版高中數(shù)學(xué)全程學(xué)習(xí)方略配套等比數(shù)列習(xí)題課-完整版課件

求數(shù)列的通項(xiàng)公式【名師指津】累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于數(shù)列{an}，若an+1-an=f(n+1)，則a2-a1=f（2）a3-a2=f（3）a4-a3=f（4）……an-an-1=f（n）各等式相加得:an-a1=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（n）∴an=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（n）+a1.此方法稱為累加法.若f（n）是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.【特別提醒】應(yīng)用累加法的最終目的是求an,因此要注意n的取值范圍，防止出現(xiàn)累加相消后求an+1或an-1的情況.【例1】已知數(shù)列{an}中，a1=7，a2=9，前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【審題指導(dǎo)】由題目中給出的Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），可得出an與an-1的關(guān)系式，再進(jìn)一步求an即可.【規(guī)范解答】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）得Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）.∵an=Sn-Sn-1∴an=an-1+2n-1（n≥3）.即an-an-1=2n-1（n≥3）.又a2-a1=9-7=2∴an-an-1=2n-1（n≥2）.∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+7=+7=2n+5.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+5.【互動(dòng)探究】在本例中若條件改為a1=9，a2=11，其他條件不變，又該如何求通項(xiàng)公式呢？【解題提示】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），得出an與an-1的關(guān)系式，再進(jìn)一步求an.【解析】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）得Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）.∵an=Sn-Sn-1，∴an=an-1+2n-1（n≥3）.即an-an-1=2n-1（n≥3）.又a2-a1=11-9=2,∴an-an-1=2n-1（n≥2）.∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+21+9=+9=2n+7.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+7.等比數(shù)列的證明【名師指津】等比數(shù)列證明的常用方法.（1）定義法（2）等比數(shù)列的性質(zhì)和常用結(jié)論（3）構(gòu)造新數(shù)列法【例2】若數(shù)列{an}首項(xiàng)為1，且2an+1-an=2，求證：數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列.【審題指導(dǎo)】題目中給出了a1的值以及2an+1-an=2這一關(guān)系式，欲證明數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列，需利用2an+1-an=2進(jìn)行適當(dāng)變形，構(gòu)造出an+1-2=k（an-2）的形式.【規(guī)范解答】由2an+1-an=2，得an+1=an+1，∴an+1-2=（an-2），而a1=1，故an-2≠0，∴又a1-2=-1，∴數(shù)列{an-2}是首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列.【變式訓(xùn)練】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn.當(dāng)b=2時(shí)，試證明數(shù)列{an-n·2n-1}是等比數(shù)列.【證明】由題意得a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1，兩式相減得b（an+1-an）-2n=（b-1)·an+1,即an+1=ban+2n①當(dāng)b=2時(shí)，由①知an+1=2an+2n.于是an+1-（n+1)·2n

=2an+2n-（n+1）2n=2（an-n·2n-1），又因?yàn)閍1-1×21-1=1≠0，即所以數(shù)列{an-n·2n-1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.有關(guān)分期付款問(wèn)題【名師指津】解決分期付款問(wèn)題的兩種處理辦法.（1）按照事件發(fā)生的先后順序依次求出數(shù)列的前n項(xiàng)，并由此歸納出數(shù)列的通項(xiàng)的一般表達(dá)式；（2）以貸款和存款的增值兩條線索分別計(jì)算，并由它們的相對(duì)平衡（或大?。┙⒎匠蹋ɑ虿坏仁剑┣蠼?【例】陳老師購(gòu)買安居工程集資房一套需82000元，一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，陳老師已有現(xiàn)金28800元，尚缺10000元，以月利率為1%，每月以復(fù)利計(jì)息借貸.陳老師從借貸后第二個(gè)月開始以一定金額分6個(gè)月付清，試問(wèn)每月應(yīng)支付多少元？（不滿百元湊足百元，lg1.01≈0.0043,lg1.061≈0.0257,lg1.07≈0.0294)【審題指導(dǎo)】由題目知陳老師以復(fù)利借貸10000元，且月利率為1%，可以以陳老師的欠款為主線計(jì)算，也可以假設(shè)陳老師是每個(gè)月將一固定數(shù)目的金額以相同的條件存入銀行，最后一次還清貸款.【規(guī)范解答】方法一：設(shè)每個(gè)月還貸a元，第1個(gè)月后欠款為a0元，以后第n+1個(gè)月還貸a元后，還剩下欠款an元（1≤n≤6)，則a0=10000,a1=1.01a0-a,a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a,……a6=1.01a5-a=1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a.由題意可知a6=0,即1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a=0,a=又因?yàn)閘g1.016=6lg1.01≈0.0258,所以1.016≈1.061,a=≈1800.答：每月應(yīng)支付1800元.方法二：一方面，借款10000元，將此借款以相同的條件存儲(chǔ)6個(gè)月，則它的本利和為S1=104(1+0.01)6=104×1.016(元）.另一方面，設(shè)每個(gè)月還貸a元，分6個(gè)月還清，到貸款還清時(shí)，其本利和為S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a==a(1.016-1)×102.由S1=S2，得a=以下解法同方法一，得a≈1800.答：每月應(yīng)支付1800元.【變式備選】某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)車，銀行貸款的年利息為10%，按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)還多少元？【解題提示】由題目可知張教授以復(fù)利貸款2萬(wàn)元且年利率為10%，可以等額分10次存入銀行，最后一次還清貸款；也可以以張教授的欠款為主線計(jì)算.【解析】方法一：設(shè)每年還款x元，需10年還清，那么各年還款利息情況如下：第10年付款x元，這次還款后欠款全部還清；第9年付款x元，過(guò)1年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(1+10%)元；第8年付款x元，過(guò)2年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(1+10%)2元；…第1年付款x元，過(guò)9年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(1+10%)9元.依題意得：x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20000(1+10%)10解得x=≈3255(元).答：每年應(yīng)還3255元.方法二：第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行20000（1+10%）-x=20000×1.1-x，第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行［20000（1+10%）-x］(1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x，…第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.110-1.19x-1.18x-…-x，依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得20000×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0，解得x=≈3255(元).答：每年應(yīng)還3255元.

【典例】(12分)（2011·山東高考）等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足：bn=an+（-1）nlnan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【審題指導(dǎo)】由題目表中的數(shù)據(jù)，可確定數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比，故可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；欲求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，需從bn=an+（-1）nlnan入手，利用拆項(xiàng)分組求和的方法進(jìn)行即可.【規(guī)范解答】（1）當(dāng)a1=3時(shí)，不合題意；當(dāng)a1=2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2=6，a3=18時(shí)，符合題意；當(dāng)a1=10時(shí)，不合題意；……2分因此a1=2，a2=6，a3=18.所以公比q=3.故an=2·3n-1.………4分（2）因?yàn)閎n=an+（-1）nlnan=2·3n-1+（-1）nln（2·3n-1）=2·3n-1+（-1）n[ln2+（n-1）ln3]=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）+（-1）nnln3,…………6分所以Sn=2（1+3+…+3n-1）+[-1+1-1+…+（-1）n]（ln2-ln3）+[-1+2-3+…+（-1）nn]ln3……………8分所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=2×+ln3=3n+ln3-1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=2×-（ln2-ln3）+（-n）ln3=3n-ln3-ln2-1.……10分綜上所述，Sn=……12分【誤區(qū)警示】對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：【即時(shí)訓(xùn)練】在本例條件不變的情況下，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n.【解析】由典例解答可知，bn=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）+（-1）nnln3,所以S2n=b1+b2+…+b2n=2（1+3+…+32n-1）+［-1+1-1+…+（-1）2n］（ln2-ln3）+［-1+2-3+…+（-1）2n2n］ln3=2×+nln3=32n+nln3-1.1.設(shè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為則它的第四項(xiàng)是（）（A）1（B）（C）（D）【解析】選A.a4=a3q=a3=1.2.等比數(shù)列{an}中，a2=2,a5=則公比q=（）(A)(B)-2(C)2(D)【解析】選D.∵a5=a2q3,∴=2q3,∴q=3.等比數(shù)列{an}中，已知前4項(xiàng)和為1，前8項(xiàng)和為17，則此等比數(shù)列的公比為（）（A）2(B）-2