2022年秋高中數(shù)學(xué)第三章排列組合與二項(xiàng)式定理3.1排列與組合3.1.1基本計(jì)數(shù)原理課件新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

3.1.1基本計(jì)數(shù)原理第三章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.能準(zhǔn)確應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理原理內(nèi)容完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.名師點(diǎn)睛

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的注意事項(xiàng)(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法.(2)完成這件事有n類辦法,無論用哪類辦法中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事,而不需要用到其他的方法.(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確地對(duì)“完成這件事的辦法”進(jìn)行分類,要求每一種方法必屬于某一類辦法,不同類辦法的任意兩種方法不同,也就是分類必須既不重復(fù)也不遺漏.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類辦法,則A∩B=?,A∪B=I(I表示全集).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯(cuò)誤的打×)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào),總共能編出26+10=36種不同的號(hào)碼.(

)(3)在分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一種方案都可以完成這件事.(

)×在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法是不同的,若相同它只能在同一類方案中且只能算是一種方法.√因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè),阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè),所以總共可以編出26+10=36(種)不同的號(hào)碼.√在分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一種方案都是獨(dú)立的,可單獨(dú)完成這件事.2.一件工作可以用兩種方法完成,有5人只會(huì)用第一種方法完成,另有4人只會(huì)用第二種方法完成,從中選出1人來完成這件工作,則不同的選法種數(shù)為(

)

A.9 B.10 C.20 D.40答案

A解析

利用第一種方法去完成有5種選法,利用第二種方法去完成有4種選法.故不同的選法種數(shù)為5+4=9.故選A.知識(shí)點(diǎn)二

分步乘法計(jì)數(shù)原理原理內(nèi)容完成一件事,如果需要分成n個(gè)步驟,且:做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.名師點(diǎn)睛

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的注意事項(xiàng)(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事需要幾步.(2)完成這件事需要分成若干個(gè)步驟,只有每個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事,無論缺少哪一步,這件事都不可能完成.(3)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐一去做,才能完成這件事,各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.(4)對(duì)于同一個(gè)題目,標(biāo)準(zhǔn)不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必須且只需連續(xù)做完幾步,既不漏步也不重步;二是不同步驟的方法不能互相替代.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯(cuò)誤的打×)(1)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(

)√×2.一個(gè)袋子里裝有7張不同的A類手機(jī)卡,另一個(gè)袋子里裝有8張不同的B類手機(jī)卡,某人想得到一張A類手機(jī)卡和一張B類手機(jī)卡,供自己今后使用,則不同的取法種數(shù)為(

)

A.78 B.15 C.87 D.56答案

D解析

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有7×8=56(種)不同的取法.知識(shí)點(diǎn)三兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)名師點(diǎn)睛(1)兩個(gè)原理的區(qū)別在于“分類”與“分步”.若完成一件事需分類思考,且這n類辦法是相互獨(dú)立的,無論用哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事,則用分類加法計(jì)數(shù)原理.若完成這件事需分為n個(gè)步驟,且這n個(gè)步驟相互依存,具有連續(xù)性,當(dāng)且僅當(dāng)這n個(gè)步驟依次完成后,這件事才完成,則用分步乘法計(jì)數(shù)原理.(2)處理具體問題時(shí)要注意兩點(diǎn):一是合理分類,準(zhǔn)確分步.分類時(shí),要不重不漏;分步時(shí),要合理設(shè)計(jì)步驟、順序,使各步互不干擾.對(duì)于一些較復(fù)雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問題時(shí),應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置.過關(guān)自診1.用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)

A.324 B.328 C.360

D.648答案B解析若個(gè)位數(shù)字為0,前兩位的排法種數(shù)為9×8=72;若個(gè)位數(shù)字不為0,則確定個(gè)位數(shù)字有4種方法,確定百位數(shù)字有8種方法,確定十位數(shù)字有8種方法,所以排法種數(shù)為4×8×8=256.所以256+72=328,所以可以組成328個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故選B.2.現(xiàn)有5種不同的顏色,給四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)涂色,要求同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)顏色不能相同,一共有(

)種方法.A.240 B.360

C.420

D.480答案C解析當(dāng)頂點(diǎn)A,C同色時(shí),頂點(diǎn)P有5種顏色可供選擇,點(diǎn)A有4種顏色可供選擇,點(diǎn)B有3種顏色可供選擇,此時(shí)C只能與A同色,即有1種顏色可選,點(diǎn)D就有3種顏色可選,共有5×4×3×1×3=180(種);當(dāng)頂點(diǎn)A,C不同色時(shí),頂點(diǎn)P有5種顏色可供選擇,點(diǎn)A有4種顏色可供選擇,點(diǎn)B有3種顏色可供選擇,此時(shí)C與A不同色,即有2種顏色可選,點(diǎn)D就有2種顏色可選,共有5×4×3×2×2=240(種).綜上可得共有180+240=420(種),故選C.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題【例1】在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)?解

(方法一)分析個(gè)位數(shù),可分以下幾類:個(gè)位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個(gè),故有8個(gè);個(gè)位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個(gè),故有7個(gè);同理,個(gè)位是7的有6個(gè);個(gè)位是6的有5個(gè)……個(gè)位是2的只有1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36個(gè).(方法二)按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè),7個(gè),6個(gè),5個(gè),4個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè),由分類加法計(jì)數(shù)原理知,符合題意的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個(gè).(方法三)將個(gè)位比十位數(shù)字大的兩位數(shù)一一寫出:12,13,14,15,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,29,34,35,36,37,38,39,45,46,47,48,49,56,57,58,59,67,68,69,78,79,89.共有36個(gè)符合題意的兩位數(shù).規(guī)律方法

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計(jì)數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.變式探究

本例中條件不變,求個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)的兩位數(shù)的個(gè)數(shù).解

當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí),十位數(shù)字取9,只有1個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí),十位數(shù)字可取7,8,9,共3個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí),十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個(gè).同理可知,當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí),共7個(gè).當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí),共9個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知,符合條件的數(shù)共有1+3+5+7+9=25個(gè).探究點(diǎn)二利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題【例2】已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},則方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示多少個(gè)不同的圓?解

完成表示不同的圓這件事,可以分為三步:第一步:確定a有3種不同的選取方法;第二步:確定b有4種不同的選取方法;第三步:確定r有2種不同的選取方法;由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圓共有3×4×2=24個(gè).規(guī)律方法

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步:將完成這件事的過程分成若干步;(2)計(jì)數(shù):求出每一步中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.變式訓(xùn)練14張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成

個(gè)不同的三位數(shù).

答案

168解析

分三個(gè)步驟:第一步:百位可放8-1=7個(gè)數(shù);第二步:十位可放6個(gè)數(shù);第三步:個(gè)位可放4個(gè)數(shù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成N=7×6×4=168個(gè)不同的三位數(shù).探究點(diǎn)三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【例3】

有不同的語文書9本,不同的數(shù)學(xué)書7本,不同的英語書5本,從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本,則不同的選法有(

)

A.21種

B.315種

C.153種 D.143種答案

D

解析

由題意,選一本語文書一本數(shù)學(xué)書有9×7=63(種),選一本數(shù)學(xué)書一本英語書有5×7=35(種),選一本語文書一本英語書有9×5=45(種),所以共有63+45+35=143種選法.故選D.規(guī)律方法

應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的策略對(duì)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用問題,一般是先分類再分步.分類時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn),設(shè)計(jì)好分類方案,防止重復(fù)和遺漏;分步時(shí)要注意步與步之間的連續(xù)性,同時(shí)應(yīng)合理設(shè)計(jì)步驟的順序,使各步互不干擾,也可以根據(jù)題意合理地畫出示意圖或者列出表格,使問題的實(shí)質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來,從而便于我們解題.變式訓(xùn)練2用5種不同的顏色給圖中的四個(gè)區(qū)域涂色,每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色,則共有多少種不同的涂色方法?1234解

第一類,1號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域同色,此時(shí)可分三步來完成:第一步,涂1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域,有5種涂法;第二步,涂2號(hào)區(qū)域,只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可,因此有4種涂法;第三步,涂3號(hào)區(qū)域,只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可,因此也有4種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有5×4×4=80種涂法.第二類,1號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域不同色,此時(shí)可分四步來完成:第一步,涂1號(hào)區(qū)域,有5種涂法;第二步,涂4號(hào)區(qū)域,只要不與1號(hào)區(qū)域同色即可,因此有4種涂法;第三步,涂2號(hào)區(qū)域,只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可,因此有3種涂法;第四步,涂3號(hào)區(qū)域,只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可,因此也有3種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有5×4×3×3=180種涂法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同涂色的方法種數(shù)為80+180=260.

素養(yǎng)培優(yōu)模型法模型法就是通過構(gòu)造圖形,利用形象、直觀的圖形幫助分析解決問題的方法.解

由于首位數(shù)字不能為0,偶數(shù)的末位數(shù)字必須是偶數(shù)數(shù)字,且當(dāng)首位取某個(gè)偶數(shù)數(shù)字(如2)時(shí),末位數(shù)字不能取該偶數(shù)數(shù)字,因此可先分類,再分步.(1)當(dāng)首位取奇數(shù)數(shù)字(可取1,3,5中任一個(gè))時(shí),末位數(shù)字可取0,2,4,6中任一個(gè),而百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字,十位數(shù)字則不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字,故共有3×4×5×4=240種取法.(2)當(dāng)首位取2,4,6中的某個(gè)偶數(shù)數(shù)字時(shí),末位數(shù)字可取3個(gè)偶數(shù)數(shù)字中任一個(gè),百位數(shù)字不能取與上述重復(fù)的數(shù)字,十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字,故共有3×3×5×4=180種取法.故可以組成240+180=420個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).【典例】由0,1,2,3,4,5,6這七個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?規(guī)律方法在解決與數(shù)字排列有關(guān)的問題時(shí),應(yīng)特別注意其限制條件.排列時(shí),要遵循特殊位置、特殊元素優(yōu)先安排的原則.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.由0,1,2三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)(允許數(shù)字重復(fù))的個(gè)數(shù)為(

)A.27 B.18 C.12 D.6答案

B解析

分三步,依次取個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字,分別有3種、3種、2種取法,故共可得3×3×2=18個(gè)不同的三位數(shù).2.三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下.由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被踢回甲,則不同的傳遞方式共有(

)A.4種 B.5種

C.6種 D.12種答案

C解析

若甲先傳給乙,則有甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳遞方式;同理,甲先傳給丙也有3種不同的傳遞方式.故共有6種不同的傳遞方式.3.已知集合