2022年秋高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布課件新人教B版選擇性必修第二冊

4.2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布第四章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型,掌握二項(xiàng)分布,并能利用它們解決一些簡單的實(shí)際問題.2.理解超幾何分布的意義,能夠利用超幾何分布的概率公式解決實(shí)際問題.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),體會模型化思想在解決問題中的作用,感受概率在生活中的作用,提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)一n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)時,人們總是約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,此時這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).2.二項(xiàng)分布一般地,如果一次伯努利試驗(yàn)中,出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-p,且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n.因此X的分布列如下表所示:上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開式

X01…k…nPp0qnp1qn-1…pkqn-k…pnq0名師點(diǎn)睛

(1)二項(xiàng)分布是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在k取遍0,1,2,…,n各種情況下的一個分布列.(2)在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,X卻是一個具體結(jié)果;注意掌握表示符號n,p的具體含義,并習(xí)慣用符號表示具體的分布列.過關(guān)自診

答案

A

2.甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,采取“三局兩勝制”,已知甲每局取勝的概率為則甲獲勝的概率為(

)答案

C

知識點(diǎn)二超幾何分布1.定義一般地,若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品,其中甲類有M件(M<N),從所有物品中隨機(jī)取出n件(n≤N),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù),其中s是M與n中的較小者,t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時取0,否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),而且,k=t,t+1,…,s,這里的X稱為服從參數(shù)N,n,M的超幾何分布,記作X~H(N,n,M).2.超幾何分布列如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,則X能取所有不大于s的自然數(shù),此時X的分布列如下表:X01…k…sP

…

…

名師點(diǎn)睛

求超幾何分布列的步驟(1)驗(yàn)證隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n;(2)確定X的所有可能取值;(3)利用超幾何分布公式計(jì)算P(X=k);(4)寫出分布列(用表格或式子表示).過關(guān)自診1.盒中有10個螺絲釘,其中有3個是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個,那么概率是

的事件為(

)A.恰有1個是壞的B.4個全是好的C.恰有2個是好的D.至多有2個是壞的答案

C

2.有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X≤1)等于(

)答案

B

重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法【例1】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率.規(guī)律方法

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個步驟(1)判斷:依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn);(2)分拆:判斷所求事件是否需要拆分;(3)計(jì)算:就每個事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算.變式訓(xùn)練1某籃球運(yùn)動員投籃的命中率為0.7,現(xiàn)投了8次球,求下列事件的概率:(1)恰有4次投中的概率為

;(2)至少有4次投中的概率為

;(3)至多有4次投中的概率為

.(結(jié)果保留三位小數(shù))

探究點(diǎn)二二項(xiàng)分布【例2】某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過,則視作通過初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過,則視作未通過初審不予錄用;當(dāng)這兩位專家意見不一致時,再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審,若能通過復(fù)審則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為,復(fù)審能通過的概率為,各專家評審的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率;(2)若4人應(yīng)聘,設(shè)X為被錄用的人數(shù),試求隨機(jī)變量X的分布列.解

設(shè)“兩位專家都同意通過”為事件A,“只有一位專家同意通過”為事件B,“通過復(fù)審”為事件C.(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D,則D=A∪BC,規(guī)律方法

1.本例屬于二項(xiàng)分布,當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時,應(yīng)弄清X~B(n,p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.2.解決二項(xiàng)分布問題的關(guān)鍵對于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時才能運(yùn)用,否則不能應(yīng)用該公式.變式訓(xùn)練2為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),某學(xué)校組織體育社團(tuán),某班級有4人積極報(bào)名參加籃球和足球社團(tuán),每人只能從兩個社團(tuán)中選擇其中一個社團(tuán),大家約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個社團(tuán),擲出點(diǎn)數(shù)為5或6的人參加籃球社團(tuán),擲出點(diǎn)數(shù)小于5的人參加足球社團(tuán).(1)求這4人中恰有1人參加籃球社團(tuán)的概率;(2)用ξ,η分別表示這4人中參加籃球社團(tuán)和足球社團(tuán)的人數(shù),記隨機(jī)變量X為ξ和η之差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列.探究點(diǎn)三超幾何分布【例3】在一次購物抽獎活動中,假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張,可獲價(jià)值50元的獎品,有二等獎獎券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎品,其余6張沒有獎品.(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張,求中獎次數(shù)X的分布列;(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張,①求顧客乙中獎的概率;②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價(jià)值為Y元,求Y的分布列.解

(1)抽獎一次,只有中獎和不中獎兩種情況,故X的取值只有0和1兩種情況.因此隨機(jī)變量Y的分布列為

規(guī)律方法

解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時可以直接利用公式求解,但不能機(jī)械地記憶.(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.變式訓(xùn)練3在箱子中有10個小球,其中有3個紅球,3個白球,4個黑球.從這10個球中任取3個.求:(1)取出的3個球中紅球的個數(shù)X的分布列;(2)取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率.解(1)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,且X服從參數(shù)為N=10,M=3,n=3的超幾何分布,故X的分布列為

(2)設(shè)“取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”為事件A,“恰好取出1個紅球和2個黑球”為事件A1,“恰好取出2個紅球”為事件A2,“恰好取出3個紅球”為事件A3,由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,探究點(diǎn)四概率的綜合應(yīng)用(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列;(2)用A表示“甲、乙兩個隊(duì)總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件,求P(AB).所以ξ的分布列為

(2)用C表示“甲得2分,乙得1分”這一事件,用D表示“甲得3分,乙得0分”這一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,變式探究

在本例條件下,試求事件“甲、乙兩隊(duì)總得分之和大于4”的概率.解

用E表示“甲、乙兩隊(duì)總得分之和大于4”這一事件,包括“總得分之和等于5”與“總得分之和等于6”.

素養(yǎng)培優(yōu)判斷隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的方法【典例】下面三個隨機(jī)變量:①隨機(jī)變量X表示重復(fù)投擲一枚硬幣n次,正面向上的次數(shù);②有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件是次品,采用有放回抽取的方法,X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù);③隨機(jī)變量X表示n次射擊命中目標(biāo)的次數(shù).其中,服從二項(xiàng)分布的是

.

②中,有放回抽取產(chǎn)品,每次抽取都是相互獨(dú)立的,符合二項(xiàng)分布的條件;③中,每次射擊相互獨(dú)立,符合二項(xiàng)分布的條件.答案

①②③規(guī)律方法

判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的方法,關(guān)鍵是看它是否服從二項(xiàng)分布的三個特點(diǎn):(1)獨(dú)立性:即試驗(yàn)之間互不影響且一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生與否二者必居其一.(2)重復(fù)性:即試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.(3)穩(wěn)定性:每次試驗(yàn),事件發(fā)生與否的概率是不變的.滿足上述三個特點(diǎn),該隨機(jī)變量就服從二項(xiàng)分布.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X≤1)=(

)答案

B3.某處有水龍頭3個,調(diào)查表明每個水龍頭被打開的可能性是0.1,隨機(jī)變量X表示同時被