高中數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)重溫之(16)雙曲線及其性質(zhì)doc

-.z.2011屆高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之雙曲線及其性質(zhì)1．方程表示雙曲線<0，雙曲線的焦點(diǎn)位置取決于,的正負(fù)：假設(shè)>0,<0，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，a2=,b2=-,焦點(diǎn)在*軸上；假設(shè)<0,>0，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，a2=,b2=-，焦點(diǎn)在y軸上。[舉例]是常數(shù)，假設(shè)雙曲線的焦距與的取值無(wú)關(guān)，則的取值范圍是：〔〕A．-2<≤2B．>5C．-2<≤0D．0≤<2解析：方程表示雙曲線(-5)(2-||)<0-2<≤0或0<<2或>5；當(dāng)-2<≤0時(shí)，方程為：，a2=2+，b2=5-，則c2=7與無(wú)關(guān)；當(dāng)0<<2時(shí)，方程為：，a2=2-，b2=5-，則c2=7-2與有關(guān)；當(dāng)>5時(shí)，方程為：，a2=-5，b2=-2，則c2=2-7，與有關(guān)；應(yīng)選C。[穩(wěn)固1]假設(shè)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則它的半焦距c的取值范圍是。[穩(wěn)固2]雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則A．B．C．D．2．雙曲線關(guān)于*軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；P(*,y)是雙曲線上一點(diǎn)，則|*|≥a,y∈R，雙曲線的焦準(zhǔn)距為，雙曲線的通經(jīng)〔過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦〕長(zhǎng)為2；過(guò)焦點(diǎn)的弦中，端點(diǎn)在同一支上時(shí)通經(jīng)最短，端點(diǎn)在兩支上時(shí)實(shí)軸最短。等軸雙曲線的離心率為，漸近線方程為；反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)的等軸雙曲線，漸近線為兩坐標(biāo)軸，對(duì)稱軸為直線。[舉例1]雙曲線的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右準(zhǔn)線與*軸的交點(diǎn)，依次為 O、F、A、H，當(dāng)|HF|≥|AF|時(shí)，的最大值為。解析：|HF|=，|AF|=c-a,∴≥(c-a)≥c≤2ae≤2==e-,記f(e)=e-,函數(shù)f(e)在〔1，2上遞增，∴f(e)≤f(2)=.[舉例2]函數(shù)的圖象是平面上到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，則這個(gè)定長(zhǎng)為．解析：雙曲線的實(shí)軸所在的直線為y=*，實(shí)軸與雙曲線的交點(diǎn)即頂點(diǎn)為A1〔1，1〕和A2〔-1，-1〕，2a=|A1A2|=2,此即"定長(zhǎng)〞。注：我們可以再由等軸雙曲線的性質(zhì)得：c=2,進(jìn)而得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔-，-〕，〔，〕。[穩(wěn)固1]雙曲線的右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，且=0，則雙曲線的離心率為〔〕A．B．C．2D．[穩(wěn)固2]過(guò)雙曲線2*2-y2=2的右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)|AB|=4，則這樣的直線有條。[遷移]雙曲線的實(shí)軸A1A2，虛軸為B1B2，將坐標(biāo)系的右半平面沿y軸折起，使雙曲線的右焦點(diǎn)F2折至點(diǎn)F，假設(shè)點(diǎn)F在平面A1B1B2內(nèi)的射影恰好是該雙曲線左頂點(diǎn)A1，則直線B1F與平面A1B1B23.熟悉雙曲線的漸近線的幾何特征〔無(wú)限接近雙曲線但與雙曲線不相交〕和代數(shù)特征〔漸近線方程是雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的"1”換為"0”〕；平行于漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切〔表達(dá)在代數(shù)上：直線方程代入曲線方程得到的是一次方程〕。漸近線方程為：，則雙曲線方程為：，其中是待定的參數(shù)〔漸近線不能唯一地確定雙曲線〕。雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半虛軸長(zhǎng)b。[舉例1]雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為：A．B．C． D．〔〕解析：雙曲線的漸近線方程為：即y=±*，〔≥0〕∴=，雙曲線方程為：，離心率為，選B。[舉例2]雙曲線的右焦點(diǎn)為F，假設(shè)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：根據(jù)雙曲線的圖形特點(diǎn)知，雙曲線漸近線的傾角大于或等于600時(shí)，過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為600的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，于是有≥c2-a2≥3a2,得e≥2。[穩(wěn)固1]與雙曲線有共同漸近線，且過(guò)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是：〔〕A．B． C． D．[穩(wěn)固2]曲線C：*2-y2=1,(*≤0)上一點(diǎn)P〔a,b〕到它的一條斜率為正的漸近線的距離為它的離心率，則a+b的值是；曲線C的左焦點(diǎn)為F，M〔*,y〕(y≤0)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MF的傾角的范圍是.[遷移]曲線C：與直線y=k*+1有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是。4．研究雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí)，往往用定義；關(guān)注定義中的"絕對(duì)值〞，由此導(dǎo)致一個(gè)點(diǎn)在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的。[舉例1]向量=(,),=(,-)，雙曲線·=1上一點(diǎn)M到F(7,0)的距離為11，N是MF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|ON|=A．B．C．D．或解析：雙曲線方程為：，左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F(7,0)的距離的最小值為12，∴M是雙曲線右支上的點(diǎn)，記左焦點(diǎn)為F/，則|MF/|-|MF|=2a，即|MF/|=21，在⊿MFF/中，ON中位線，∴|ON|=，應(yīng)選C。注：此題中，假設(shè)將M到F(7,0)的距離換為13，將有兩種情況〔M可能在雙曲線的右支上，也可能在左支上〕。*YF1F2QMPO[舉例2]設(shè)雙曲線*YF1F2QMPO為F1、、F2，點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F2作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為M，則M點(diǎn)軌跡是〔〕A．橢圓的一局部；B．雙曲線的一局部；C．拋物線的一局部；D．圓的一局部解析：不妨設(shè)Q在雙曲線的右支，延長(zhǎng)F2M交QF1于P，在⊿QF1F2中，QM既是角平分線又是高，故|QP|=|QF2又|QF1|-|QF2|=2a，∴|QF1|-|QP|=2a即|PF1|=2a，在⊿PF1F2中，MO是中位線，∴|MO∴M點(diǎn)軌跡是圓的一局部，選D。[穩(wěn)固1]點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在其右準(zhǔn)線上，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點(diǎn)，且滿足：，=，則此雙曲線的離心率為。[穩(wěn)固2]F1，F(xiàn)2分別為雙曲線〔>0,>0〕左右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，假設(shè)最小值為8，則雙曲線的離心率e的取值范圍是。[遷移]P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(*+5)2+y2=4和(*-5)2+y2=1上的點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最大值為〔〕A．6B．7C5．研究雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形〔焦點(diǎn)三角形〕問(wèn)題時(shí)，在運(yùn)用定義的同時(shí)還經(jīng)常用到正、余弦定理。[舉例1]雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1、、F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|+|PF2|=2，則⊿PF1F2的面積為〔〕A．B．1C解析：不妨設(shè)F1、、F2是雙曲線的左右焦點(diǎn)，P為右支上一點(diǎn)，|PF1|-|PF2|=2①|(zhì)PF1|+|PF2|=2②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=-，得：|PF1|2+|PF2|2=4+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分別平方后作差得：|PF1||PF2|=2，選B。[舉例2]等軸雙曲線*2-y2=a2,(a>0)上有一點(diǎn)P到中心的距離為3，則點(diǎn)P到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之積等于。解析：由"平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和〞得：2〔|PF1|2+|PF2|2〕=36+4c2,又c2=2a2，得|PF1|2+|PF2|2=18+4a2①，而||PF1|-|PF2||=2a②由①-②2得：|PF1||PF2|=9。[穩(wěn)固1]橢圓與雙曲線〔>0,>0〕具有一樣的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為Q，∠QF1F2=900，則雙曲線的離心率為。[穩(wěn)固2]雙曲線兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，直線PF1，PF2傾斜角之差為則△PF1F2面積為：A．16 B．32 C．32 D．42[提高]設(shè)雙曲線〔a，b＞0〕兩焦點(diǎn)為F1、、F2，點(diǎn)P為雙曲線右支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，則⊿PF1F2的內(nèi)心的橫坐標(biāo)為