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三角形培優(yōu)訓(xùn)練專(zhuān)題三角形輔助線做法】圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。角平分線平行線,等腰三角形來(lái)添線段垂直平分線,常向兩端把線連三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線加垂線,三線合一試試看要證線段倍與半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。2、遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”,所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。6、已知某線段的垂直平分線,那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線,出一對(duì)全等三角形。7、特殊方法:在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái),利用三角形面積的知識(shí)解答。1、已知,如圖△ABC中,AB=5,AC=3,求中線AD的取值范圍.2、如圖,AABC中,E、F分別在AB、AC上,DE丄DF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.3、如圖,AABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證:AD平分ZBAE.4、以AABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE,ZBAD=ZCAE=9°°,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖①當(dāng)AABC為直角三角形時(shí),探究:AM與DE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;(2)將圖①中的等腰RtAABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)°°(0〈0〈90)后,如圖②所示,(1)問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變?并說(shuō)明理由.5、如圖,AABC中,AB=2AC,AD平分ABAC,且AD=BD,求證:CD丄AC.CC6、如圖,AD〃BC,EA,EB分別平分ZDAB,ZCBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求證;AB=AD+BC。ZA+ZZA+ZC=180°7、如圖,已知在厶ABC內(nèi),ZBAC二60°,ZC=400,p,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是ZBAC,ZABC的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+BP8、如圖,在四邊形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分ZABC,求證:9、C9、C如圖在△ABC中,AB>AC,Z1=Z2,P為AD上任意一點(diǎn),求證;AB-AC>PB-PC10、10、如[亂在如[亂在㈣邊瑤A甌D點(diǎn)£是朋上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若藝〃=機(jī)巴加』=BC,IIZEC=網(wǎng)T判斷AD”譙LjRC的關(guān)乘并汪剛你的結(jié)論.11、AD為AABC的角平分線,直線MN丄AD于A.E為MN上一點(diǎn),△ABC周長(zhǎng)記為匚,^BC周長(zhǎng)記為P.求證P>P.BBA12、已知:△ABC和厶ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,聯(lián)結(jié)EC,取EC的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)BM和DM.(1)如圖1,如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上,那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是;(2)將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由.13、如圖,已知在厶ABC中,ZB=60°,AABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)0,求證:0E=0D14、如圖,AABC中,AD平分ZBAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC于F.(1)說(shuō)明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的長(zhǎng).15、如圖①,0P是ZMON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以0P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問(wèn)題:如圖②,在△ABC中,ZACB是直角,ZB=60°,AD、CE分別是ZBAC、ZBCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;如圖③,在△ABC中,如果ZACB不是直角,而⑴中的其它條件不變,請(qǐng)問(wèn),你在⑴中所得結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。圖①DC圖②圖③圖①DC圖②圖③16、正方形ABCD中,E為BC上的一點(diǎn),F(xiàn)為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求ZEAF的度數(shù)._A_A17、D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn),DM丄DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)ZMDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE=DFO若AB=2,求四邊形DECF的面積。BDC18、如圖,AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,ABDC是等腰三角形,且ZBDC=120。,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60。角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,求AAMN的周長(zhǎng)。
BDC19、已知四邊形ABCD中,AB丄AD,BC丄CD,AB二BC,ZABC=120。,ZMBN=60。,ZMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于E,F.當(dāng)ZMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)(如圖1),易證AE+CF=EF.當(dāng)ZMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE豐CF時(shí),在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想,不需證明.圖1)圖2)圖1)圖2)20、已知:PA二、2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).如圖,當(dāng)ZAPB=45。時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);當(dāng)ZAPB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)ZAPB的大小.
21、在等邊AABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為VABC外一點(diǎn),且ZMDN=60。,ZBDC=120。,BD=DC.探究:當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AAMN的周長(zhǎng)Q與等邊AABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.D圖1圖2圖3如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系Q是;此時(shí)—=;L如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且當(dāng)DM豐DN時(shí),猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?寫(xiě)出你的猜想并加以證明;如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí),若AN=x,貝yQ=(用x、L表示).24、如圖2-7-3,AABC中,ZABC=2ZC,ZBAC的平分線交BC于D。求證:AB+BD=AC25、如圖25、如圖2-7-4,AABC中,AC〉A(chǔ)B,AD平分ZBAC,P為AD上任PB、PC。求證:PC-PBVAC-AB。27、在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD丄MN于D,BE丄MN27、在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD丄MN于D,BE丄MN于E.當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證:①厶ADC^ACEB;?DE=AD+BE;當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),求證:DE=AD—BE;當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系,并加以證明。DCEEABBBAE圖MC團(tuán)2M\C7D圖328、已知:AABC為等邊三角形,M是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且60°角的頂點(diǎn)E在BC上滑動(dòng),(點(diǎn)E不與B、C重合),斜邊和ZACM的平分線CF交于點(diǎn)F(1)如圖(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊中點(diǎn)位置時(shí)猜想AE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系。連結(jié)點(diǎn)E與AB邊得中點(diǎn)N,猜想BE和CF滿足的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)證明你的上述猜想如圖(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊得任意位置時(shí):此時(shí)AE和EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明你的理由?29、已知AC平分ZMAN,ZMAN=120°,在圖(1)中,若ZABC=ZADC=90°,求證:AB+AD=AC。在圖(2)中,若ZMAN=120°,ZABC+ZADC=180°,貝9(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立請(qǐng)你給出證明,若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由?圖(1)圖(1)30、如圖1,在AABC中,點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn),直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),若點(diǎn)B、P在直線a的異側(cè),BM丄直線a于點(diǎn)M,CN丄直線a于點(diǎn)N,連接PM、PN.延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2),①求證:△BPM^△CPE:②求證:PM二PN;若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè),其它條件不變?此時(shí)PM=PN還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí),其它條件不變,請(qǐng)直接判斷PM=PN還成立嗎?不必說(shuō)明理由.題圖1題圖2題圖題圖1題圖2題圖331、如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上,連接AE,GC.(1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使點(diǎn)E落在BC邊上,如圖2,連接AE和GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.32、已知等邊△ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)卩到厶ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h、h、h,AABC的123高為h?!叭酎c(diǎn)P在一邊BC上(如圖1),此時(shí)h3=0,可得結(jié)論hi+h2+h3=h^請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題:當(dāng)點(diǎn)卩在厶ABC內(nèi)(如圖2).點(diǎn)P在△ABC外(如圖3)這若不成立,h2、h3若不成立,h2、h3與h之間的關(guān)系兩種情況時(shí),上述結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)給予證明;P33、在RtAABC中,ZA=90°,CE是角平分線,和高AD相交于F,作FG〃BC交AB于G,求證:AE=BG.34、如圖,點(diǎn)0是線段AD的中點(diǎn),分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形0AB和等邊三角形0CD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求ZAEB的大??;CE0CE0(2)若A0AB固定不動(dòng),保持AOCD的形狀和大小不變,將AOCD繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)(A0AB和AOCD不能重疊),求ZAEB的大小.35、如圖,圖1等腰AABC與等腰NDEC共點(diǎn)于C,且ZBCA=ZECD,連結(jié)BE、AD,若BC=AC、EC=DC.求證:BE=AD;⑵若將等腰ADEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時(shí),其余條件不變,BE與AD還相等嗎?為什么?(請(qǐng)你用圖2加以證明)
36、如圖1,RtAABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E是線段AC上兩動(dòng)點(diǎn),且AD=EC,AP丄BD于P,交BC于點(diǎn)Q,直線BD交直線QE于F.判斷ADEF的形狀,并說(shuō)明理由.37、如圖1,在等腰直角AABC中,ZACB=90。,O為AB的中點(diǎn),P為AB上一動(dòng)點(diǎn),D在BC上,且滿足PC=PD,DE丄AB于E.⑴求證:PO=DE⑵如圖2,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,⑴中的結(jié)論是否成立?⑶在圖3中畫(huà)出當(dāng)點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線上的情況,并給出相應(yīng)的證明;⑷還有什么樣的情況?在圖4中畫(huà)出圖形,給出證明.38、已知,如下圖,ZBAC=ZBCA,BD=CD,CE=AB,求證:AE=2AD。39、如圖,已知△ABC是等邊三角形,E是AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),選擇一點(diǎn)D,使得△CDE是等邊三角形,如果M是線段AD的中點(diǎn),N是線段BE的中點(diǎn),求證:ACMN是等邊三角形。40、如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E在邊BC上,ZCAE=ZB,E是CD的中點(diǎn),且AD平分ZBAE.(1)當(dāng)ZBAC=90。時(shí),求證:BD=AC.⑵當(dāng)ZBACH90。時(shí),是否還有BD=AC成立?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不能,也說(shuō)明理由。
41、已知:如圖,AABC中,ZABC二45°,CD丄AB于D,BE平分ZABC,且BE丄AC于E,與CD相交于點(diǎn)F,H是BC邊的中點(diǎn),連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G.(1)求證:BF=AC;(2)求證:CE=]BF;2(3)CE與BG的大小關(guān)系如何?試證明你的結(jié)論.42、如圖(1),一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng),將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O(點(diǎn)O也是BD中點(diǎn))按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).(1)如圖(2),當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M,GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí),通過(guò)觀察或測(cè)量BM,F(xiàn)N的長(zhǎng)度,猜想BM,F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖(3)所示的位置時(shí),線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N,此時(shí),(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2G圖圖1圖2G圖343、如圖1,ADEF的頂點(diǎn)D在AABC的邊BC上(不與B、C重合),且ZBAC+ZEDF=180。,AB=DF,AC=DE,點(diǎn)Q為EF的中點(diǎn),直線DQ交直線AB于點(diǎn)P.(1)猜想ZBPD與ZFDB的關(guān)系,并加以證明;(2)當(dāng)ADEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),其他條件不變,⑴中的結(jié)論是否始終成立?若成立,請(qǐng)你寫(xiě)出真命題;若不成立請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并給出正確的結(jié)論(不需要證明)44、如左圖,RtAABC中,ZC=90。,AC=BC,一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在AB的中點(diǎn)O處,繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),兩直角邊分別交AC于E,交BC于F.(1)求證:OE=OF,CE=BF(2)如右圖,將三角板繼續(xù)旋轉(zhuǎn),兩直角邊分別交AC延長(zhǎng)線于E,交BC延長(zhǎng)線于F.⑴中的結(jié)論是否正確?說(shuō)明理由.45、如圖,線段AB,點(diǎn)P在AB的下方,⑴若PA=PB,在的AB上方作A'A丄AP,且A'A=AP,作BBB丄PB,且BBB=PB,連接AABB,取AABA的中點(diǎn)O,連接AAOB,試判斷AAOB的形狀并證明。⑶若PA與PB不相等,其他條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?給出證明。46、⑴如圖1,等腰直角AAOB與等腰直角ACOD有公共頂點(diǎn)O,點(diǎn)C、O、B在同一條直線上,判斷AC與BD的關(guān)系并加以證明.⑵如圖2,等腰直角AAOB與等腰直角ACOD有公共頂點(diǎn)0,點(diǎn)C、O、B不在同一條直線上.判斷AC與BD的關(guān)系并加以證明.47、如圖,AAOB與ACOD中,0A=OB,0C=0D,ZAOB=ZCOD.AC與BD交于點(diǎn)P.
48、如圖,在AABC中,BE是AC邊上的中線,BF平分ZEBC交AC于F,AP丄BF于P,分別交BE、BC于H、G。猜想HE與CG的數(shù)量關(guān)系并證明.49、如圖1,銳角AABC中,AB=AC,CD//AB,P為邊BC上一點(diǎn),Q為直線CD上一點(diǎn),連接AP、PQ,使得ZAPQ=ZBAC.⑴猜想線段AP與PQ的數(shù)量關(guān)系并證明;⑵如圖2,若將“銳角AABC”改為“鈍角AABC”,其他條件不變,⑴中的結(jié)論是否正確?若正確,請(qǐng)你給出證明;若不正確,請(qǐng)你說(shuō)明理由.50、如圖,AABC中,AB=AC,CD//AB,P為邊BC上一點(diǎn),Q為射線CD上一點(diǎn),且滿足PQ=PA請(qǐng)你在圖中找出滿足條件的點(diǎn)Q,O并探究ZAPQ與ZBAC的關(guān)系.
51、如圖所示,D在AC上,△ABC.△ADE是等腰直角三角形,M是EC中點(diǎn)。(1)探究:線段MD、MB的關(guān)系,并加以證明;把^ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°,其他條件不變,畫(huà)出相應(yīng)的圖形,上述結(jié)論是否成立?將^ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度后,其他條件不變,線段MD、MB的關(guān)系,并加以證明。52、如圖(1),已知正方形ABCD在直線MN的上方,BC在直線MN上,E是BC上一點(diǎn),以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG.連接GD,求證:△ADG^AABE;連接FC,觀察并猜測(cè)ZFCN的度數(shù),并說(shuō)明理由;如圖(2),將圖(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b為常數(shù)),E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),ZFCN的大小是否總保持變圖(1)圖53、在△ABC中,ZB=60°,AD,CE分別是ZBAC,ZBCA的平分線,AD,CE相交于點(diǎn)F,請(qǐng)你判別并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;并證明你的結(jié)論.55、如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一點(diǎn),過(guò)D分別向AB、AC引垂線,垂足分別為E、F點(diǎn).過(guò)C點(diǎn)作AB邊上的高CG,請(qǐng)問(wèn)DE、DF、CG的長(zhǎng)之間存在怎樣的等量關(guān)系?并加以證明.56、已知線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)B,分別以AB、BC55、如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一點(diǎn),過(guò)D分別向AB、AC引垂線,垂足分別為E、F點(diǎn).過(guò)C點(diǎn)作AB邊上的高CG,請(qǐng)問(wèn)DE、DF、CG的長(zhǎng)之間存在怎樣的等量關(guān)系?并加以證明.56、已知線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)B,分別以AB、BC為邊向線段的同一側(cè)作等邊三角形△ABD和厶BCE.連接AE、CD(如圖),若MN分別為AE、CD的中點(diǎn).求證:AM=CN;(2)求ZMBN的大小;57、已知在△ABC中,BC=2AB,ZB=2ZC,求證:ZA=9058、如圖,人。是厶ABC57、已知在△ABC中,BC=2AB,ZB=2ZC,求證:ZA=9058、如圖,人。是厶ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE二EF.求證:角邊各向外作等腰直角三角形,求證EF=2AD。60、如圖,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=AD+BC,M是CD的中點(diǎn),分ZDAB和Z角邊各向外作等腰直角三角形,求證EF=2AD。61、如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別為BC和AB的中點(diǎn),DE與CF交與M點(diǎn),連接AM,求證:AM=AD。
62、(1)如圖,B、C、E三點(diǎn)共線,且aABC與aDCE是等邊三角形,連接BD、AE分別交AC、DC于M、N點(diǎn),且AE、BD交于P點(diǎn),求ZAPB的度數(shù)。AA如果(1)題中的B、C、E三點(diǎn)不共線,其他條件不變,如上右圖所示,求ZAPB的度數(shù)。如果(1)題中△ABC與aDCE都是等腰直角三角形時(shí),其他條件不變,如下圖所示,求Zapb的度數(shù)。apb的度數(shù)。如果△ACB與厶DCE都是以a為頂角度數(shù)的等腰三角形時(shí),其他條件不變,如上右圖所示,求直線AE與直線BD夾角的度數(shù)。
63、在AABC中,AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右.側(cè).作△ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,如果ZBAC=90°,貝屹BCE=度;(2)設(shè)ZBAC=a,ZBCE邙?①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng),則%卩之間有怎樣的數(shù)量關(guān)EBBD圖Dc152B備用圈BC備用圖系?請(qǐng)說(shuō)明理由;②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng),則EBBD圖Dc152B備用圈BC備用圖65、(1)如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,ZA=6O°,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在直線翻折得到△AMN,連接AC,求AC長(zhǎng)度的最小值。
(2)如圖,在四邊形(2)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,66、閱讀下面材料:小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,△ABO和ACDO均為等腰直角三角形,ZAOB=ZCOD=9廳.若△BOC的面積為1,試求以AD、BC、OC+OD的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積.圖1圖2圖1圖2IHIH小明是這樣思考的:要解決這個(gè)問(wèn)題,首先應(yīng)想辦法移動(dòng)這些分散的線段,構(gòu)造一個(gè)三角形,再計(jì)算其面積即可.他利用圖形變換解決了這個(gè)問(wèn)題,其解題思路是延長(zhǎng)CO到E,使得OE=CO,連接BE,可證△OBE^AOAD,從而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形(如圖2).請(qǐng)你回答:圖2中厶BCE的面積等于.請(qǐng)你嘗試用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法,解決下列問(wèn)題:如圖3,已知△ABC,分別以AB、AC、BC為邊向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,連接EG、FH、ID.在圖3中利用圖形變換畫(huà)出并指明以EG、FH、ID的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形(保留畫(huà)圖痕跡);若厶ABC的面積為1,則以EG、FH、ID的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積等于.
圖367、已知:在如圖1所示的銳角三角形ABC中,CH丄AB于點(diǎn)H,點(diǎn)B關(guān)于直線CH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,AC邊上一點(diǎn)E滿足ZEDA=ZA,直線DE交直線CH于點(diǎn)F.(1)求證:BF〃AC;⑵若AC邊的中點(diǎn)為M,求證:DF=2EM;(3)當(dāng)AB=BC時(shí)(如圖2),在未添加輔助線和其它字母的條件下,找出圖2中所有與BE相等的線段,并證明你的結(jié)論.68、在AABC中,BA=BC,ABAC=a,M是AC的中點(diǎn),P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn),將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PQ。(1)若a=60。且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖1),線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并寫(xiě)出ZCDB的度數(shù);圖]圖2.(2)在圖2中,點(diǎn)P不與點(diǎn)B,M重合,線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D,猜想ZCDB的大?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示),并加以證明;(3)對(duì)于適當(dāng)大小的a,當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn)B,M重合)時(shí),能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D,且PQ=QD,請(qǐng)直接寫(xiě)出a的范圍。BC,垂足為BC,垂足為M。求證:M是BE的中點(diǎn)。69、已知:如圖,AABC中,AB=AC,CD丄AB于D。求證:ZBAC=2ZDCB70、如圖,已知在等邊三角形ABC中,D是AC的中點(diǎn),E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE二CD,DM丄71、、已知:如圖,△ABC為等邊三角形,延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)BA到E,使AE=BD,連接CE、DE。求證:72、如圖,AABC為等邊三角形,且四邊形ADFE的面積和厶BFC的面積相等,求ZDFB的度數(shù)。73、已知如圖,在△ABC中,ZACB=90°,AD丄AB,且AD=AB,BE丄DC,AF丄AC,BE、AF交于點(diǎn)F。求證:CF是ZACB的角平分線。74、如圖,在AABC中,BE、CF分別為邊AC、AB的高,D為BC的中點(diǎn),DM丄EF于M.求證:FM=EM.75、如圖,點(diǎn)C在線段AB上,AD〃EB,AC=BE,AD=BC,CF平分ZDCE.試探索CF與DE的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
76、(1)已知:P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且PA=1,PB=2,PC=3,求ZAPB的度數(shù)。已知:P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=3,PB=4,PC=5,求ZAPB的度數(shù)。(3)如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,E是AB邊上的一點(diǎn),且AE=3,點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),求abeq周長(zhǎng)的最小值。如圖,已知矩形ABCD,把矩形沿直線AC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,連接DE、BE,若AABE是等邊三角形,求的值。'△ABE
77、如圖,AABC中,AB=AC,D、E、F分別為AB,BC,CA上的點(diǎn),BD=CE,ZDEF=ZB(1)求證:ABDE竺ACEF;(2)若ZA=40°,求ZEDF的度數(shù).78、如圖,已知四邊形ABCD是正方形,E是正方形內(nèi)一點(diǎn),以BC為斜邊作直角三角形BCE,又以BE為直角邊作等腰直角三角形EBF,且ZEBF=90°,連結(jié)AF。求證:AF=CE;求證:AF〃EB;⑶若AB=5爲(wèi),詈乎,求點(diǎn)詞區(qū)的距離。79、(1)已知:如圖①,在△AOB和厶COD中,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=60°,求證:①AC=BD;②ZAPB=60度;如圖②,在△AOB和厶COD中,若OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,則AC與BD間的等量關(guān)系式為;ZAPB的大小為;如圖③,在△AOB和厶COD中,若OA=k?OB,OC=k?OD(k>l),ZAOB=ZCOD=a,則AC與BD間的等量關(guān)系式為;ZAPB的大小為OJoDJ占圖③OJoDJ占圖③80、如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,B、C、G三點(diǎn)在一條直線上,且邊長(zhǎng)分別為2和3,在BG上截取GP=2,連結(jié)AP、PF.觀察猜想AP與PF之間的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、反射等變換能夠互相重合的兩個(gè)三角形?若存在,請(qǐng)說(shuō)明變換過(guò)程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.若把這個(gè)圖形沿著PA、PF剪成三塊,請(qǐng)你把它們拼成一個(gè)大正方形,在原圖上畫(huà)出示意圖,并請(qǐng)求出這個(gè)大正方形的面積.81、如圖,AABC與AADE都是等邊三角形,連結(jié)BD、CE交點(diǎn)記為點(diǎn)F.BD與CE相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.你能求出BD與CE的夾角ZBFC的度數(shù)嗎?若將已知條件改為:四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形,連結(jié)BE、DG交點(diǎn)記為點(diǎn)M(如圖).請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE圖).請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE和DG之間的關(guān)系?82、正方形四邊條邊都相等,四個(gè)角都是90。.如圖,已知正方形ABCD在直線MN的上方,BC在直線MN上,點(diǎn)E是直線MN上一點(diǎn),以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG.如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(不與點(diǎn)B、C重合)時(shí):判斷△ADG與厶ABE是否全等,并說(shuō)明理由;過(guò)點(diǎn)F作FH丄MN,垂足為點(diǎn)H,觀察并猜測(cè)線段BE與線段CH的數(shù)量關(guān)系,說(shuō)明理由;如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在射線CN上(不與點(diǎn)C重合)時(shí):①判斷△ADG與厶ABE是否全等,不需說(shuō)明理由;②過(guò)點(diǎn)F作FH丄MN,垂足為點(diǎn)H,已知GD=4,求厶CFH的面積.圖2圖2DBDB83、如圖所示,在AABC中,AD丄BC于點(diǎn)D,ZB=2ZC.求證:AB+BD=CD.84、如圖矩形ABCD中,AD=5,AB=7,點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△ADE沿AE折疊,當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在ZABC的角平分線上時(shí),求DE的長(zhǎng).85、已知:BD、CE是^ABC的高,點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB,求證:⑴AP=AQ;(2)AP丄AQ.86、如圖,在矩形ABCD中,E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且AC=CE,F(xiàn)為AE的中點(diǎn).求證:BF丄FD.87、(1)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,ZEAF=45°,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使DG=使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證:EF=FG.(2)如圖,等腰直角三角形ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且ZMAN=45°,若BM=1,CN=3,圏1求MN的長(zhǎng).1A88、如圖,已知ZABD=ZACD=60。,且ZADB=90?!猌BDC.A2求證:AABC是等腰三角形.89、如圖,△ABC中,ZBAC=90。,AB=AC,AD丄BC,垂足是D,AE平分/BAD,交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F,使FA丄AE,F(xiàn)C丄BC.求證:BE=CF;在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME.求證:①M(fèi)E丄BC;②DE=DN.90、如圖,△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG,連結(jié)EG,試判斷AABC與厶AEG面積之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.91、園林小路,曲徑通幽,如圖所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成.已知中間的所有正方形的面積之和是a91、園林小路,曲徑通幽,如圖所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成.已知中間的所有正方形的面積之和是
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