雅可比θ的函數(shù)

雅可比θ的函數(shù)雅可比θ的函數(shù)是橢圓的類似物指數(shù)函數(shù),可以用來表達雅可比橢圓函數(shù)。θ的函數(shù)是quasi-doubly周期,通常表示在現(xiàn)代文本,盡管符號和(Borwein和Borwein1987)有時也使用?；菟撕腿A生(1990,第487頁)給出了表總結符號使用的各種早期的作家。θ的函數(shù)得到的Wolfram語言通過EllipticTheta(nz,q),并給出其衍生品EllipticThetaPrime(nz,q)。對理想氣體平動配分函數(shù)可以使用橢圓θ的函數(shù)(黃金1961,pp。119年和133年,Melzak1973,p.122;Levine2002,p.838)。θ的函數(shù)可以表達的省,表示,或者是半周期比,表示,在那里和和是相關的(1)讓多值函數(shù)被解釋為代表。然后一個復數(shù)雅可比θ的函數(shù)被定義為(2)(3)(4)(5)單獨寫雙無限金額作為無限的資金給稍微不那么對稱的形式(6)(7)(8)(9)(10)(11)(惠塔克和沃森1990,頁1990-464)。明確寫出系列(12)(13)(14)(15)(Borwein和Borwein1987,52頁,惠塔克和華生1990,p.464)。是一個奇函數(shù)的甚至,而其他三個功能.下面的表說明了quasi-double周期性的雅可比θ的函數(shù)。11在這里,(16)準周期可以建立如下的具體情況,(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)雅可比θ彼此的函數(shù)可以寫成:(25)(26)(27)(惠塔克和沃森1990,p.464)。任何雅可比θ的函數(shù)給定的參數(shù)可以用其他兩個雅可比θ的函數(shù)來表示相同的參數(shù)。的函數(shù)和滿足身份(28)定義(29)雅可比θ的函數(shù)參數(shù),上面繪制。然后雙無限金額(

)(

)特別簡單的形式(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(OEISA089800,A000122,A002448;Borwein和Borwein1987,p.33)。這個函數(shù)也給出了(37)在哪里是一個q-Pochhammer象征.這個函數(shù)(38)(39)(40)有時是數(shù)論中定義的上下文(達文波特1980,p.1980)。同樣地,函數(shù)(41)(42)有時也定義(愛德華茲2001年,p.15)。這個函數(shù)滿足(43)愛德華茲(雅可比黎曼1828;1828;2001年,15頁),雅可比屬性泊松和遵循的泊松求和公式。也滿足了身份(44)(愛德華茲2001年,p.17)。特殊值包括(45)和(46)在哪里是γ函數(shù),大多數(shù)都是特殊情況的Ramanujanθ的函數(shù).一個特殊的導數(shù)值由于o.Marichev(per。2023年7月)是由通訊(47)上面的情節(jié)展示了雅可比θ的函數(shù)繪制的函數(shù)參數(shù)和省局限于真實值。特別美麗的情節(jié),通過檢查真正的和虛部的固定在復平面,如上圖。雅可比θ的函數(shù)滿足一個幾乎令人困惑地大量涉及四個功能的身份,他們的衍生品,他們的論點的倍數(shù),總結自己的觀點。之間的不同尋常的身份維特克和沃森(1990)(48)(49)(惠塔克和沃森1990,p.464)(50)(51)(惠塔克和沃森1990,p.465),,……4,和。一類身份涉及廣場雅可比θ的函數(shù)(52)(53)(54)(55)(惠塔克和沃森1990,p.466)。采取在(55)給出了特殊情況(56)這種類型的唯一標識。此外,(57)(58)雅可比θ的函數(shù)服從規(guī)那么等(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(惠塔克和沃森1990,p.487),(67)(68)(69)(70)(71)(72)(73)(74)(惠塔克和沃森1990,p.488),和(75)(惠塔克和沃森1990,p.488)。也有一系列的復制公式:(76)(77)(78)(79)(80)(81)(惠塔克和沃森1990,p.488)。比雅可比θ的函數(shù)導數(shù)函數(shù)本身的簡單形式(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(惠塔克和沃森1990,p.489)。雅可比θ的函數(shù)可以表示為產品,而不是資金(90)(91)(92)(93)在哪里(94)(惠塔克和沃森1990,頁1990-470)。額外的美麗產品(“歐拉〞)表單是由Zucker(1990),局部總結在下表中,(95)和q-products都寫,,,.θ的函數(shù)斯隆歐拉雅可比矩陣A000122A002448A089798A089799A089800A089801A089802A089805A080995A089806A089807A089810A089811A089812A089813額外的身份包括(96)(97)在這里,(98)(OEISA089814).雅可比θ功能滿足偏微分方程(99)在哪里。比雅可比θ的函數(shù)在分母也滿足微分方程(100)(101)(102)雅可比的虛構的轉型表達而言,。有很多美麗的身份涉及雅可比θ的函數(shù)參數(shù),,,和,,,相關的,(103)(104)(105)(106)(惠塔克和沃森1990,頁1990-469,488年和490年)。使用的符號(107)(108)給出了高達288的身份表單(109)完整的橢圓積分的第一和第二種可以使用雅可比θ表示函數(shù)。讓(110)和插入(

)(111)現(xiàn)在寫(112)和(113)然后(114)在哪里橢圓模量被定義為(115)定義的補充橢圓模量(116)現(xiàn)在,因為(117)我們展示了(118)這個方程的解(119)這是一個雅可比橢圓函數(shù)與時間(120)和(121)讓是第一類完全橢圓積分與模量,然后(122)(123)(124)在哪里是互補的模量.雅可比θ函數(shù)提供分析解決許多棘手的問題在數(shù)學和數(shù)學物理。例如,雅可比θ功能有關平方和函數(shù)給的數(shù)量表示通過兩個正方形(125)(126)(Borwein和Borwein1987,p.34)。一般五次方程是可以解決的雅可比θ的函數(shù),這些函數(shù)提供一種一致收斂的嗎格林函數(shù)一個矩形區(qū)域(Oberhettinger和馬格努斯1949年)。最后,雅可比θ功能可以使用使均勻所有橢圓曲線。雅可比橢圓函數(shù)也可以用來使均勻一些超橢圓曲線,雖然只有兩個這樣的例子是的。是一個經典的例子伯恩賽德曲線,第二個是1995年發(fā)現(xiàn)法卡斯和熱淚盈眶。參見:雅可比橢圓函數(shù)雅可比橢圓函數(shù)的標準形式橢圓函數(shù)。這三個根本功能是表示,,,在那里被稱為橢圓模量。他們出現(xiàn)的反演第一類橢圓積分,(1)在哪里,是橢圓模量,是雅可比振幅,給(2)從這個,它遵循(3)(4)(5)(6)(7)(8)這些函數(shù)是三角函數(shù)的雙周期概括滿意(9)(10)(11)而言,雅可比θ的函數(shù),(12)(13)(14)(惠塔克和沃森1990,p.492),在那里(惠塔克和沃森1990,p.464)和橢圓模量是由(15)雅可比橢圓函數(shù)的比率用結合的第一個字母分子與第一個橢圓函數(shù)分母橢圓函數(shù)。橢圓的乘法逆函數(shù)用扭轉兩個字母的順序。這些組合給共有12個功能:cd,cn,cs,直流,dn,ds,數(shù)控,nd,ns,sc、sd、錫。這些功能的實現(xiàn)Wolfram語言作為JacobiSN(z,m)等等。同樣,逆雅可比函數(shù)實現(xiàn)InverseJacobiSN[v,m]等等。的雅可比振幅定義的通過(16)的參數(shù)是經常抑制簡潔如此,例如,可以寫成.雅可比橢圓函數(shù)是周期性的和作為(17)(18)(19)在哪里是第一類完全橢圓積分,,(惠塔克???沃森1990,p.503)。的,,功能也可以被定義為解決微分方程(20)(21)(22)分別。標準雅可比橢圓函數(shù)滿足身份(23)(24)(25)(26)特殊值包括(27)(28)(29)(30)(31)(32)在哪里是一個第一類完全橢圓積分和是互補的橢圓模量(惠塔克和沃森1990,頁1990-499),和(33)(34)(35)在積分方面,(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(惠塔克和沃森1990,p.494)。雅可比橢圓函數(shù)加法公式(包括,例如,被編寫為簡潔)(48)(49)(50)延長積分時間,(51)(52)(53)(54)(55)(56)為復雜的參數(shù),(57)(58)(59)衍生品雅可比橢圓函數(shù)包括(60)(61)(62)(赴1969年,p.1969;Zwillinger1997,p.136)。Double-period公式涉及包括雅可比橢圓函數(shù)(63)(64)(65)半周期公式涉及包括雅可比橢圓函數(shù)(66)(67)(68)平方公式包括(69)(70)(71)泰勒級數(shù)的雅可比橢圓函數(shù)被認為是埃爾米特(1863),Schett(1977),和杜蒙(1981)(72)(73)(74)1972年(阿布拉莫維茨和Steguneqn。16.22)。參見:雅可比振幅的變量(也表示)中使用橢圓函數(shù)和橢圓積分被稱為振幅(或雅可比振幅)。它可以被定義(1)(2)在哪里是一個雅可比橢圓函數(shù)與橢圓模量。是很常見的,雅可比橢圓函數(shù),模量通常隱含的簡潔性。雅可比振幅的逆函數(shù)第一類橢圓積分。振幅函數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為JacobiAmplitudem],[u是參數(shù).這是相關的第一類橢圓積分通過(3)(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.589)。的導數(shù)雅可比的振幅是由(4)或使用的符號,(5)振幅函數(shù)的特殊值(6)(7)在哪里是一個第一類完全橢圓積分。此外,它遵循的身份(8)(9)(10)(11)(12)(13)作為定義雅可比橢圓函數(shù).維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)(或維爾斯特拉斯函數(shù),表示“函數(shù)〞)是橢圓函數(shù),不像雅可比橢圓函數(shù),有一個二階極在。指定完全half-periods(和)或橢圓不變量(和)必須被指定。這兩種情況是表示和,分別。維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為WeierstrassP(u,g2,g3]。Half-periods和不變量可以互換使用Wolfram語言命令WeierstrassInvariants[ω,?),WeierstrassHalfPeriods[g2,g3]。維爾斯特拉斯實現(xiàn)橢圓函數(shù)的導數(shù)WeierstrassPPrime(u,g2,g3),實現(xiàn)為逆維爾斯特拉斯函數(shù)InverseWeierstrassP[p,g2,g3].InverseWeierstrassP[p,問,g2,g3)發(fā)現(xiàn)的獨特價值的和.上面的情節(jié)顯示維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)和它的衍生物為橢圓不變量和沿著實軸.上面的圖顯示了維爾斯特拉斯函數(shù)及其衍生品的橢圓不變量.特定的情況下橢圓不變量和有特殊的名稱總結在下表中(阿布拉莫維茨和Stegun1972)。真正的半周期equianharmonic案例被稱為omega2-constant.案例名稱01equianharmonic案例10雙紐線的情況0pseudolemniscate案例維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)定義(1)(惠塔克和沃森1990,p.434),總理表示條件的總和為零分母都省略了。寫。這個可以寫(2)一個等價定義,收斂更快(3)(惠塔克和沃森1990,p.434)。是一個偶函數(shù)自給出了以不同的順序相同的條款。級數(shù)展開的是由(4)在哪里(5)(6)和(7)為(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.635)。第一個值為而言,和是由(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(阿布拉莫維茨和Stegun1972,p.636)。維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)描述如何從一個環(huán)面給出的解決方案橢圓曲線的代數(shù)形式橢圓曲線.維爾斯特拉斯出現(xiàn)橢圓函數(shù)的微分方程可以通過擴大找到關于原點的功能.(15)但甚至功能和(16)的衍生品(17)(18)(19)(20)所以(21)(22)插入,(23)定義橢圓不變量(24)(25)然后(26)(27)現(xiàn)在多維數(shù)據(jù)集(26)和廣場(27)(28)(29)把(29日)-(28)抵消了詞,給(30)(31)給(32)但是,從(

)(33)所以可以編寫和(

)(34)但維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)是分析在原點,因此在各方面相等的原點。沒有其他地方可能發(fā)生一個奇點,這是一個函數(shù)橢圓函數(shù)沒有奇異點。通過劉維橢圓函數(shù)定理因此,它是一個常數(shù)。但是,隨著,,所以(35)(惠塔克和沃森1990,頁1990-437)。微分方程的解(36)因此,由,提供數(shù)字和滿足方程定義的存在橢圓不變量。寫作的微分方程的根,,,(37)(Rainville1971,p.1971),(38)(39)(40)(41)(42)現(xiàn)在(

)除以4+((

)除以4)數(shù)量的平方,(43)(44)這個詞在右邊的一半Schwarzian導數(shù).的導數(shù)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)解(45)(46)(47)這是一個奇函數(shù)這本身就是一個橢圓函數(shù)與桿的訂單3。的積分是由(48)二階導數(shù)滿足(49)(很有1997年,p.23)。一個重復的公式得到如下。(50)(51)(52)(53)(很有1997年,p.24)。一般的加法定理得到如下。鑒于(54)(55)為零和在哪里,找到第三個零?？紤]。這的訂單三桿,但零的總和()等于兩極的的總和橢圓函數(shù),所以和.(56)(57)結合(

),(

)和(

)(58)所以(59)定義在哪里和給出了對稱形式(60)(惠塔克和沃森1990,p.440)。表達明確,重新開始(61)在哪里.(62)但從(

),,所以(63)的解決方案是由(64)但根之和等于系數(shù)的平方項(65)(66)(67)(68)(惠塔克和沃森1990,p.441)。半周期身份包括(69)(70)(71)(72)相乘,(73)(74)這給了(75)(76)惠塔克和沃森(1990,第445頁),(77)函數(shù)是均勻,(78)(79)逆函數(shù),找到和的當考慮到。讓,,根等不是一個實數(shù)或。確定半周期比從(80)現(xiàn)在選擇(81)只要,時間(82)(83)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)可以表達的雅可比橢圓函數(shù)通過(84)在哪里(85)(86)(87)和橢圓不變量是(88)(89)在這里,.維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)的加法公式可以推導出如下(維特克和沃森1990,p.1990)。(90)使用(91)所以(92)(93)使用,(94)(95)但和(96)所以(97)維爾斯特拉斯時期的橢圓函數(shù)給出如下。當和是真正的和,然后,,是真正的和定義,.(98)(99)(100)維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)滿足的根源(101)(102)(103)在哪里。的s是根的是不平等的。他們可以找到的關系(104)(105)(106)參見:平方和函數(shù)代表的數(shù)量通過廣場,允許0和區(qū)分信號和秩序,是表示。的特殊情況對應于兩個正方形通常是簡單地表示(如。,哈代和賴特1979,p.241;小腿1993,p.162)。例如,考慮多種方式的代表5兩個正方形的總和:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)所以。同樣的,(9)(10)(11)(12)(13)(14)所以.的Wolfram語言函數(shù)SquaresR(k,n)。相比之下,函數(shù)PowersRepresentations[n,k,2]給出的列表無序的無符號表示作為一個列表廣場。,給作為唯一的“獨特〞表示5。這個函數(shù)是緊密相連的萊布尼茨系列和高斯圓問題(希爾伯特和Cohn-Vossen1999,頁27-39)。它也是由默比烏斯變換的逆變換序列和(斯隆和普勞夫1995,p.22)。的平均訂單是,但正常秩序是0(哈代1999年,p.55)。雅可比給解析表達式的情況下、4、6和8(雅可比1829;哈代和賴特1979,p.316;哈迪1999,p.132)。的情況下4和6將被發(fā)現(xiàn)系數(shù)的雅可比θ的函數(shù),,。的解決方案和12所發(fā)現(xiàn)劉維爾(1864、1866)和艾森斯坦(哈代和賴特1979年,p.316),和Glaisher(1907)給出了表達。然而,公式和包含函數(shù)只定義為模塊化的系數(shù)函數(shù),但并不是用算術方法(哈代和賴特1979年,p.316)。Ramanujan(2000)擴展Glaisher的表。Boulyguine(1915)發(fā)現(xiàn)的一般公式每個函數(shù)都有一個算術定義(哈代和賴特1979年,p.316;2005年迪克森,p.317)。被發(fā)現(xiàn)是一個涉及二次互反性符號的有限和狄利克雷。和被艾森斯坦發(fā)現(xiàn),史密斯和閔可夫斯基。莫德爾、哈代、Ramanujan已經開發(fā)出一種方法適用于奇數(shù)表示的方塊(哈迪1920;莫德爾1920,1920;Estermann1937;哈迪1999)。在有多少種方法一個正整數(shù)可以表示為一筆嗎這是廣場無視秩序和跡象,因素(15)在哪里s是質數(shù)的形式和s是質數(shù)的形式。如果沒有這樣一個表示整數(shù)嗎因為一個或更多的權力是奇數(shù),那么沒有表示。否那么,定義(16)代表的數(shù)量作為兩個正方形的和無視秩序,然后給出的跡象(17)(Beiler說1966,頁140-142)。同樣的,為是由(18)一個正整數(shù)可以表示成兩個正方形的總和敵我識別它的每個主要因素的形式甚至出現(xiàn)作為一個權力,因為在1738年首次建立了歐拉。在拉格朗日正方形定理拉格朗日證明每一個正整數(shù)可以寫成的總和最多4個廣場,盡管四個可能減少到三個數(shù)字除外的形式.Diophantus首先研究問題相當于找到三個平方的總和,說這個問題,不得的形式,這不過是一個條件缺乏(迪克森2005年,p.2005)。在1621年,隨后Bachet排除在外和。最后,費馬(ca1636)說,Bachet未能排除的條件,149,等等,給正確的充分條件不得的形式,所以不是形式,或等價.1636年,費馬表示,沒有整數(shù)的形式是三個理性的和廣場,1638年,笛卡爾證明這個整數(shù)平方。1658年,費馬隨后斷言(但沒能證明),在那里是主要的形式嗎(即。,任何主要的形式)是三個平方的總和。1775年,費馬斷言拉格朗日取得了一些進展,但并不能完全證明了這一點。1785年,勒讓德說,費馬的說法也適用于所有奇數(shù)(不僅僅是質數(shù)),然后給了一個不完整的證明每個數(shù)字或其是三個正方形的總和的兩倍。Beguelin(1774)認為每個整數(shù)相等的1,2,3,5或6(mod8)一筆三個正方形,但沒有足夠的證據(jù)(迪克森2005年,p.15)。1798年勒讓德的理論des數(shù)量,勒讓德證明了每一個正整數(shù)的形式或一筆三個廣場沒有公因數(shù)(Nagell1951,p.1951;井194,pp。48、56個;哈迪1999,p。12;Savin2000)。為0時有一個'除數(shù)的形式到一個奇怪的權力,雙打到達一個新的'的形式。最初幾個值是1,4,404,80,0,4,4,80,0,0,0,4、8、4080,0,0,0,12日80,0,…(OEISA004018)。一個蘭伯特系列是由(19)(哈代和賴特1979,p.258)。的生成函數(shù)為是由(20)(21)(22)在哪里是一個雅可比橢圓函數(shù)和是一個q-Pochhammer象征.它顯式地給出(23)(24)(25)在哪里的數(shù)量是因數(shù)的的形式(希爾伯特和Cohn-Vossen1999,頁37-38;哈迪1999,p。12)。遵守意想不到的身份(26)為,(27)和(28)(哈代1999,p.82)。最初幾個summatory函數(shù)的值(例如,哈代和賴特1979,p.270)定義的(29)是0、4、8、8、12、20、20、20、24、28歲,36歲,…(OEISA014198),修改后的函數(shù)定義的小腿(1993)(30)(31)明確的價值觀10幾個國家在下表中給出(米切爾1966;小腿1993,pp。165年和234年)。051372317年33149年431417年5314197年63141549831415905310314159254571214漸近結果包括(32)(33)在哪里是一個常數(shù)稱為Sierpiński常數(shù)。左邊上面的情節(jié)(34)與說明了彎曲的信封,和圖所示(35)的值表示作為堅實的水平線。解決方案的數(shù)量(36)對于一個給定的沒有限制的跡象或相對大小,,是由。高斯證明,如果是squarefree和,然后(37)(1992年阿諾),是類數(shù)的.的生成函數(shù)為是由(38)(39)一般而言,(40)為,(41)身份為,是由(42)(43)在哪里和(44)史密斯(1829年雅可比,§40-42;1965;哈代和賴特1979,p.314)。為,(45)在哪里(46)(47)(48)這個方程為是由劉維爾(1864,1864)。(49)(50)(51)在哪里(52)(53)是一個所謂的奇異系列,是τ函數(shù).類似的表達存在較大甚至τ函數(shù)一個函數(shù)有關除數(shù)函數(shù),有時也稱為Ramanujanτ函數(shù)。這是通過定義傅里葉級數(shù)的模塊化的判別為,在那里是半平面上,通過(1)(很有1997年,p.20)。τ函數(shù)也是的柯西產品(2)(3)在哪里是除數(shù)函數(shù)(很有1997,pp。24和140年),,.τ的函數(shù)生成函數(shù)(4)(5)(6)(7)(8)在哪里是一個q-Pochhammer象征。最初幾個值是1,,252,,4830,…(OEISA000594)。τ函數(shù)給出的Wolfram