數(shù)值計算上課第二部分-ch3-2正交多項式

近的重要工具.正交多項式是函數(shù)(

x)

f

(

x)g(

x)dx

0數(shù)且滿足(

f

(

x)，g(

x))

ba則稱f

(x)與g(x)在a,b上帶權(quán)(x)正交.)}

axb

上帶是權(quán)(，)x 正交函數(shù)系;則稱{(滿足關系k

k0，jk0,

jAkaj，k若函數(shù)族0

()(，1b(),n

(

定義3.2若Ak

1,則稱之為標準正交函數(shù)系.一、正交多項式的基本概念若f

(x)，g(x)

C

0

a,b，(x)為a,b上的權(quán)函,m

n0,

m

n,sin

mx

sin

nxdx

,m

n0,

m

n,cos

mx

cos

nxdx

正交多項式的基本概念(2)任意兩個相同函數(shù)在[

,

]上的積分等于

.(1,1)

2

,

(sin

kx,

sin

kx)

(cos

kx,

cos

kx)

,而對k,

j

1,2,...,當k

j時,

有(cos

kx,

sin

kx)

(1,

cos

kx)

(1,

sin

kx)

0(cos

kx,

cos

jx

)

(sin

kx,

sin

jx

)

(cos

kx,

sin

jx

)

0區(qū)間[a,b]上關于權(quán)函數(shù)的正交函數(shù)系必定線性無關。證明設權(quán)函數(shù)為(x),正交函數(shù)系為{：0

,1

,...n

}

c11

...

cnn

0即存在不全為零的實數(shù)c0

,c1

,...cn使得假設{0

,1

,...n

}線性相關(反證法)c00不妨設ci

0，則有：c（0

0，i

)

c（1

1，i

)

...

c（n

而（i，i

)

0,只有ci

0（i，i

)

0證畢定理6.2二、正交函數(shù)系的性質(zhì)證明：dx

0k k

1(

x)

Qbak｛

(x)｝正交｛k

(x)｝正交｛k

(x)｝線性無關組k

1j

0k

1Q

(

x)

j

jb

(

x)線性組合()xQk

1()(()jj

0kbakk

1dx

ba()dx＝0＝bbajk

1j

0正交函數(shù)系的性質(zhì)設k

(x)是k次多項式，(x)為權(quán)函數(shù)，Q

dx

k

1,(2,.0..)k

k

1ak

k

1(

x)(

,

Q

)

則{k

(x)}在[a,b]上正交的充要條件是：對任意的k,b定理6.3其中Qk

1

(x)為任意至多k

1次多項式正交函數(shù)系的性質(zhì)正交多項式系的性質(zhì)：{0

,1

,...n

}線性無關對Pn

(x)

Hn均可表為0

,...n的線性組合

k

kj0,

kj0，kjbakj

，

(3)()()(())只要給定區(qū)間a,b及權(quán)函數(shù)(x),均可由一族線性無關的冪函數(shù){1,x,..xn

...},利用逐個正交化手續(xù)構(gòu)造出正交多項式序列{

(

x)}

:n

0（n

1，2

，.......)0

n

x

(1(x,))

）j

0jj

x

(()三、正交多項式系的構(gòu)造2x

3

x

5

5

(

4

(

6

4

3

由{1,x,..xn

...}[0,1]正交多項請

寫出8

(

x)

~

10

(

x)正交多項式系的構(gòu)造(

x)

x2111

11

231

x5

105143

143

5

x

295

(7746

(3由{1,x,..xn

...},[1,1]正交多項請

寫出8

(

x)

~

10

(

x)正交多項式系的構(gòu)造定理：按以下方式定義的多項式集合{0

,1

,n

}是區(qū)間[a,b]上關于權(quán)函數(shù)(x)

0（,(x)不恒為零的正交函數(shù)族。(()((2)n),0

(11(,))

1k

其中或按下述定理求正交多項式系的構(gòu)造1.勒讓德多項式及其結(jié)構(gòu)特點權(quán)函數(shù)(x)

1由{1,x,...xn

,...}正交化得到的多項式區(qū)間為[1,1]符號:P0

(x),P1

(x),...Pn

(x),...(n

1,2,...)P0

(

x)

112

nd

n一般表達式:

Pn

(

x)

2n

n!

dxn

{(

x

1)

},四、勒讓德(Legendre)正交多項式的勒讓德多項式為.顯然最高項系數(shù)為12n

(n!)2(2n)!n于是得首項xn的系數(shù)a

(2n)!

dxn[(

x2

1)n

]n!~d

nnP

(

x)

勒讓德正交多項式，m

n

2n

1Pn

(

x)Pm

(

x)dx

1勒讓德正交多項式2.勒讓德多項式的重要性質(zhì):性質(zhì)1

正交性20，m

n；1性質(zhì)2

奇偶性奇函數(shù),偶函數(shù),Pn(

x)n為偶數(shù)時n為奇數(shù)時性質(zhì)3

遞推關系PP

(

x)n

1n1nnn1n

1(

x)

2n

1

P

(

x)

P1

(

x)

x勒讓德正交多項式3.勒讓德多項式集的前10位:P0

(

x)

123

x

2

1P2

(

x)

33

4()(

30

P

,45P

(

x)

(63x

5

70x

3

15

,

105

x

2

5)

16

,46P

(請

寫出8

(

x)

~

10

(

x)

315

x

3

35)

16,57P

(,區(qū)間為[1，1]時當權(quán)函數(shù)（x）1

x21的正交多項式由序列2就是切比

v

項式,)它(

可表示為Tn

(

x)

cos(n

arccos

x),

x

1.若令x

cTn

(

x)

cos

n

0

..五、切比(Chebyshev)正交多項式.切1

比項及其結(jié)構(gòu)特點1權(quán)函數(shù)(x)1

x2由{1,x,...xn

,...}正交化得到的多項式區(qū)間為[1,1]符號

(:

),

10

n

xT),x...一般表達式:Tn

(x)

cos(narccos

x),x

1.切比正交多項式.切3

比T0

(

x)

1切比多項式集的前10位:請

寫出8

(

x)

~

10

(

x),2T3

(T,201634)(55

1

1120

432

12810T

(79T

(x

28T

(5

18

x

2

1,

56

x

3

7

x7T

(46T

(T

(

x)

2x2

1,T

(

x)

x1正交多項式dxnn(

xn

e

x

)x

,

L

(

x)

ex

[0,),

(

x)

e遞推關系：L

(

x)

(2n

1

x)L

(

x)

n2

L

(

x)n1

n

n1(n

1,2,)x

(n

1,2,)L0

(

x)

1,

L1

(

x)

x

1,

L2

(

2,k

0

k

k!nk

n

n!,

Ln

(

x)

(1)

k六、拉

（Laguerre）正交多項式d

n數(shù)據(jù)擬合時正交多項式的使用:定義:滿足下列條件的函數(shù)族(

),

10( ),

m

(稱為以的正交函數(shù)族.為權(quán)關于點集21

,kj

)(kx(0,(0,)1,)

mkj(,)kk(,)n

ikii

1

02拉蓋兒正交多項式組的系數(shù)矩陣一定是對角陣，不會出現(xiàn)

。此時正則方程組的解為：n(k

0,1,,

m)ni

1

i

1

2

(

x

)i

k

iiyik

(

xi

)拉蓋兒正交多項式按上述方法求出正交多項式函數(shù)族后，以此正交函數(shù)族為基函數(shù)做最小二乘擬合多項式，其正則方程ka

kk

,k

y,

最小二乘函數(shù)為：m

(

x)

akk

(

x)k

0函數(shù) 近的基本概念函數(shù)

近的基本概念函數(shù)

近簡單函數(shù)p(x)

復雜函數(shù)要求：f

(

x)f

(x)

p(x)

盡可能?。ㄗ銐虻男。㎞Hn

{Pn

(

x),,}C[a,]b

{[a,]b

區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，，數(shù)乘}C

p

[a,b]{[a,b]區(qū)間上具有p階連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，數(shù)乘}函數(shù)

近的基本概念函數(shù)

近的基本概念范數(shù)與賦范空間設S為線性空間，

為S

上的范數(shù)則｛S,

｝稱為賦范線性空間。內(nèi)積與內(nèi)積空間N維數(shù)量空間內(nèi)積(

x,

y)

x1

y1

x2

y2

...

xn

yn(

x,

y)

x1

y1

x2

y2

x3

y3(3),((),(),,),,

K

時，(0u,u)0u＝

(2),(u(u),v)v

u(4v)(,0,)

當且僅當則稱(u,v)為X上的內(nèi)積函數(shù)

近的基本概念推而廣之設X是數(shù)域K(R或C）上的線性空間，對u,v

X

,