2020-2021學年新教材高中數學124二面角課件新人教B版選擇性必修第一冊

1.2.4

二面角1.2.4二面角核心素養(yǎng)

1.掌握二面角的概念.(數學抽象)2.理解二面角的平面角的含義.(直觀想象、邏輯推理)3.會用向量法解決二面角的計算問題.(數學運算)思維脈絡核心素養(yǎng)1.掌握二面角的概念.(數學抽象)思維脈絡激趣誘思知識點撥地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面的交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓稱為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內的區(qū)域稱為黃道帶,太陽及大多數行星在天球上的位置常在黃道帶內.黃道帶內有十二個星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是星座的由來.激趣誘思知識點撥地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”,黃道激趣誘思知識點撥1.二面角及其度量

激趣誘思知識點撥1.二面角及其度量激趣誘思知識點撥微練習在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA與平面BCDA所成二面角的大小為

.

答案:45°微思考兩個平面相交時,它們所成角的取值范圍是什么?提示:(0°,90°]激趣誘思知識點撥微練習激趣誘思知識點撥2.用空間向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個法向量,設α1與α2所成角的大小為θ,則有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特別地,sinθ=sin<n1,n2>.(2)設二面角α-l-β為θ,平面α,β的法向量分別為n1,n2,激趣誘思知識點撥2.用空間向量求二面角的大小激趣誘思知識點撥名師點析

利用公式cos<n1,n2>=(n1,n2分別為兩平面的法向量)進行求解,注意<n1,n2>與二面角大小的關系,是相等還是互補,需結合圖形進行判斷.如圖(2)(4)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的補角;如圖(1)(3)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角.激趣誘思知識點撥名師點析利用公式cos<n1,n2>=激趣誘思知識點撥微判斷(1)二面角的大小就是該二面角兩個半平面的法向量的夾角.(

)(2)若二面角兩個半平面的法向量的夾角為120°,則該二面角的大小等于60°或120°.(

)答案:(1)×

(2)√激趣誘思知識點撥微判斷激趣誘思知識點撥微練習在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的角的余弦值為(

)激趣誘思知識點撥微練習激趣誘思知識點撥解析:答案:B激趣誘思知識點撥解析:答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測二面角的平面角問題例1如圖所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,從而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂線定理作出二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測二面角的平面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC,交線為AC.作BD⊥AC于D點,據面面垂直性質定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E點,連接BE,據三垂線定理,則BE⊥PA,從而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.設PC=a,依題意知△ABC是邊長為a的正三角形,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法來求解.2.二面角的定義求法主要有:(1)由定義作出二面角的平面角;(2)利用三垂線定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟1.本題解法使用了三垂探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1

如圖,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:設平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面PAOB.又∵OA?平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四邊形PAOB中,∠AOB=120°,∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測利用空間向量求二面角例2如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測利用空間向量求二面角探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因為AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)解:因為四棱柱的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O為原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.設棱長為2,因為∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),平面CB1D的一個法向量為n=(0,1,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:因為四邊形ACC1A探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

利用向量方法求二面角的大小時,多采用求法向量的方法,即求出兩個面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時,要注意結合圖形觀察分析,確定二面角是銳二面角還是鈍二面角,不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用向量方法求二面角的探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

如果本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究如果本例條件不變,求二探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖所示,在幾何體S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD與平面SAB所成角的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖所示,在幾何體S-探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖,過點D作DC的垂線交SC于E,以D為原點,以DC,DE,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,∴點S到y(tǒng)軸的距離為1,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖,過點D作DC的垂線交S探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測用逆向思維解決二面角問題案例

如圖,已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,點P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點,證明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為,求四面體ADPQ的體積.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測用逆向思維解決二面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:由題設知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則相關各點的坐標為A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測歸納提升此類問題屬于結論探索類問題.解決此類問題要注意分析題目的整體結構,在此基礎上建立空間直角坐標系,引入參數,將所求問題先轉化為一個含參數的方程問題,參數確定后其他問題就迎刃而解.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測歸納提升此類問題屬于結論探索類問探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知平面α內有一個以AB為直徑的圓,PA⊥α,點C在圓周上(異于點A,B),點D,E分別是點A在PC,PB上的射影,則(

)A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知平面α內有一個以AB為直探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為(

)A.45°

B.135°C.45°或135°

D.90°答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知兩平面的法向量分別為m=探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測5.在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD.SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD與平面SAB所成角的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測5.在底面為直角梯形的四棱錐S-1.2.4

二面角1.2.4二面角核心素養(yǎng)

1.掌握二面角的概念.(數學抽象)2.理解二面角的平面角的含義.(直觀想象、邏輯推理)3.會用向量法解決二面角的計算問題.(數學運算)思維脈絡核心素養(yǎng)1.掌握二面角的概念.(數學抽象)思維脈絡激趣誘思知識點撥地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面的交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓稱為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內的區(qū)域稱為黃道帶,太陽及大多數行星在天球上的位置常在黃道帶內.黃道帶內有十二個星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是星座的由來.激趣誘思知識點撥地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”,黃道激趣誘思知識點撥1.二面角及其度量

激趣誘思知識點撥1.二面角及其度量激趣誘思知識點撥微練習在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA與平面BCDA所成二面角的大小為

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答案:45°微思考兩個平面相交時,它們所成角的取值范圍是什么?提示:(0°,90°]激趣誘思知識點撥微練習激趣誘思知識點撥2.用空間向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個法向量,設α1與α2所成角的大小為θ,則有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特別地,sinθ=sin<n1,n2>.(2)設二面角α-l-β為θ,平面α,β的法向量分別為n1,n2,激趣誘思知識點撥2.用空間向量求二面角的大小激趣誘思知識點撥名師點析

利用公式cos<n1,n2>=(n1,n2分別為兩平面的法向量)進行求解,注意<n1,n2>與二面角大小的關系,是相等還是互補,需結合圖形進行判斷.如圖(2)(4)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的補角;如圖(1)(3)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角.激趣誘思知識點撥名師點析利用公式cos<n1,n2>=激趣誘思知識點撥微判斷(1)二面角的大小就是該二面角兩個半平面的法向量的夾角.(

)(2)若二面角兩個半平面的法向量的夾角為120°,則該二面角的大小等于60°或120°.(

)答案:(1)×

(2)√激趣誘思知識點撥微判斷激趣誘思知識點撥微練習在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的角的余弦值為(

)激趣誘思知識點撥微練習激趣誘思知識點撥解析:答案:B激趣誘思知識點撥解析:答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測二面角的平面角問題例1如圖所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,從而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂線定理作出二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測二面角的平面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC,交線為AC.作BD⊥AC于D點,據面面垂直性質定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E點,連接BE,據三垂線定理,則BE⊥PA,從而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.設PC=a,依題意知△ABC是邊長為a的正三角形,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法來求解.2.二面角的定義求法主要有:(1)由定義作出二面角的平面角;(2)利用三垂線定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟1.本題解法使用了三垂探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1

如圖,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:設平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面PAOB.又∵OA?平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四邊形PAOB中,∠AOB=120°,∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測利用空間向量求二面角例2如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測利用空間向量求二面角探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因為AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)解:因為四棱柱的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O為原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.設棱長為2,因為∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),平面CB1D的一個法向量為n=(0,1,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:因為四邊形ACC1A探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

利用向量方法求二面角的大小時,多采用求法向量的方法,即求出兩個面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時,要注意結合圖形觀察分析,確定二面角是銳二面角還是鈍二面角,不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用向量方法求二面角的探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

如果本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究如果本例條件不變,求二探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖所示,在幾何體S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD與平面SAB所成角的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖所示,在幾何體S-探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖,過點D作DC的垂線交SC于E,以D為原點,以DC,DE,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,∴點S到y(tǒng)軸的距離為1,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖,過點D作DC的垂線交S探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測用逆向思維解決二面角問題案例

如圖,已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,點P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點,證明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為,求四面體ADPQ的體積.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測用逆向思維解決二面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:由題設知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以