有哪些？你能證明它們一定成知識模塊一相似三角形判定定理的證明(一)自主探究如圖，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，

，求證：△ABC∽△A1B1C1.證明的主要思路是，在邊AD上截取AD＝_______，作DE∥______，交AC于E，在△ABC中構(gòu)造△ADE∽△ABC，再通過比例式得AE＝______，證△A1B1C1______△ADE，從而得到△A1B1C1∽△ABC.A1B1BCA1C1≌探究新知知識模塊一相似三角形判定定理的證明(一)自主探究如圖，已知定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求證：△ABC∽△A'B'C'．A′B′C′ABC(二)合作探究定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.已知：如圖，在△AB證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A'B',AE=A'C'，連結(jié)DE。ABCA'

C'

B'

DE∵AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'∴ΔADE≌ΔA'B'C'，∴∠ADE=∠B'，又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC?！唳'B'C'∽ΔABC證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A'B',A如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點D，使A′D=AB．過點D作DE∥B′C′，交A′C′于點E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴∴A′E=AC.BACDEB'A'C'∵A′D=定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A'B'C'中，求證：△ABC∽△A'B'C'.A′B′C′ACEDB定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC∴C′B′A′證明:在線段AB(或延長線)上截取AD=A′B′，過點D作DE∥BC交AC于點E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又，AD=A′B′，∴，.

∴C′B′A′證明:過點D作DE∥BC交AC于點知識模塊二相似三角形判定定理的應(yīng)用1．在△ABC與△A′B′C′中，有下列條件：(一)自主探究③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有(

)A．1組B．2組C．3組

D．4組C知識模塊二相似三角形判定定理的應(yīng)用1．在△ABC與△A′B2．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試證明：△ABF∽△EAD.證明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.2．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F例已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD、AD，分析：由已知條件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要證的△DBE和△ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，可再找一對角相等，或

以BC為邊在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，連接DE.求證：△DBE∽△ABC.者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例．從已知條件中可看到△CBE∽△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決．例已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD、AD，分析：由已證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴△DBE∽△ABC.∴∠DBE＝∠ABC且證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，在△DBE練習1.如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點，AE=BF=CD，那么△ABC與△DEF相似嗎？請證明你的結(jié)論.答：相似．證明：△ABC為等邊三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，則△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.△EDF為等邊三角形．∴△DEF∽△ABC.練習1.如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的2.已知：如圖，在△ABC中，D是AC上的一點，∠CBD的平分線角AC于E點，且AE=AB.求證AE2＝AD·AC.證明：∵BE為∠DBC平分線，∴∠DBE＝∠EBC.又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∵AB＝AE，即AE2＝AD·AC.∴△ABD∽△ACB.2.已知：如圖，在△ABC中，D是AC上的一點，∠CBD的1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點上，這塊三角板繞O點旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運動過程中，△OEF與△ABC的關(guān)系是（）課堂練習A．一定相似B．當E是AC中點時相似C．不一定相似D．無法判斷A1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板2．如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=

BC．圖中相似三角形共有（）A．1對B．2對C．3對D．4對C2．如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，3．如圖，△ABC中，AB＞AC，D，E兩點分別在邊AC，AB上，且DE與BC不平行．請?zhí)钌弦粋€你認為合適的條件：

，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和線段；只填一個條件?。螩=∠23．如圖，△ABC中，AB＞AC，D，E兩點分別在邊AC，A4．如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC，下列結(jié)論中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正確的序號是

．①②4．如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC，下5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求證：△ABD∽△CBE.5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于證明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.證明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，6．如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求證：△ABD∽△CBA.6．如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，AB＝2，BD＝1，證明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，∴AB2＝4，BD·BC＝1×(1＋3)＝4.∴AB2＝BD·BC.而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.證明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，而∠ABD＝∠CBA.7.如圖，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,動點P從點A開始沿AB邊行動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度4cm/s，如果P,Q兩動點同時運動，那么何時△PBQ與△ABC相似？7.如圖，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,動點P解：設(shè)t秒后△PBQ與△ABC相似，①△PBQ∽△ABC，解得t＝2s.②當△PBQ∽△CBA，解得t＝0.8s.答：0.8s或2s時，△QBP與△ABC相似．解：設(shè)t秒后△PBQ與△ABC相似，解得t＝2s.②當△PB相似三角形判定定理的證明定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.定理的運用定理證明定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.總結(jié)新知相似三角形判定定理的證明定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似再見再見北師大版數(shù)學九年級上冊第四章圖形的相似4.5相似三角形定理證明北師大版數(shù)學九年級上冊第四章圖形的相似1．了解相似三角形判定定理的證明過程，知道構(gòu)造全等三角形是一種有效的證明方法．2．進一步掌握相似三角形的三個判定定理．學習目標1．了解相似三角形判定定理的證明過程，知道構(gòu)造全等三角形是一我們已經(jīng)學習過相似三角形的判定定理有哪些？你能證明它們一定成立嗎？答：相似三角形的判定定理有：(1)兩角分別相等的兩個三角形相似；(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；(3)三邊成比例的兩個三角形相似．回顧舊知我們已經(jīng)學習過相似三角形的判定定理有哪些？你能證明它們一定成知識模塊一相似三角形判定定理的證明(一)自主探究如圖，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，

，求證：△ABC∽△A1B1C1.證明的主要思路是，在邊AD上截取AD＝_______，作DE∥______，交AC于E，在△ABC中構(gòu)造△ADE∽△ABC，再通過比例式得AE＝______，證△A1B1C1______△ADE，從而得到△A1B1C1∽△ABC.A1B1BCA1C1≌探究新知知識模塊一相似三角形判定定理的證明(一)自主探究如圖，已知定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求證：△ABC∽△A'B'C'．A′B′C′ABC(二)合作探究定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.已知：如圖，在△AB證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A'B',AE=A'C'，連結(jié)DE。ABCA'

C'

B'

DE∵AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'∴ΔADE≌ΔA'B'C'，∴∠ADE=∠B'，又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA'B'C'∽ΔABC證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A'B',A如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點D，使A′D=AB．過點D作DE∥B′C′，交A′C′于點E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴∴A′E=AC.BACDEB'A'C'∵A′D=定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A'B'C'中，求證：△ABC∽△A'B'C'.A′B′C′ACEDB定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.已知：如圖，在△ABC∴C′B′A′證明:在線段AB(或延長線)上截取AD=A′B′，過點D作DE∥BC交AC于點E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又，AD=A′B′，∴，.

∴C′B′A′證明:過點D作DE∥BC交AC于點知識模塊二相似三角形判定定理的應(yīng)用1．在△ABC與△A′B′C′中，有下列條件：(一)自主探究③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有(

)A．1組B．2組C．3組

D．4組C知識模塊二相似三角形判定定理的應(yīng)用1．在△ABC與△A′B2．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試證明：△ABF∽△EAD.證明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.2．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F例已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD、AD，分析：由已知條件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要證的△DBE和△ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，可再找一對角相等，或

以BC為邊在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，連接DE.求證：△DBE∽△ABC.者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例．從已知條件中可看到△CBE∽△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決．例已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD、AD，分析：由已證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴△DBE∽△ABC.∴∠DBE＝∠ABC且證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，在△DBE練習1.如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點，AE=BF=CD，那么△ABC與△DEF相似嗎？請證明你的結(jié)論.答：相似．證明：△ABC為等邊三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，則△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.△EDF為等邊三角形．∴△DEF∽△ABC.練習1.如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的2.已知：如圖，在△ABC中，D是AC上的一點，∠CBD的平分線角AC于E點，且AE=AB.求證AE2＝AD·AC.證明：∵BE為∠DBC平分線，∴∠DBE＝∠EBC.又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∵AB＝AE，即AE2＝AD·AC.∴△ABD∽△ACB.2.已知：如圖，在△ABC中，D是AC上的一點，∠CBD的1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點上，這塊三角板繞O點旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運動過程中，△OEF與△ABC的關(guān)系是（）課堂練習A．一定相似B．當E是AC中點時相似C．不一定相似D．無法判斷A1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板2．如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=

BC．圖中相似三角形共有（）A．1對B．2對C．3對D．4對C2．如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，3．如圖，△ABC中，AB＞AC，D，E兩點分別在邊AC，AB上，且DE與BC不平行．請?zhí)钌弦粋€你認為合適的條件：

，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和線段；只填一個條件?。螩=∠23．如圖，△ABC中，AB＞AC，D，E兩點分別在邊AC，A4．如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC，下列結(jié)論中：