2020年四川省達州市高考數(shù)學一診試卷(理科)

第第7頁(共13頁)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.第5頁(共13頁)【答案】A【解析】由題意得：B(—6,0),C(6,0),|BC|=12;而|/C|=8，由雙曲線的定義得TOC\o"1-5"\h\z匚,102+122—823sinBIACI2|/B|=2a+|/C|=2+8=10;在MBC中，cosB=2：；爲8=4；而=d=，所以2°丄u?丄24sinA|bc|3sin2B2sinBcosB23==2x—X_=1.sinAsinA34故選A．【點評】本題考查雙曲線的定義與方程，正余弦定理，二倍角公式，是中檔題．12.過拋物線C：y2=4x焦點的直線交該拋物線C于點A,B,與拋物線C的準線交于點P,【點睛】聯(lián)立直線PB與拋物線，由韋達定理求解，用坐標表示鬲?用，再求最值.【答案】C【解析】由題意得拋物線C的焦點為(1,0);設(shè)PB為y=k(x-1)，A(x1，yj,B(x2，2門+4尹2),聯(lián)立直線PB與拋物線的方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，所以X]+x2=―2—,X]X2=1，k2TOC\o"1-5"\h\z2k2+44y1y2=-4，，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=k一-2k=v；又因為AB與拋K2代物線C的準線交于點P，所以P(-1，-2k);所以?PB=(X]+1，_y1+2k)?(x2+1，y2+2k)2^2+4,、44=x1x2+x1+x2+1+y1y2+2k(y1+y2)+4k2=1+-1+(-4)+2kx-+4k2=4k2+—-+8，即k2Kk2PA?PB=4k2+—+8>2^4k2x—+8=16(當且僅當k=-1時取“=”)，所以內(nèi)?用的最小以7以值是16，故選C.【點評】本題考查直線與拋物線相交問題，平面向量的數(shù)量積，是中檔題.

13.已知隨機變量y與x有相關(guān)關(guān)系y=2x+1,當x=3時，y的預報值為.【點睛】直接在回歸方程中取x=3求得y值.【答案】7【解析】因為y與x有相關(guān)關(guān)系y=2x+1，所以x=3時，y的預報值為2x3+1=7.故答案為7.【點評】本題考查線性回歸方程，是基礎(chǔ)題.314?復數(shù)齊的實部為.2+1【點睛】用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡.6【答案】5TOC\o"1-5"\h\z33(2i)63~36【解析】由題意得H=：~1，所以二匸的實部為：.2+i(2+i)(2i)552+i56故答案為5.【點評】本題考查復數(shù)的概念，復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題./r-r_t”-]I已知函數(shù)f(x)=2sin(mx+^)(e＞0,0＜卩＜刁)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離為一,22且/■(為)=2,貝叭卷)=.【點睛】逐個求T、e、y,然后代入計算.答案】V2+V6答案】V2+V62TOC\o"1-5"\h\z,兀T兀2兀【解析】因為(x)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離為；，所以；=;得T=n—，解得e=2,222⑺/兀、_/兀、百所以/(x)=2sin(2x+y);又因為/(y^)=2=2sin(一所以/(x)=2sin(2x+y);又因為/(y^)662兀?！彼允?卩=2，解得y=3，所以f(x)=2sin(2x+3)；所以/(g)=2sin(2xg+3)=2sin兀兀兀兀V21V2=2sin(sin—cos—+cos—sin—)=2(一x-+—x4343222故答案為V2+V6故答案為V2+V62點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與求值，和角公式，是基礎(chǔ)題.f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，對HxWR，都有f(x+4)=f(-x)，當00x02時，/(%)=則幾|)+/(21)=2%1，0<%<1則幾|)+/(21)=+1，1<%<299【點睛】由題意得f(x+4)=f(x),即f(x)是周期為4的周期函數(shù)，得f(—2)=f(2)11=f(2),f(21)=f(1),結(jié)合解析式得f(2)、f(l),即可求解.JJ【答案】V2【解析】因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且(x+4)=f(-x),所以f(x+4)=f(x),9911所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)；所以f(—")=f(亍)=f(4+2)=f(亍)，f(21)=f2%—1,0<%<11(1+4x5)=f(1)；當0^x02時，/■(%)={，所以f(；)=V2—1,log2x+1,1<x<22f(1)=1;所以/(—|)+/(21)=/^(1)+f(1)=(V2—1)+1=V2.故答案為V2.【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，分段函數(shù)求值，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD丄底面ABCD,點E是PC的中點．I八、、?(1)求證：PA〃平面EDB；【點睛】(1)只需證明EF//PA.(2)建立空間直角坐標系，用空間向量法求解.【解析】(1)連接AC與BD相交于F,連接EF.???底面ABCD是正方形，:,F為AC中點；又E是PC的中點，：?EF//PA,?:PA/平面EDB,EFu平面EDB,.?.PA〃平面EDB.(2)建立空間直角坐標系D-x尹z,如圖所示：?.?|PD|=|AD|=2,:,D(0,0,0),E(0,1,1),B(2,2,0),設(shè)平面EDB的一個法向量為m=(x,y,z),DE=(0,1,1),DB=(2,2,0),所以m-所以m-DE=0<m-DB=0即卩+z=0,(2x+2y=0,不妨令z=1,解得x=1,y=-1,即員=(1,—1,1)；而平面CED的一個法向量n=（1,0,0）；/.COS<m,五>=Im"=甲,侖洶3、/3???二面角C-ED-B的余弦值為【點評】本題考查線面平行的判定，空間向量法求解二面角的余弦值，是基礎(chǔ)題．18．我國已進入新時代中國特色社會主義時期，人民生活水平不斷提高，某市隨機統(tǒng)計了城區(qū)若干戶市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（記為P元）的情況，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估算P的平均值萬；（2）（2）視樣本中的頻率為概率，現(xiàn)從該市所有住戶中隨機抽取3次，每次抽取1戶，每次抽取相互獨立，設(shè)g為抽出3戶中P值不低于65元的戶數(shù)，求g的分布列和期望E（g）.第8頁（共13頁）【點睛】(1)利用頻率分布直方圖直接估算P的平均值戸；(2)g?B(3,0.1),然后求出分布列與數(shù)學期望.【解析】(1)由頻率分布直方圖得：P=(30x0.014+40x0.026+50x0.036+60x0.014+70x0.01)"0=48(2)由題意得：三次隨機抽取為3次獨立重復試驗，且每次抽取到十月人均生活支出增加不低于65元的的概率為0.1，所以g?B(3,0.1),P(^=i)=C^0.1i-0.93i(i=0,1,2,3).:P(g=0)=0.729，P(g=1)=0.243，P(g=2)=0.027，P(g=3)=0.001g的分布列為g0123P0.7290.2430.0270.001:,E(g)=3x0.1=0.3.【點評】本題考查頻率分布直方圖，二項分布，隨機變量的分布列與數(shù)學期望，是中檔題.19.已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,nan12(n1)an=n2n(nGN*).求證：數(shù)列｛半1｝為等比數(shù)列：求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn.【點睛】(1)將等式兩邊同除以n(n+1),結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；(2)求得a=n-2nn?，由數(shù)列的分組求和、錯位相減法求和，即可求解.n【解析】(1)由兀％2(n1)an=n2n,TOC\o"1-5"\h\z兩邊同除以n(n+1)得2x^=1,所以1=2x益2=2(么1).n1nn1nnnn—1V-11=2工0,.:二1工0,:=2,1n皿1n?:數(shù)列｛牛1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)有1=2n，所以a=n-2nn,nnS=1x212x22…n?2"—(1+2+3+...+n)n=1x212x22…n-2nn(n1.令T=1x212x22…n-2n,n7第9頁(共13頁)則則2=1X22+2X23+3X24++(n-)2n+n2n+1,則則2=1X22+2X23+3X24++(n-)2n+n2n+1,12第12第10頁(共13頁)12第12第10頁(共13頁)???=2+22+2???=2+22+23++22+1_2x(12)12?—?(1)2+1+2.所以=(1)2+1+2(+1)2-所以數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=(n-)2n+1+2(+1)22+1=(1)2+12，點評】本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式、求和公式，數(shù)列的分組求和、錯位相減22202220.已知橢圓c：石+石=1(>>0)過點(1,歲)，且以F1(-,0),F2(c,0)(c〉0)為焦點，橢圓C的離心率為1)求實數(shù)c的值；(2)過左焦點Fi的直線l與橢圓C相交于B、D兩點，O為坐標原點，問橢圓C上是

否存在點P，使線段BD和線段0P相互平分？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由.211【點睛】(1)(1，◎在橢圓上得匚+廠=1.結(jié)合離心率、c2=a2-2.求解即可.(2)聯(lián)立直線l與橢圓的方程，通過線段BD、OP相互平分推出關(guān)系式，即可求解.211【解析】⑴因為橢圓C過點(1，尋)，所以石+廠=1.因為橢圓C的離心率為丁，即—而c2=a2b2，聯(lián)立解得=v2，b=1，c=1.所以實數(shù)c的值為1.2(2)由(1)得：橢圓C的方程為丁+2=1，F(xiàn)](-10).假設(shè)存在點P滿足題意，且BD和0P相交于點Q(x0，y0)，則P(2x0，2y0).當直線l與x軸重合時，不滿足題意.設(shè)直線l的方程為x=tyTA(x1，y1)，B(x2，y2).1聯(lián)立匕2=1得(2+鬥y2-ty_1=0???1+聯(lián)立匕0=0=2+2'01二一^1=02+22+2'亠X2,84t2將2x0,2y0代入一+y2=1有—+=1.002(2+t2)2(2+t2)2解得尸±72,所以p(-1,士一)；2V2故存在P使線段BD和OP相互平分，其坐標為P(-1,士一).2【點評】本題考查橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,是難題21.已知f(x)=(x-m)ex.(1)當m=2時，求函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上有極小值點，且總存在實數(shù)m,使函數(shù)f(x)的^2m+2am極小值與一——互為相反數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.2(a+1)e【點睛】(1)m=2代入，求導求得切線的斜率，再求f(0),由點斜式求出切線方程;e2m+2arn⑵求導得極小值，由題意得使f(x)的極小值與時「互為相反數(shù)，即可求解?【解析】f(x)=[x-(m-1)]ex.(1)當m=2時，f(x)=(x-2)ex,f(x)=(x-1)ex,:,f(0)=-2,f(0)=-1,所以切線方程為y+2=-(x-0),即x+y+2=0.所以f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為x+y+2=0.2)f'(x)=[x-(m-1)]ex；當xW(-8,m-1)時，f(x)<0,f(x)在(一8,m-1)上單減;xW(m-1,+w)時，f(x)>0,f(x)在(m-1,+w)單增;所以f(x)的極小值點為m-1.因為f(x)在(-1,0)上有極小值點，所以-1<m-1<0，解得0<m<1.f(x)極小f(x)極小=f(m—1)=—gm—1；e2m+2arn故在(0,1)上存在m'使得2@+i)e.??.??e2m—2e^-?：2a=em—m0<m<1).e2m—2em設(shè)9(肌)=em—m-當0<m<1時，^-(rn)=(em—1)[e2m+2(1—m)em]>0,g伽)在(0,1)上遞增,(em-m)2所以g(0)<g(m)<g(1)，即一1<2a<孑，解得-2<a<負—；，所以實數(shù)a的取值范圍是(―1,簽一2)?第11頁(共13頁)第第12頁（共13頁）第第13頁(共13頁)點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，是難題．22．在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情．在數(shù)學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線?如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系?圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為p=l-sin0（p=l-sin0,p>0）,M為該曲線上的任意一點．3（1）當|0M|=1由p=1—sin01由p=1—sin0,得了=1-sin8,sin0=-2,22V0<3<2n,???6=平或0=爭所以點m的極坐標為（2,平）或（2，+6勺.（1）由題意設(shè)M?,3）,n（p2,號+&）?由p=1—sin3,得p]=1—sin/r