2021年北京新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)講義：4.4 解三角形

4.4解三角形

探考情悟真題

【考情探究】-hz1—考點(diǎn)內(nèi)容解讀1.正弦、①理解正弦定理考題示例2019北京文,15與余弦定理的推余弦定導(dǎo)過(guò)程2016北京,15理的應(yīng)②掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三2016北京用角形度量問(wèn)題文,132.解三能夠運(yùn)用正弦定2015北京,12角形的理、余弦定理等知2015北京識(shí)和方法解決一文,11綜合應(yīng)些與測(cè)量和幾何2018北京計(jì)算有關(guān)的實(shí)際文,14用問(wèn)題2017北京,155年考情預(yù)測(cè)熱度考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)運(yùn)用正弦定理、余三角恒等變換弦定理解三角形三角恒等變換、三角函數(shù)的性★★★運(yùn)用余弦定理解質(zhì)三角形換元法,解二次方程運(yùn)用正弦定理、余二倍角公式弦定理解三角形運(yùn)用正弦定理解三角形中“大邊三角形對(duì)大角”★★☆運(yùn)用正弦定理、余三角恒等變換弦定理解三角形分析解讀1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關(guān)的量的問(wèn)題時(shí),需要綜合應(yīng)用兩個(gè)定理及三角形有關(guān)知識(shí).2.正弦定理和余弦定理應(yīng)用比較廣泛,也比較靈活,在高考中常與面積或取值范圍結(jié)合進(jìn)行考查.3.利用數(shù)學(xué)建模思想,結(jié)合三角形的知識(shí),解決生產(chǎn)實(shí)踐中的相關(guān)問(wèn)題.在高考中常以解答題的形式出現(xiàn),有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題和填空題中.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用（2020屆北京二中開(kāi)學(xué)考試,5）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則"a〉b”是"cos2A〈cos2B”的（）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件答案C（2020屆北京東直門(mén)中學(xué)期中,16）在厶ABC中工=7,$山。=泌.5（1）若cosB=答案2或2V3(2018北京東城期末答案2或2V3(2018北京東城期末,12)在△ABC中，a=5,c=7,cosC=1,則b=,△ABC的面積7（2）若a+b=11，求△ABC的面積.解析（1）在厶ABC中，cosB=5,7?sinB=V1-cos2B=2^為.為.答案6;6V67Vc=7,sinC=2V6,5(2)在厶ABC中，a2+b2屮22?cosC="2+“2-c2〉0,°.°sinC=2^6,AcosC=x,2ab55又c2=a2+b2—2abcosC=(a+b)2—2ab—2abcosC,a+b=11,c=7,?72=112—2ab—2ab,?：ab=30,5???AABC=1abSinC=2X30X2^=6V6-考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用（2020屆北京八一學(xué)校開(kāi)學(xué)考試，11）在△ABC中，a=1,b=護(hù)，且△ABC的面積為血，則2c=(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一垂直于路面的山頂D側(cè)一垂直于路面的山頂D在西偏北30。的方向上，行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏(2020屆山東夏季高考模擬,18)在厶ABC中,ZA=90°，點(diǎn)D在BC邊上.在平面ABC內(nèi)，過(guò)D作DF丄BC且DF=AC.若D為BC的中點(diǎn)，且△CDF的面積等于△ABC的面積，求ZABC;若ZABC=45°，且BD=3CD,求cosZCFB.解析⑴因?yàn)镃D=BD,所以CD=1bc.2由題設(shè)知DF=AC,1CD-DF^AB?AC,因此CD=AB.22所以AB=1BC,因此ZABC=60°?2⑵不妨設(shè)AB=1,由題設(shè)知BC=V2.由BD=3CD得BD=3血,CD』2.44由勾股定理得CF』,BF=血.449173J234』、匸Y"Vu*442x51煉技法提能力由余弦定理得cosZ3J234』、匸Y"Vu*442x51煉技法提能力方法集訓(xùn)】方法1三角形形狀的判斷設(shè)厶ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,貝仏ABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案A在厶ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大?。虎迫魋inB+sinC=V3,試判斷△ABC的形狀.解析(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cos人丿+心二1,2bc2因?yàn)?°〈A〈180°,所以A=60°.(2)因?yàn)锳+B+C=180。，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=V3,得sinB+sin(120°-B)=V3,所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=V3.所以3sinB+^cosB=V3,即sin(B+30°)=l.22因?yàn)?°〈B〈120°,所以30°〈B+30°〈150°.所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC為等邊三角形.方法2解三角形的常見(jiàn)題型及求解方法（2018北京朝陽(yáng)二模,4）在厶ABC中，a=l,ZA=n,ZB=n,則c=（）64TOC\o"1-5"\h\zAV6+V2bV6-V2c丁6dV2222答案A（2020屆北京陳經(jīng)綸中學(xué)開(kāi)學(xué)考試,10）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=6,a=2c,B=n,則厶ABC的面積為.3答案6V3（2018北京石景山一模,12）在△ABC中，ZA=60°,AC=4,BC=2V3，則△ABC的面積等于.答案2V3（2019北京豐臺(tái)二模文,14）在厶ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=3,sinB=sin2A.亠的值為；cos^若a>c,則b的取值范圍是.答案①6②（3,3V2）（2020屆北京人大附中開(kāi)學(xué)考試，11）在△ABC中，a=3,b=Vl3,B=60°,則c=;△ABC的面積為.22答案4;3V3&（2019北京西城一模,15）在厶ABC中，已知a2+c2-b2二mac,其中mGR.⑴判斷m能否等于3,并說(shuō)明理由；（2）若m=T,b=2V7,c=4,求sinA.解析（1）m不能等于3?理由如下：當(dāng)m=3時(shí),由題可知a2+c2-b2=3ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得cosB二以+以-屏=3,Zac2這與cosBG[-1,1]矛盾，所以m不可能等于3.⑵由（1）得cosB=m=-1,所以B=^.223因?yàn)閎=2V7,c=4,a2+c2-b2=-ac,所以a2+16-28=-4a,解得a=-6（舍）或a=2.在厶ABC中,由正弦定理，得sinA二曲皿=-^X^3=^21.b2V7214【五年高考】A組自主命題?北京卷題組（2015北京，12,5分）在厶ABC中，a=4,b=5,c=6,則皿=sinC答案（2018北京文,14,5分）若厶ABC的面積為厶@+。2七），且/C為鈍角，則/B=嚴(yán)的TOC\o"1-5"\h\z4a取值范圍是.答案n；（2,+8）3（2016北京文,13,5分）在厶ABC中,ZA=^,a=V3c,則生c答案（2015北京文,11,5分）在厶ABC中，a=3,b=V6,ZA=^,則ZB=3答案n4（2019北京文，15,13分）在厶ABC中，a=3,b-c=2,cosB=-\(1)求b,c的值;⑵求sin(B-C)的值.解析本題主要考查余弦定理及正弦定理的應(yīng)用,旨在考查學(xué)生在解三角形中的運(yùn)算求解能力,以求三角形的邊為背景考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2X3XcX(-1).因?yàn)閎=c+2,所以(c+2”=32+c2-2X3XcX(-丄).解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-1得sinB二迓22由正弦定理得sinA^sinB=3^3.b14在厶ABC中,B+C=n-A.所以sin(B+C)=sinA=3^3.14(2018北京，15,13分)在厶ABC中，a=7,b=8,cosB=-丄.7⑴求/A;(2)求AC邊上的高.解析⑴在厶ABC中,因?yàn)閏osB=t,所以sinB=V1-cos2B=^.77由正弦定理得$山人=皿=厶.b2由題設(shè)知n<ZB<n，所以0〈/A〈n.22所以/A=n.3(2)在厶ABC中，因?yàn)閟inC二sin(A+B)二sinAcosB+cosAsinB=3^3,14所以AC邊上的高為asinC=7X3^3=3^3.142方法總結(jié)處理解三角形相關(guān)的綜合題目時(shí),首先要掌握正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析哪些邊、角是已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最后通過(guò)解方程求出邊或角.(2017北京，15,13分)在厶ABC中，上A=60°,c=3a.7(1)求sinC的值;(2)若a=7,求厶ABC的面積.解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式.⑴在厶ABC中，因?yàn)樯螦=60°,c=3a,7所以由正弦定理得sinC=csinA=3X^3=3^3.a7214⑵因?yàn)閍=7,所以c=3X7=3.7由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2bX3X1,2解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面積S=xbcsinA=1X8X3X^3=6V3.222解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在求解面積時(shí),經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積.&(2016北京，15,13分)在厶ABC中，a2+c2=b2+V2ac.求/B的大?。磺骎2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及題設(shè)得cosBfZ+c2"2^^二還.Zac2ac2又因?yàn)?〈ZB〈n,所以/B=n.4(2)由(1)知/A+ZC=3n.4V2cosA+cosC=V2cosA+cos(3n-A)=V2cosA-%osA+邊sinA22二辺cosA+辺sinA二cos(4-n).224因?yàn)?<ZA<3n,4所以當(dāng)ZA=n時(shí),V2cosA+cosC取得最大值1.4思路分析第(1)問(wèn)條件中有邊的平方和邊的乘積,顯然應(yīng)選用余弦定理求解.第(2)問(wèn)用三角形內(nèi)角和定理以及三角恒等變換將原三角函數(shù)式化為只含一個(gè)角的三角函數(shù)式,再注意角的取值范圍,即可得出答案.評(píng)析本題考查余弦定理、三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題.B組統(tǒng)一命題、省（區(qū)、市）卷題組考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用（2019課標(biāo)全國(guó)I文，11,5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinTOC\o"1-5"\h\zB=4csinC,cosA=-1,則h=（）cA.6B.5C.4D.3答案A（2018課標(biāo)全國(guó)11,6,5分）在厶ABC中，cosd忑,BC=1,AC=5,則AB=（）25A.4V2B.V30C.429D.2V5答案A（2019浙江，14,6分）在厶ABC中，上ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若上BDC=45°,貝卩BD=,cosZABD=.答案12V2;7V2510（2019課標(biāo)全國(guó)II文，15,5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.答案3n4（2018浙江,13,6分）在厶ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=47,b=2,A=60°,則sinB=,c=.答案五；37（2016課標(biāo)11,13,5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=4,cosC二豆,a=1,13則b=.答案2113（2019課標(biāo)全國(guó)111,18,12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin狂dbsin2A.（1）求B;（2）若厶ABC為銳角三角形，且c=1,求厶ABC面積的取值范圍.解析本題考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面積公式以及學(xué)生對(duì)三角恒等變換的掌握情況;考查學(xué)生邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題設(shè)及正弦定理得sinAsin^M二sinBsinA.2因?yàn)閟inAzO,所以sin4+c=sinB.2由A+B+C=180°,可得sinj4+c=cos-e,22故cos￡=2sin￡cos￡?22因?yàn)閏os^hO,故sinH=1,因此B=60°?222⑵由題設(shè)及⑴知厶ABC的面積沐ARc=v3a.△ABC4由正弦定理得a=￡SinA=sin(120°-c)^^^+1.sinCsinC2tanC2由于△ABC為銳角三角形，故0°〈A〈90°,0°〈C〈90°.由(1)知A+C=120°,所以30°〈C〈90°,故1〈a〈2,2從而陸ABC〈乎因此,△ABC面積的取值范圍是&込?82思路分析(1)用正弦定理將邊化成角,再利用三角恒等變換求解角B.先用正弦定理表示出邊a,再用面積公式和銳角三角形的性質(zhì)求出角C的范圍,進(jìn)而求出△ABC面積的取值范圍?&(2019天津，15,13分)在厶ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC?求cosB的值;求sin(2B+n)的值.6解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)?考查運(yùn)算求解能力?體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)的重視?(1)在厶ABC中,由正弦定理-=~^~,得bsinC=csinB,sinBsinC又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因?yàn)閎+c=2a,得到b=4a,c=2a.33由余弦定理可得cos2=4捉二匹込1泌=-1.2ac2?a.；a4⑵由⑴可得sinB=V1-cos2B=^15,4從而sin2B=2sinBcosB=-^15,cos2B=cos2B-sin2B=-7,88sin(2B+n)=sin2Bcos6n+cos2Bsinn=-如X拓-7Xsin(2B+n)=sin2Bcos66828216思路分析(1)由已知邊角關(guān)系3csinB=4asinC,利用正弦定理,得三邊比例關(guān)系,根據(jù)余弦定理即可求出cosB.(2)由(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入兩角和的正弦公式即可求出sin(2B+n)的值.易錯(cuò)警示角B為三角形內(nèi)角，故sinB>0,由cosB求sinB僅有一正解.9.(2018課標(biāo)1,17,12分)在平面四邊形ABCD中,ZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.求cosZADB;若DC=2V2,求BC.解析⑴在厶ABD中,由正弦定理知皿二—l.sindLAsin^ADB故二~^,所以sinZADB』2.sin45°sindADB5由題設(shè)知,ZADB<90°，所以cosZADB=V1-^=V23.255(2)由題設(shè)及(1)知，cosZBDC=sinZADB=v2.5在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2?BD?DC?cosZBDC=25+8-2X5X2近X込=25.所以5BC=5.方法總結(jié)正、余弦定理的應(yīng)用原則:正弦定理是一個(gè)連比等式,在運(yùn)用此定理時(shí),只要知道其中一對(duì)的比值或等量關(guān)系就可以通過(guò)該定理解決問(wèn)題,在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的應(yīng)用.在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時(shí),等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.44在利用正弦定理求三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí),可能會(huì)出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況,所以解答此類問(wèn)題時(shí)需要進(jìn)行分類討論,以免漏解或增解.考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用(2018課標(biāo)111,9,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若厶ABC的面積為丑心,4則C=()D.n6A.nD.n623答案C(2016課標(biāo)III,8,5分)在厶ABC中，B=n,BC邊上的高等于1BC,則cosA=(43A3/010B.A3/010B.血1010D.-血10答案C(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是,cosZBDC=.答案Vl5；#1024(2019課標(biāo)全國(guó)1,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.⑴求A;(2)若#2a+b=2c,求sinC.解析本題主要考查學(xué)生對(duì)正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換的掌握;考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA^U.2bc2因?yàn)?°〈A〈180°,所以A=60°.⑵由⑴知B=120°-C，由題設(shè)及正弦定理得#2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即#6+#3cosC+1sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-#2.2222由于0°〈C〈120°,所以sin(C+60°)=#2,2故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)?sin60°="6+"2?思路分析(1)先借助正弦定理將角化為邊，然后利用余弦定理求出角A的余弦值，進(jìn)而得出角A.(2)利用正弦定理將已知等式中的邊化為角,利用三角恒等變換將原式化為含有角C的正弦、余弦的等式，利用角度變換求出sinC.(2019江蘇,15,14分)在厶ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.(1)若a=3c,b=“2,cosB=2,求c的值；3⑵若血二論,求sin(B+n)的值.a2b、2丿解析本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.因?yàn)閍=3c,b=V2,cosB=2,3由余弦定理cosB=“2+S2,得2=(3審+/-(閔2,2ac32x3cxc即c2=1.所以c=^3.33因?yàn)槊蠖萢2b由正弦定理亠=亠，得論=血,所以cosB=2sinB.sin4sinB2bb從而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=4.5因?yàn)閟inB>0,所以cosB=2sinB>0,從而cosB=2^5.5因此sin因此sin(B+n)=cos2(2018天津,15,13分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinA二acos(B-n).6求角B的大??；設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.(1)在厶ABC中，由正弦定理-^二-^,可得bsinA=asinB,sin4sinE又由bsinA二acos（B-n）,得asinB二acos（B-n）,66即sinB二cos（B-n）,可得tanB=V3.又因?yàn)锽W(O,n),可得B=n.3（2）在厶ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=n,有b2二a2+c2-2accosB=7,故b=V7.由bsinA二acos（B-n）,可得sinA=^3.又a<c,故cosA=-2.\6V7曲因此sin2A=2sinAcosA=4^3,cos2A=2cos2A-1=1.所以，sin（2A-B）二sin2AcosB-cos2Asin77B=4血x1—1X^3=3^327214(2017課標(biāo)1,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為亠.求sinBsinC;若6cosBcosC=1,a=3,求厶ABC的周長(zhǎng).解析本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換,考查學(xué)生利用三角形面積公式進(jìn)行運(yùn)算求解的能力.(1)由題設(shè)得1acsin￡=-^,即1csinB=-^.23sin^23sin^由正弦定理得1sinCsinB4込.3sin4故sinBsinC=2.3⑵由題設(shè)及⑴得cosBcosC—sinBsinC=—1,2即cos(B+C)=—1.所以B+C=2n,故A=n.TOC\o"1-5"\h\z233由題設(shè)得1bcsinA=~aJ,即bc=8.23sin4由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=V33.故厶ABC的周長(zhǎng)為3+V33.思路分析(1)首先利用三角形的面積公式可得1acsinB=?J，然后利用正弦定理，把邊轉(zhuǎn)化23sin4成角的形式，即可得出sinBsinC的值；⑵首先利用sinBsinC的值以及題目中給出的6cosBcosC=1,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進(jìn)而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值，進(jìn)而得出△ABC的周長(zhǎng).

方法總結(jié)解三角形的綜合應(yīng)用.(1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算例如:將1csinB=-^變形為1sinCsinB=sin^.23sin423sin4⑵三角形面積公式:S=1absinC=1acsinB=1bcsinA.222⑶三角形的內(nèi)角和為n.這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡(jiǎn)中起到消元的作用，例如：在△ABC中，sin(B+C)=sinA.&(2016課標(biāo)1,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;⑵若c=V7,△ABC的面積為3^，求厶ABC的周長(zhǎng).2解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=1,所以C=n.23⑵由已知，得1absinC=^.又C=n,所以ab=6.223由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25..°.a+b=5.所以△ABC的周長(zhǎng)為5+V7.(2015課標(biāo)11,17,12分)△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分/BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.sin朋；sintUC⑵若AD=1,DC=^2,求BD和AC的長(zhǎng).2解析(1)Sa=1AB^ADsinZBAD,△ABDSa=1AC^ADsinZCAD.△ADC2因?yàn)镾=2S,ZBAD=ZCAD,所以AB=2AC.△ABD△ADC由正弦定理可得昨=汕=1.sintUC233所以bd=V2.⑵因?yàn)镾△⑵因?yàn)镾△ABD:S=BD：DC,△ADC在厶ABD和厶ADC中，由余弦定理知AB2二AD2+BD2—2AD?BDcos,ADB,AC2二AD2+DC2—2AD?DCcos,ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由（1）知AB=2AC，所以AC=1.C組教師專用題組考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用TOC\o"1-5"\h\z（2013北京文，5,5分）在厶ABC中，a=3,b=5,sinA=],則sinB二（）3A.1B.5C.屆D.1593答案B（2017山東,9,5分）在厶ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若厶ABC為銳角三角形，且滿足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是（）A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A（2016天津,3,5分）在厶ABC中，若AB=V13,BC=3,ZC=120°,則AC=（）A.1B.2C.3D.4答案A（2015天津,13,5分）在厶ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為3V15,b—c=2,cosA=-丄,則a的值為.4答案8（2015廣東,11,5分）設(shè)厶ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=V3,sinB=1,C=n,則26b=.答案（2014北京，12,5分）在厶ABC中，a=1,b=2,cosC^1,則c=;sinA=4答案2;忑8（2012北京文,11,5分）在厶ABC中,若a=3,b=V3,ZA=n,則ZC的大小為.答案&（2012北京，11,5分）在厶ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=-丄，則b=4答案（2011北京,9,5分）在厶ABC中,若b=5,ZB=n,tanA=2,則sinA=;a=.4答案2^;2V105（2015安徽，16,12分）在厶ABC中,ZA=3n,AB=6,AC=3^2，點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的4長(zhǎng).解析設(shè)厶ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosZBAC=（3V2）2+62-2X3V2X6Xcos3n=18+36-（-36）=90,所以4a=3V10.又由正弦定理得sinB=又由正弦定理得sinB=hsin^RAC=3二、/10a3V1010由題設(shè)知0〈B〈n,所以cosB=V1-sin2B=V1-丄二3^10.1010在厶ABD中，由正弦定理得AD=冊(cè)金斤=6sinRsin（n-2E）2sinBcosB=亠=V10.cosB考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用(2014江西,4,5分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若C2=(a-b)2+6,C=n,則3△ABC的面積是()A.3B.也2答案CC.也D.3V32（2018江蘇，13,5分）在厶ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,ZABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.答案(2014山東,12,5分)在厶ABC中,已知亦?AC=tanA,當(dāng)A=n時(shí)，△ABC的面積為.6答案16（2014四川,13,5分）如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時(shí)氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于m.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：sin67°=0.92,cos67°=0.39,sin37°=0.60,cos答案60(2016浙江,16,14分)在厶ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.⑴證明：A=2B;⑵若△ABC的面積S=fl2,求角A的大小.4解析(1)證明：由題意及正弦定理得sinB+sinC=2sinA^cosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,Be(0,n),故0〈A-B〈n,所以B=n-(A-B)或B=A-B,因此A=n(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S二也得1absinC二以,故有sinBsinC=1sin2B=sinBcosB.又sinB^O,所以sinC=cosB.4242因?yàn)锽,CE(0,n),所以C=n±B.2當(dāng)B+C=n時(shí),A=n;當(dāng)C-B=n時(shí),A=n.2224綜上,人=口或巴24(2014湖南，18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=V7.(1)求cosZCAD的值；(2)若cosZBAD=-^,sinZCBA=V21,求BC的長(zhǎng).146解析（1）在厶ADC中，由余弦定理得coszcad=^+a^^=7+1-4=2V7.TOC\o"1-5"\h\z2AC^AD2^77(2)設(shè)zBAC=a,則a=zBAD—zCAD.因?yàn)閏oszCAD=M,cosZBAD=—A714所以sinzCAD=V1-cos2囹CAD二"1-(也)二如,77sinzBAD=V1-cos2囹BAD="1-(-広)2=3"21.1414于是sina=sin(zBAD—zCAD)二sinzBAD?coszCAD—coszBAD?sinzCADXVXV21=V372=3^21X14在厶ABC中，由正弦定理,得皿=一^sin優(yōu)sintUCE^故bc二込皿止獸=3.6(2014北京,15,13分)如圖，在△ABC中,zB=n,AB=8,點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2,coszADC=137求sinzBAD;求BD,AC的長(zhǎng).解析⑴在厶ADC中,因?yàn)閏oszADC=1,7所以sinzADC=4"3.7所以sinzBAD=sin(zADC—zB)=sinzADCcosB—coszADCsinB=4"3x1—1X"3=3"3727214(2)易知sinzADB=sin(n—zADC)=sinzADC=4"3,在厶ABD中，由正弦定理得73"3BD二力E?sinUEMD二8X14=3sinU^DE4"37在厶ABC中,由余弦定理得AC?二AB2+BC2-2AB?BC?cosB=82+52—2X8X5X1=49.2所以AC=7.思路分析⑴先得到sinzADC的值和ZBAD之ADC-ZB,再用兩角差的正弦公式求值.（2）在厶ABD中利用正弦定理求BD,然后在△ABC中利用余弦定理求AC.評(píng)析本題考查了三角恒等變換,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、運(yùn)算求解能力.【三年模擬】一、選擇題（每小題5分,共10分）TOC\o"1-5"\h\