三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法。重心：\ABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的中線的交點(diǎn)；垂心：\ABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的垂線上的交點(diǎn)；內(nèi)心：\ABC中、每個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）；外心：MBC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）。一、重心1、0是AABC的重心＜^OA+OB+OC=0.?■—?若0是AABC的重心,則ABOC=AAOC=AAOB=-AABC故Q4+OB+OC=0,3PG=*(P4+P3+PC)OG為AA3C的重心.O1■■■2、P是所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是的重心oPG=-{PA+PB+PC).證明：PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG3PG=(AG+BG+CG)+(PA+~PB+PC)TG是的重心:.GA+GB+GC=O^>AG+BG+CG=Ot即3PG=PA+PB+PC■?I,?????由此可得PG=s(P4+P〃+PC).(反之亦然(證略))3、已知0是平面上一定點(diǎn)，AB，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=OA+A（AB+AC）,2w（0，+s）,則P的軌跡一定通過(guò)△4BC的重心.例1若0為MBC內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=6,則0是MBC的（A.內(nèi)心B.A.內(nèi)心B.外心C.垂D.重心二、垂心1、0是AABC的垂心u>OA?OB=OB?OC=OA?OC若0是AABC（非直角三角形）的垂心，則故tanAOA+tanBOB+tanCOC=62、//是面內(nèi)任一點(diǎn)，頁(yè)?麗=麗?HC=HC?頁(yè)O點(diǎn)//是的垂心.由頁(yè)?麗=麗?匪O麗（匪一頁(yè)）=00麗?花=00麗丄花,同理萬(wàn)W丄AB9麗丄荒?故H是MBC的垂心.（反之亦然（證略））3、P是△4BC所在平面上一點(diǎn)，若PA^PB=PB?嵐=疋冠,則P是的垂心.由只4?PB=PBPC.得pB?(pA—pC=o,即PB'CA=O9所以pA丄cd.同理可證疙丄AB,刃丄貳.???P是△A〃???P是△A〃C的垂心?如圖1.OP=OA+AABAC-~:—:ABcosBACcosCAg（0,+co）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)AABC的垂心.例2P是Z\ABC所在平面上一點(diǎn)，若顧?兩=兩?丸=元?PA,則P是Z\ABC的（）A.外心B.內(nèi)心A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心三、內(nèi)心1、0是AA3C的內(nèi)心的充要條件是AC三、內(nèi)心1、0是AA3C的內(nèi)心的充要條件是AC=OR^/BABC=5c>(\CACBAB\ACj網(wǎng)H引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記AB.BC.CA的單位向量為云，石，云,則剛才0是AA3C的內(nèi)心的充要條件可以寫(xiě)成鬲二況?總+云）=62、0是AABC的內(nèi)心的充要條件也可以是ci^OA+b^OB+c^OC=03、若0是AABC6勺內(nèi)心，則S^ou:Smou:Sum=a\b.ca?OA+b?OB+c?OC=6或者sin4?Q4+sin3?OB+sinC?OC=64、已知/為△4BC所在平面上的一點(diǎn)，且AB=c,AC=b,BC=ci.若aIA+bIB^cIC=09則/是△ABC的內(nèi)心.7b=1a+ab.IC=IA+AC則由題意得(a+b+c)IA+bAB?.?bAB+cAC=|AC|-AB7b=1a+ab.IC=IA+AC則由題意得(a+b+c)IA+bAB?.?bAB+cAC=|AC|-AB+1AB|?AC=|Ac|?|ab|-:.AI=bea+b+cABAC+cAC=0,..AB與絲分別為亦和疋方向上的單位向量,KI???石與ZBAC平分線共線，即AZ平分ZBAC.同理可證：別平分ZABCfC7平分ZACB.從而/是△ABC的內(nèi)心，如圖。5、已知0是平面上一定點(diǎn)，AB，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=OA+^ABR+(A)OP=OA+^ABR+(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心CD)垂心???當(dāng)兄丘(0，+“)時(shí)，M表示ABAC的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△AFC的內(nèi)心，如圖。例30平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足4Cr—)?2g[0,+oo)則卩點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)AABC的(AC四、外心1、0是AABC的外心o|oa|=|o^|=|oc|,若0是AABC的外心則S、boc:S“ou-Smob=siiiZBOC:sinZAOC:siiiZAOB=siii2A:sin2B:siii2C故sinAOA+siiiBOB+sinCOC=6o2、.3、已知0是/xABC所在平面上一點(diǎn)，若0^=0^=0^,則0是△ABC的外心.若OA2=OB2=oc\則|oA|2=|ob|2=|oc|2,|a?|=^OB\=|^c|，則0是AABC的外心,如圖1。3、已知O是平面上的一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=/AB丄ACOP=/AB丄AC、X.ABcosBAc|cosC^0A+0C~~2-/G（0,+CO），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△4BC的外心，如圖2。例4若0為AABC內(nèi)一點(diǎn)，p的=p料=則0是AABC的（）A?內(nèi)心B?夕卜心C?垂心D.重心關(guān)于“歐拉定理”的一些問(wèn)題：著名的"歐拉定理”講的是銳角三角形的"三心”——外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線——"歐拉線”；（2）三角形的重心在'‘歐拉線”上，且為外——垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例5在AABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2o證明：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A（0,0）.B3,0）、C（x2,y2）,D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn),則有：D（今,0）、￡（三寧,今）、尸（今，今）由題設(shè)可設(shè)0（今,兒）、日（心,兒），g（￥申??麗=（“』莎=（守_守，守一兒）BC=（x2-xl,y2），'

-AH丄:.AH?BC=x2(x2-xl)+y2y4=0x^x.-xj???兒=__-QFLAC.?顧?疋’(今一今)+兒(今—yJ=O/.y,=——=+—2兒32兒2x2-x12-.夢(mèng)=（學(xué)青,￥_兒）=（2心一勺心(兀2_小)2y2363?■-QH=(x22x2-x12-.夢(mèng)=（學(xué)青,￥_兒）=（2心一勺心(兀2_小)2y2363即QH=3QG,故0、G、”三點(diǎn)共線，且0G:GH=1：2例6?若0、H分別是△ABC的外心和垂心.求證OH=OA+OB+OC證明若HABC的垂心為H,外心為0,如圖.連％并延長(zhǎng)交外接圓于0,連結(jié)SO,CD.?*.AD丄AB,CD丄BC.又垂心為"，A/7丄BC,CH丄:?AH〃CD.CH//AD.???四邊形AHCD為平行四邊形，■?I???■?9■■■■■■/?AH=DC=DO+OC9故OH=OA+AH=OA+OB+OC?“歐拉定理"簡(jiǎn)化:例7設(shè)0、G、〃分別是銳角的外心、重心、垂心.求證—*1—*OG=-OH38.8.）證明按重心定理G是的重心OOG=^(OA+ojB+OC)按垂心定理OH=OA+OB+OC由此可得OG=-OH.3補(bǔ)充練習(xí)一：已知4、E、C是平面上不共線的三點(diǎn)，0是AA3C的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足?11?1?■OP二一（―04+—OB+2OC）,則點(diǎn)P—定為AABC（）322邊中線的中點(diǎn)邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心邊的中點(diǎn)2?在同一個(gè)平面上有AABC及一點(diǎn)0滿(mǎn)足關(guān)系式：OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2,則0為AABC的A外心B內(nèi)心A外心B內(nèi)心C重心D垂心)3?已知Z\ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足：PA+PB+PC=09TOC\o"1-5"\h\z則P為AABC的（）A夕卜心B內(nèi)心C重心D垂心已知0是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足:OP=OA+A（AB+AC）f則P的軌跡一定通過(guò)AABC的（）A夕卜心B內(nèi)心C重心D垂心已知AABC,P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：pA?pC+pA?pB+pB?pC=o,貝up點(diǎn)為三角形的（）}A夕卜心B內(nèi)心C重心D垂心5?已知△ABC,P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿(mǎn)足：crPA+b-PB+c^PC=O,貝UP點(diǎn)為三角形的7.已知非零向量而與7.已知非零向量而與AC滿(mǎn)足莒+絲HM?荒=6?且普笛斗則期|AC2(A)內(nèi)心C重心D垂心外心B6.在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：CA=CB-2AB^,則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)AABC的：()A外心B內(nèi)心c重心D垂心B.B.直角三角形D.等邊三角形AABC為A.三邊均不相等的三角形C.等腰非等邊三角形9.WBC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為W.OH=m(OA^OB^OC),則實(shí)數(shù)m二。9?點(diǎn)0是MBC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足頁(yè)麗=麗?況=況?可，則點(diǎn)O是AABC的()A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)10.已知點(diǎn)G是MBC的重心，過(guò)G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),^LAM=xAB,SV=yAC,則丄+丄=3。xy證點(diǎn)G是AABC的重心，^GA+GB+GC=Q^-AG+(AB-AG)+(AC-AG)=0,tAG=^(AB+AC)o又M,N,G三點(diǎn)共線(A不在直線MN上)，于是存在乙“，使得走=2碩+“麗(且2+“=1),有AG=AxAB+pyAC=^(AB+AC),1，于是得土+丄=3。Ax=uy=-xy3補(bǔ)充練習(xí)二:1、已知0是Z\ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA=OB2=oc\則0是Z\ABC的〔〕A、重心A、重心B、垂心C、外心D.內(nèi)心2、在Z\ABC中，有命題①孫—AC=BC；（2）AB+BC+CA=O；③若（AB+AC）＞（A5-AC）=0,則Z\ABC為等腰三角形；④若而?況＞0,則MBC為銳角三角形，上述命題中正確的是〔〕A、①②B、①④C、②③D.②③④3、已知Z\ABC3、已知Z\ABC中，有=丄，試判斷ZkABC的形2狀。4、已知Z\ABC中，AB=aBC=b,4、已知Z\ABC中，AB=a^fAABC的形狀。5、已知0是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足|5a|2+|5c|2=|55|2+|Acj2=|oc|2+|ab|2,貝qo是aabc的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心6、已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=OA+AABACMw（0,+s）,則動(dòng)點(diǎn)P—定過(guò)Z\ABC的〔A、重心B、垂心7、已知0為平面內(nèi)一點(diǎn)，A、B.C、外心D、內(nèi)心C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=~OA+}\jB+g（0,2）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)AABC的〔A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心8、已知0是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

OP=OA+AABAC卜耳cosBOP=OA+AABAC卜耳cosB|ac|cosC則動(dòng)點(diǎn)P—定過(guò)Z\ABC的（:A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心?亦OB"2分別相交于M、N兩點(diǎn)，且9、已知0是AABC亦OB"2分別相交于/r