幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型 -完整版課件

3.2.1幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型（一）復(fù)習(xí)引入講授新課例1

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進(jìn)行描述；解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進(jìn)行描述；解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N*)進(jìn)行描述.方案一方案二方案三y/元增加量y/元y/元增加量y/元y/元增加量y/元140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.420406080100120246810Oyx

函數(shù)圖象是分析問(wèn)題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn).20406080100120246810Oyxy＝40

函數(shù)圖象是分析問(wèn)題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn).20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x

函數(shù)圖象是分析問(wèn)題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn).20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1

函數(shù)圖象是分析問(wèn)題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn).20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1

函數(shù)圖象是分析問(wèn)題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn).

我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多.從中你對(duì)“指數(shù)爆炸”的含義有什么新的理解？

20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x

根據(jù)以上的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇:投資5天以下選方案一，投資5~8天選方案二，投資8天以上選方案三？y＝0.4×2x－1例2

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)利潤(rùn)的25%，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？分析：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬(wàn)元，所以部門(mén)銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn).于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可.分析：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬(wàn)元，所以部門(mén)銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn).于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可.

不妨先作出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.812345672004006008001000Oyx圖象812345672004006008001000Oyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xOyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1Oyxy＝5圖象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5圖象解：借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y＝0.25x，y＝log7x＋1，

y＝1.002x的圖象.觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求，下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷.812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5

首選計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn).解：

首選計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn).

對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時(shí)，y＞5，所以該模型不符合要求；解：

首選計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn).

對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時(shí)，y＞5，所以該模型不符合要求；

對(duì)于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x＞x0時(shí)，y＞5，所以該模型也不符合要求；解：

首選計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn).

對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時(shí)，y＞5，所以該模型不符合要求；

對(duì)于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x＞x0時(shí)，y＞5，所以該模型也不符合要求；

對(duì)于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x＝1000時(shí)，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求.

解：再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立.解：

令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

所以當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立.解：模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25%..說(shuō)明按

令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

所以當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立.

綜上所述，模型y＝log7x＋1確實(shí)能符合公司要求.解：模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25%..說(shuō)明按歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問(wèn)題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實(shí)際背景.弄清楚問(wèn)題的實(shí)際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題.(2)簡(jiǎn)化假設(shè)：理解所給的實(shí)際問(wèn)題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實(shí)質(zhì)，需要對(duì)問(wèn)題作必要的簡(jiǎn)化，有時(shí)要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問(wèn)題中關(guān)鍵或主要的變量.(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問(wèn)題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實(shí)際背景.弄清楚問(wèn)題的實(shí)際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題.(2)簡(jiǎn)化假設(shè)：理解所給的實(shí)際問(wèn)題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實(shí)質(zhì)，需要對(duì)問(wèn)題作必要的簡(jiǎn)化，有時(shí)要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問(wèn)題中關(guān)鍵或主要的變量.(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(1)理解問(wèn)題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹?，認(rèn)真審題，理解實(shí)際背景.弄清楚問(wèn)題的實(shí)際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題.(2)簡(jiǎn)化假設(shè)：理解所給的實(shí)際問(wèn)題之后，領(lǐng)悟背景中反映的實(shí)質(zhì)，需要對(duì)問(wèn)題作必要的簡(jiǎn)化，有時(shí)要給出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，精選問(wèn)題中關(guān)鍵或主要的變量.(3)數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(4)求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.(5)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗(yàn)，對(duì)模擬的結(jié)果與實(shí)際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評(píng)價(jià)與應(yīng)用：如果模型與實(shí)際情形比較吻合，要對(duì)計(jì)算的結(jié)果作出解釋并給出其實(shí)際意義，后對(duì)所建立的模型給出運(yùn)用范圍.如果模型與實(shí)際問(wèn)題有較大出入，則要對(duì)模型改進(jìn)并重復(fù)上述步驟.歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(4)求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.(5)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型之中檢驗(yàn)，對(duì)模擬的結(jié)果與實(shí)際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.(6)評(píng)價(jià)與應(yīng)用：如果模型與實(shí)際情形比較吻合，要對(duì)計(jì)算的結(jié)果作出解釋并給出其實(shí)際意義，后對(duì)所建立的模型給出運(yùn)用范圍.如果模型與實(shí)際問(wèn)題有較大出入，則要對(duì)模型改進(jìn)并重復(fù)上述步驟.歸納總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要步驟(4)求解模型：