2022屆河北省邢臺(tái)市第八中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，且分別是棱，的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論：①；②平面；③三棱錐的體積的最大值為；④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號(hào)是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④2．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．3．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．44．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，若，則A． B．C． D．5．下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，為的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若存在，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知為兩條不重合直線，為兩個(gè)不重合平面，下列條件中，的充分條件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．8．如圖，矩形ABCD中，，，E是AD的中點(diǎn)，將沿BE折起至，記二面角的平面角為，直線與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個(gè)命題：①對(duì)滿足題意的任意的的位置，；②對(duì)滿足題意的任意的的位置，，則()A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立9．已知拋物線：，直線與分別相交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，若，則（）A．3 B． C． D．10．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形，設(shè)，若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為（）A． B．C． D．11．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B．1 C． D．i12．命題：的否定為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓C：經(jīng)過拋物線E：的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長(zhǎng)是__________.14．如圖，在平面四邊形ABCD中，|AC|=3,|BD|=4，則(AB15．如圖是九位評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______．16．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足，則的最大值為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為平行四邊形，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.18．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期；(II)若α∈(π6,π)且f(19．（12分）在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.20．（12分）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓外一點(diǎn)滿足，平行于軸，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，滿足.設(shè)過點(diǎn)且垂直的直線，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)寫出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的值域?yàn)锳，且，求a的取值范圍.22．（10分）已知拋物線，直線與交于，兩點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）如圖，過原點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

①通過證明平面，證得；②通過證明，證得平面；③求得三棱錐體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，，又，所以平面，所以，故①正確；因?yàn)?，所以平面，故②正確；當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，最大，最大值為，故③錯(cuò)誤；若與垂直，又因?yàn)?，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因?yàn)?，所以顯然與不可能垂直，故④正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.2．B【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點(diǎn)在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個(gè)焦點(diǎn)為，∴，∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).3．D【解析】可以是共4個(gè)，選D.4．A【解析】

由可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，故選A．5．C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點(diǎn)重合，記作，取中點(diǎn)，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長(zhǎng)，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點(diǎn)重合，記作：則為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.6．D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖冢?，所以，化?jiǎn)得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，，又因?yàn)椋砸乖跁r(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.7．D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面可能相交，，，故不能作為的充分條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，時(shí)，則，故不能作為的充分條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面相交，，，故不能作為的充分條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，，則一定能得到，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

作出二面角的補(bǔ)角、線面角、線線角的補(bǔ)角，由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.【詳解】①如圖所示，過作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，，所以，所以①正確.②由于，所以與所成角，所以，所以②正確.綜上所述，①②都正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9．C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點(diǎn)如圖，過A,M作準(zhǔn)線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點(diǎn)，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.10．D【解析】

設(shè)，則，小正六邊形的邊長(zhǎng)為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長(zhǎng)為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，則，即小正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11．A【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得，則答案可求.【詳解】解：∵，∴，，則化為，∴z的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求出的值，再求出準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦長(zhǎng)的一半，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)．【詳解】拋物線E:的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為（0，1），把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為5，則圓心到準(zhǔn)線的距離為1，所以弦長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長(zhǎng)公式．14．-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn)，利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算，將所給向量統(tǒng)一用AC,15．1【解析】

寫出莖葉圖對(duì)應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個(gè)數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個(gè)數(shù)，平均分為，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

設(shè)，由可得，整理得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接，交與，連接，由，得出結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用夾角公式求出即可.【詳解】（1）連接，交與，連接，在中，，又平面，平面，所以平面；（2）由平面平面，，為平面與平面的交線，故平面，故，又，所以平面，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由，得，平面的法向量為，由，故二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18．(I)π；(II)-【解析】

(I)化簡(jiǎn)得到fx(II)f(α2)=2sin【詳解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π)，故α+故α+π12∈sin(2α+【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19．（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）由題可知，等腰直角三角形與等邊三角形，在其公共邊AC上取中點(diǎn)O，連接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可證得，結(jié)合，可證明平面.再根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)F在線段上，設(shè)，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的一個(gè)法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再結(jié)合為平面的一個(gè)法向量，用向量法即可求出與的夾角，結(jié)合圖形，寫出二面角的大小.【詳解】證明：（1）在中，為正三角形，且在中，為等腰直角三角形，且取的中點(diǎn)，連接，，，平面平面平面..平面平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè).則設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，令，解得與平面所成角的正弦值為，整理得解得或(含去)又為平面的一個(gè)法向量，二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解決線面角、二面角的問題，屬于中檔題.20．（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據(jù)，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得，即可證明．【詳解】（1）左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y(tǒng)0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴?＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故過點(diǎn)N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.21．（1）或（2）【解析】

（1）分類討論去絕對(duì)值即可；（2）根據(jù)條件分a＜﹣3和a≥﹣3兩種情況，由[﹣2，1]?A建立關(guān)于a的不等式，然后求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴當(dāng)x≤﹣1時(shí)，原不等式可化為﹣x﹣1≤﹣2x﹣2