浙江大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（第4版）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解

目錄內(nèi)容簡介旦旦第1章概率論的基本概念復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第2章隨機(jī)變量及其分布復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第3章多維隨機(jī)變量及其分布復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題精選第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1復(fù)習(xí)筆記42課后習(xí)題詳解4.3考研真題詳解第5章人數(shù)定律及中心極限定理復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第6章樣本及抽樣分布復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第7章參數(shù)估計(jì)復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第8章假設(shè)檢驗(yàn)復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第9章方差分析及回歸分析復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第10章bootstrap方法復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第11章在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用Excel軟件復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第12章隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第13章馬爾可夫鏈復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第14章平穩(wěn)隨機(jī)過程復(fù)習(xí)筆記課后習(xí)題詳解考研真題詳解第1章 概率論的基本概念1.I復(fù)習(xí)筆記ー、隨機(jī)事件事件間的關(guān)系（見表1-1-1）關(guān)系表不包含關(guān)系A(chǔ)uB和事件AUB,Ua.Ua積事件n aoAOB,CH，M M差事件A-B互斥AB=0逆事件A表1-1-1事件間的關(guān)系事件的運(yùn)算設(shè)A,B,C為事件,則有:(1)交換律:AUB=BUA；AnB=BClA；(2)結(jié)合律：AU(BUC)=(AUB)UC；ACI(BClC)=(AAB)DC；(3)分配律：AU(BDC)=(AUB)Cl(AUC)；ACI(BUC)=(AAB)U(ACIC): (4)德摩根律：山5=ス「耳:?イ5=/Uア。二、頻率與概率概率的性質(zhì)(1)若AuB,則P(B-A)=P(B)-P(A)與P(B)>P(A)(2)(逆事件的概率)P(A(_))=1-P(A)；(3)(加法公式)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)；尸(4U4U-U4)=ラ尸(4)一X尸(44)+X尸(444)+…+(T尸ア口出…4)推廣:對于任意n個(gè)事件A”A2, A?,三、等可能概型(古典概型)?愛鈔ぐ霜諡齧計(jì)算公式四、條件概率乘法定理(1)乘法公式:若P(A)>0,則P(AB)=P(B|A)P(A)〇p(44…4)=p(444…4_jp(4_i4厶…42ジ-P(ス-4)(2)若P(AiA2...A?-i)>0,則有全概率公式和貝葉斯公式(1)全概率公式P(A)=P(A|BI)P(Bi)+P(A|Bユ)P(B2)+...+P(A|B?)P(B?)

尸(旦?粵皿迎…2,??ノ

￡p(h鳥?(鳥)y-1(2)貝葉斯公式尸(N)=P(A|B)P(B)+尸(41B)P(B)注:全概率公式和貝葉斯公式的最簡單形式p(B⑷==PQ4B網(wǎng)Bし ー'P(A)P(AB)P(B)+P(A^B)P(B)五、獨(dú)立性兩個(gè)事件獨(dú)立(1)P(AB)=P(A)P(B)(2)兩個(gè)定理①若P(A)>0,A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B),反之同樣。②若事件A與B獨(dú)立,則A與B(_)獨(dú)立,A(_)與B獨(dú)立,A(_)與B(_)獨(dú)立。三個(gè)事件獨(dú)立PC4B)=尸(J)尸(8)

<P(BC)=P(5)P(C)P(AC)=P(A)P(C)設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,如果滿足等式則稱A,B,C兩兩獨(dú)立,若ア(?婚。=尸(<)尸(B)P(C)也成立，則a,B,C相互獨(dú)立n個(gè)事件獨(dú)立p（44）=p（&）尸（4）、p（444）=p（4）p（4）p（4）.尸（イル…ル）=p（4）p（4）“尸（4）設(shè)Ai,隈,…,A提n（n>2）個(gè)事件，Vl<i<j<k<...<n,則Aいん,…,ん相互獨(dú)立1.2課后習(xí)題詳解寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間s：(1)記錄ー個(gè)班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(設(shè)以百分制記分)；(2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù);(3)對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查,合格的記上“正品”,不合格的記上“次品’’,如連續(xù)查出了2件次品就停止檢查,或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查,記錄檢查的結(jié)果;(4)在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn),記錄它的坐標(biāo)。解:(1)以n表示該班的學(xué)生數(shù)，總成績的可能取值為0,1,2,3,...,100n,試驗(yàn)的樣本空間為S={i/n|i=O,1,2,...,100n}(2)設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了k件不合格品，樣本空間為S={10+k|k=0,1,2,...}或?qū)懗蒘={10,11,12,…}。(3)采用0表示檢查到一件次品,以1表示檢查到一件正品，例如0110表示第一次與第四次檢查到次品,而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可表示為S={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}(4)取一直角坐標(biāo)系，則有S={(x,y)|x2+y2<l},若取極坐標(biāo)系,則有S={(p,e)|p<l,o<9<27t}設(shè)A,B,C為三個(gè)事件,用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件:A發(fā)生,B與C不發(fā)生；A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生;A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生;A,B,C都發(fā)生；A,B,C都不發(fā)生:A,B,C中不多于ー個(gè)發(fā)生；A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生。解:以下分別用D(i=l,2,…，8)表示(1),(2),…，(8)中所給出的事件,ー個(gè)事件不發(fā)生即為它的對立事件發(fā)生,例如事件A不發(fā)生即為A(_)發(fā)生。A發(fā)生,B與C不發(fā)生,表示A,B(_),C(_)同時(shí)發(fā)生,故D產(chǎn)AB(_)C(_)或?qū)懗蒁i=A-B-C；A與B都發(fā)生而C不發(fā)生,表示A,B,C(_)同時(shí)發(fā)生,故D?=ABC(_)或?qū)懗蒁?=AB—C；(3)①方法1由和事件的含義知,事件AUBUC即表示A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生,故D.,=AUBUC；②方法2事件“A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生”是事件“A,B,C都不發(fā)生”的對立事件,因此,D-=.-LBC.③方法3事件“A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生”表示三個(gè)事件中恰有一個(gè)發(fā)生或恰有兩個(gè)發(fā)生或三個(gè)事件都發(fā)生,因此,D,又可寫成D,=AB(_)C(_)UA(_)BC(_)UA(_)B(_)CUABC(_)UAB(_)CUA(_)BCUABCD4=ABC；D5=A(_)B(_)C(_)；“A,B,C中不多于ー個(gè)發(fā)生”表示A,B,C都不發(fā)生或A,B,C中恰有一個(gè)發(fā)生,因此,D6=A(_)B(_)C(_)UAB(_)C(_)UA(_)BC(_)UA(_)B(_)C；又“A,B,C中不多于ー個(gè)發(fā)生”表示“A,B,C中至少有兩個(gè)不發(fā)生”,亦即A(_)B(_),B(_)C(_),A(_)C(_)中至少有一個(gè)發(fā)生，因此又有D6=A(_)B(_)UB(_)C(_)UC(_)A(_)；又“A,B,C中不多于ー個(gè)發(fā)生”是事件G=“A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生”的對立事件,而Df=AB\jBC2cA=ABcBCr\CA事件G可寫成G=ABUBCUCA,因此又可將寫成“A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生”表示A,B,C都不發(fā)生或A,B,C中恰有一個(gè)發(fā)生或A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生,因此D7=A(_)B(_)C(_)UAB(_)C(_)UA(_)BC(_)UA(_)B(_)CUABC(_)UAB(_)CUA(_)BC又“A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生”表示A,B,C中至少有一個(gè)不發(fā)生,亦即A(_),B(_),C(_)中至少有一個(gè)發(fā)生，即有D尸A(_)UB(_)UC(_)；又“A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生”是事件“A,B,C三個(gè)都發(fā)生”的對立事件,因此又有D-=ABC.D8=ABUBCUCA,也可寫成Db=ABCUA(_)BCUAB(_)CUABC(_)。(1)設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求AUB,A(_)B(_),AUBUC,A(_)B(_)C(_)，A(_)B(_)C,A(_)B(_)UC的概率。(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容,求P(AB(_))；(ii)若P(AB)=1/8,求P(AB(_))〇產(chǎn)(ZuBuC)=尸(⑷+P(B)+尸(C)-P(J5)-P(3C)ー尸(/C)+P(一!BC)=二+P(,18C)8解:(1)由ABCuAB,已知P(AB)=0,故OgP(ABC)<P(AB)=0,得P(ABC)=0,所求概率為P(AUBUC)=5/8〇P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15尸(萬"尸(不詞=1ー尸(/uB)=ラTOC\o"1-5"\h\z■——— ， 3PL13C)=Pb4v5oC)=l-P(J0B^C)=—

20尸(duBしC)=尸(,4)+尸(5)+尸(C)ーア(.15)-尸(XC)一尸(BC)+P(,￡BC)11 1 1 1 1 1 51 1723 5 10 15 20 30 60 20pHBC)=尸レ!B(S-6))=P{AB-ABC\=尸い5)ー尸(ABC)=\ー5=—記p=P(A(_)B(_)UC),由加法公式p=p(畫+P(C)—尸(疵)$+:磊=5アしー)= 尸(イーイ3)=尸(/)ーア(Z5)=丄(i)1丿、I 】尸|?包|=尸(イ(S-B))=尸(イー,四)=尸(イ)ーア(イ5)=5—&=&(n) Z&&設(shè)A、B是兩個(gè)事件(1)已知AB(_)=A(_)B,驗(yàn)證A=B；(2)驗(yàn)證事件A和事件B恰有一個(gè)發(fā)生的概率為P(A)+P(B)-2P(AB)?解:(1)假設(shè)AB(_)=A(_)B,故有(AB(_))U(AB)=(A(_)B)U(AB),則A(B(_)UB)=(A(_)UA)B,即AS=SB,故有A=B。尸(イルしあ)=尸しつ)+尸(J5)=尸(イ(S-B))+尸(B(S—イ))=尸(イー?4)+尸(B-,15)=尸(イ)+尸(3)-2尸(J5)(2)A,B恰好有一個(gè)發(fā)生的事件為AB(_)UA(_)B,其概率為10片藥片中有5片是安慰劑(1)從中任意抽取5片,求其中至少有2片是安慰劑的概率;(2)從中每次取一片,作不放回抽樣,求前3次都取到安慰劑的概率。解:(1)p=l-P(取到的5片藥片均不是安慰劑)一P(取到的5片藥片中只有1片是安慰劑)，即(2)p=(5/10)?(4/9)?(3/8)=1/12〇在房間里有10個(gè)人,分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章,任選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。(1)求最小號碼為5的概率;(2)求最大號碼為5的概率。

解:在房間里任選3人,記錄其佩戴的紀(jì)念章的號碼,10人中任選3人共有N(S)=,「=120種選法,此即為樣本點(diǎn)的總數(shù),以A記事件“最小的號碼為5”,以B記事件“最大的號碼為5(1)因選到的最小號碼為5,則其中一個(gè)號碼為5且其余兩個(gè)號碼都大于5,它們可從6?1N(2)=:: 尸(d)=N(イ)/N(S)=： ；=2。這5個(gè)數(shù)中選取,故、「ノ,從而 「ノノ、、，ノLN(B卜:尸(B)=N(B)/N(S)=ノ(2)同理, Lノ,故 '.->7,ゝ3J某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、紅漆3桶,在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落,交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客,問ー個(gè)訂貨為4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少?解:以S表示:在17桶油漆中任取9桶給顧客,以A表示事件“顧客取到4桶白漆、3桶黑漆尸(,4尸(,4)=A，(4)/N(S)唄:)GJ順嗡N(S)=：；N(d)=Iリ，故事件A發(fā)生的概率為與2桶紅Iリ，故事件A發(fā)生的概率為在1500件產(chǎn)品中有400件次品、1100件正品,任取200件。(1)求恰有90件次品的概率;(2)求至少有2件次品的概率。解：總數(shù)S:從1500件產(chǎn)品中任取200件產(chǎn)品,以A表示事件“恰有90件次品”，以B表示事件“恰有i件次品“，i=0，1,以C表示事件“至少有2件次品”。,ゝ<150(⑴ゝ⑸=1200

U。。で11。。U。。で11。。1400丫110090J',110尸(d)=N⑷/"(S)=90'no1500200尸(C)=尸(S—一BJ=尸(S—[30萬Bj)=1ー尸(BquB])=1ー尸(穌)-尸(3]iC=S-B(1-B.?其中,Bo,Bi互不相容,所以N(即=[20〇?400ヽ1100,「1500、;,200J尸(蜃)=故ァ出”]199’N(即=[20〇?400ヽ1100,「1500、;,200J尸(蜃)=故ァ出”]199’<400Y11001991500；200I1：/'1500、、：400,P(C)=1-2001100199'1500,I2001100200從5雙不同的鞋子中任取4只,問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少?解:總數(shù)S:從5雙不同的鞋子中任取4只。以A表示事件“所取4只鞋子中至少有兩只配成一雙鞋子”,則N表示事件“所取4只鞋子無配對”。先計(jì)算P(A(_))較為簡便。以下按N(A(_))的不同求法,列出本題的3種解法,另外還給出ー種直接求P(A)的解法。解法一:考慮4只鞋子是有次序ー只一只取出的,從5雙(10只)鞋子中任取4只共有10x9x8x7種取法,N(S)=10x9x8x7?，F(xiàn)在來求N(A(_))：第一只可以任意取，共有10種取法，第二只只能在剩下的9只中且除去與已取的第一只配對的8只鞋子中任取ー只,共8種取法:同理第三只、第四只各有6種、4種取法,從而N(A(_))=10x8x6x4〇故

p(j)=1p(j)=1-pIjI=1-y(j)/y(s)=1-10x8x6x410x9x8x71321解法二:從10只鞋子中任取4只,共有機(jī)法,即N(S)=[°]ゝ4丿。為求N(A(_))?先從5雙鞋子中任取4雙共有メ/種取法,再自取出的每雙鞋子中各取1只(在一雙中取ー只共有2種取法),共有24種取法解法三:現(xiàn)在來求N(A(_))〇先從5只左腳鞋子中任取k只(k=0,1,2,3,4),有種取法。而剩下的4—k只鞋子只能從(不能與上述所取的配對的)5—k只右腳鞋子中選取尸(<)=1ー尸(0=1-N(R/N(S)=1ー益=ウ

14丿=80,故,一、よ’5,‘5ー=80,故,即對于每個(gè)固定的k,,即對于每個(gè)固定的k,有解法四：以A表示事件“所取4只鞋子中恰能配成i雙"(i=l,2),則A=A1UA2,A,A：=0,故P(A)=P(A.)+P(ん)，因Aユ為4只恰能配成2雙,它可直接從5雙鞋子中成雙地取得,故 ?12ノ,n(A,)的算法是：先從5雙中取1雙,共有[.レ種取法,另外兩只能從其他8只中取,共有選ノ種取法,不過這種取法中將成雙的也算在內(nèi)了,應(yīng)去掉。從而.V(J1)=120〇N(S)仍為解法二中.V(J1)=120〇N(S)仍為解法二中的210種,故尸(，)=尸(4)=尸(a：)=N(4)ド(幻

N(S)N(S)120+102101321ー在11張卡片上分別寫上probability這11個(gè)字母,從中任意連抽7張,求其排列結(jié)果為ability的概率。解:解法一:總數(shù)S:自11個(gè)字母中隨機(jī)地接連抽7個(gè)字母并依次排列,將11個(gè)字母中的兩個(gè)b看成是可分辨的，兩個(gè)i也看成是可分辨的,N(S)=AR以A記事件“排列結(jié)果為P(4)=N(N)/N(S)=3=2.4xl(r41ability",則N(A)=4(因b有兩種取法,i也有兩種取法)，因而解法二:本題也可利用乘法定理來計(jì)算,以Al,B2,L,し4,L,K,Yア依次表示取得字母P(4B13ル項(xiàng)再)=P(4)P(8：piJP(ム|J,B2)xP(Z4IAvBJjjP{Is43273丄JxP(TfIAiBiIiLJsjP^IAiBihLdJi)1221111_4111098765jAa,b,i,1,i,t,y各事件,則所求概率為將3只球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去,求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概率。解：總數(shù)S:將3只球隨機(jī)地放人4個(gè)杯子中去,易知共有4，種放置法,以A,表示事件“杯子對于A“只有當(dāng)3只球放在同一杯子中時(shí)オ能發(fā)生,有4個(gè)杯子可以任意選擇,于是'⑷圖,故中球的最大個(gè)數(shù)為i”,i1,2,3中球的最大個(gè)數(shù)為i”,i1,2,3。尸(J3)尸(J3)=N(a)/N(S)=16對于事件Aい只有當(dāng)每個(gè)杯子最多放ー只球時(shí)才能發(fā)生,因而N(A.)=4x3x2=ん，,故P(A:)=N(4)/N(S)=a//43=-8對于ん,因AiUA2UA3=S,AiAj=0(由),故P(A,)+P(ん)+P(A,)=1,從而p(ん)=l-l/16-3/8=9/16o50只鐘釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上,其中有3只鉀釘強(qiáng)度太弱,每個(gè)部件用3只鉀釘，若將3只強(qiáng)度太弱的獅釘都裝在ー個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少?解:將部件自1到10編號,隨機(jī)試驗(yàn)E:隨機(jī)地取卸釘，使各部件都裝3只鉀釘，以A,表示事件“第i號部件強(qiáng)度太弱”。由題設(shè)，僅當(dāng)3只強(qiáng)度太弱的鉀釘同時(shí)裝在第i號部件上，A,才巧能發(fā)生,由于從50只鉀釘中任取3只裝在第i號部件上共有や」種取法,強(qiáng)度太弱的獅釘僅有3種取法,強(qiáng)度太弱的獅釘僅有3只，它們都裝在第i號部件上,只有=1種取法，故尸=尸{4し4しー"しス"}=尸(4)+尸(ム)+…+尸(4o)= =①る又知Aいん,…,ん。兩兩互不相容,因此,10個(gè)部件中有一個(gè)強(qiáng)度太弱的概率為［ー俱樂部有5名一年級學(xué)生,2名二年級學(xué)生,3名三年級學(xué)生,2名四年級學(xué)生。(1)在其中任選4名學(xué)生，求ー、二、三、四年級的學(xué)生各一名的概率;(2)在其中任選5名學(xué)生,求ー、二、三、四年級的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率。

12；=495解:（1）共有5+2+3+2=12名學(xué)生，在其中任選4名共有14ノ=60種選法,其中每年級各選1名的選法有種選法,因此,所求概率為=60種選法,其中每年級各選1名的選法有種選法,因此,所求概率為p=60/495=4/33；,‘12ヽ;（2）在12名學(xué)生中任選5名的選法共有ぐノ種，在每個(gè)年級中有一個(gè)年級取2名,而其他3個(gè)年級各取1名的取法共有于是所求的概率為p=240/792=10/33〇(1)已知P(A(_))=0.3,P(B)=0.4,P(AB(_))=0.5,求條件概率P(B|AUB(2)解:已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,試求P(2)解:P{AB)P夙バ萬）P{AB)戶（3］イし研=- =-尸（メU月）由題設(shè)得PiAj=1—P(J)=0.7.P|BI=1—PiBi=0.6P(JB)=P(J(S-5))=P(^)-P(^5)=0.2

0.20.7+0.6-0.5=0.250.20.7+0.6-0.5=0.25P(AB}=P[B4)P(Z)=工P{B}=P(/4B)/P(J|B)=l/i=iP(人3)=P⑷+P⑻-P⑷=%も((2)擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用兩種方法)。解:隨機(jī)試驗(yàn)E:擲兩顆骰子,觀察其出現(xiàn)之點(diǎn)數(shù),以A記事件“兩骰子點(diǎn)數(shù)之和為ブ,以B記事件“兩顆骰子中有一顆出現(xiàn)1點(diǎn)”。解法一:按條件概率的定義式:P(B|A)=P(AB)/P(A)來求條件概率,設(shè)想兩顆骰子是可分辨的,樣本空間為S={(1,1),(1,2),...,(1,6),(2,1),(2,2),...,(2,6),...,(6,6)}事件A為A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},事件AB為AB={(1,6),(6,1)},P(51P(51.4)=2/366/36現(xiàn)在N(S)=36,N(A)=6,N(AB)=2,因此解法二:按條件概率的含義來求P(B|A),樣本空間原有36個(gè)樣本點(diǎn)，現(xiàn)在知道了“A已經(jīng)發(fā)生”這一信息，根據(jù)這一信息，不在A中的樣本點(diǎn)就不可能出現(xiàn)了,因而試驗(yàn)所有可能結(jié)果所成的集合就是A,而A中共有6個(gè)可能結(jié)果,其中只有兩個(gè)結(jié)果(1,6)和(6,1)有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn),因此P(B|A)=2/6=1/3。據(jù)以往資料表明,某ー3口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:P(孩子得?。?0.6,P｛母親得病|孩子得?。?0.5,P(父親得病|母親及孩子得病｝=0.4,求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解:以A記事件“孩子得病”,以B記事件“母親得病”,以C記事件“父親得病”,按題意需要求P(ABC()),已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|BA)=0.4。=P（C3J）=P（C|BJ）P（A4）=P\C\BA）尸（3⑷尸⑷

=（1-P（C|&4））P（B\A）P（J）=0.6x0.5x0.6=0.18由乘法定理得!已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，在其中取兩次，每次任取一件,作不放回抽樣,求下列事件的概率:(1)兩件都是正品;(2)兩件都是次品;一件是正品,一件是次品;(4)第二次取出的是次品。解:隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E:在10件產(chǎn)品中(其中有2件次品)任取兩次,每次取1件，作不放回抽樣,以A,(i=l,2)表示事件“第i次抽出的是正品”,因?yàn)槭遣环呕爻闃?所以:(1)兩件都是正品的概率為尸(44)=刊厶國尸(4丿=記=不(2)兩件都是次品的概率為一件是正品,一件是次品的概率為產(chǎn)（メスu44）=尸（スみ）+尸（スル）煙（よす（率j）=0）=尸（一㈤尸（4）+尸（ル閭ア（4）

288216=—X +—X = 91091045p（4）=p（4しス）4=p（一區(qū)2スス2）=p（a4）+p（44）=p（ZI4）P（4）+P（ス區(qū)）尸（4）2812 1=—X——T X =—9109105（4）第二次取出的是次品的概率為某人忘記了電話號碼的最后ー個(gè)數(shù)字,因而他隨意地?fù)芴?求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率.若已知最后ー個(gè)數(shù)字是奇數(shù),那么此概率是多少?解:解法一:以4表示事件“第i次撥號撥通電話"，i=l，2,3,以A表示事件“撥號不超過3次撥通電話”，則有A=AiUA(_)AUA(_)A(_)2A3,事件A”A(_)A,A(_hA(_)2A3發(fā)生的概率如P(4)=ホX8-9X1-8pX8-9X1-8尸(4ム4)=尸(ム1/ノ2)尸(出14)P(4)所以該人撥號不超過三次而接通所需電話的概率為P（4）=P（4）+P（ス出）ー尸（444）='+'+'=ヽ（2）當(dāng)已知最后一位數(shù)是奇數(shù)時(shí),所求概率為p=l/5+l/5+l/5=3/5。解法二:沿用解法一的記號。尸（X）=1ー尸（撥號三次都接不通）=1ー尸（キスズ］=1ーヌAUiA：）尸（ス丸れ）PXJ=1-モ、スxホ=ホ（1）該人撥號不超過三次而接通所需電話的概率為:2343（2）當(dāng)已知最后一位是奇數(shù)時(shí),所求概率為。 3455。（1）設(shè)甲袋中裝有n只白球、m只紅球;乙袋中裝有N只白球、M只紅球，今從甲袋中任意取ー只球放入乙袋中,再從乙袋中任意取ー只球,問取到白球的概率是多少?（2）第一只盒子裝有5只紅球,4只白球;第二只盒子裝有4只紅球,5只白球，先從第一盒中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒中任取ー只球,求取到白球的概率。解:解法一:（1）隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E;從甲袋任取ー球放人乙袋（試驗(yàn)E。,再從乙袋任取ー球觀察其顏色（試驗(yàn)艮），試驗(yàn)E是由Ei和民合成的,以R表示事件“從甲袋取得的是紅球”，シ=S獷=（Rし滅ア=即（而］（五田）（財(cái)）=0以W表示事件“從乙袋取得的是白球“，即有尸（R）="ーJ（R）=」ー

n+mヽ'n+m而在計(jì)算P（W|R）,P（W|R（_））時(shí)，注意在試驗(yàn)Eユ中,乙袋球數(shù)為N+M+1只;在求P（W|R）時(shí)，乙袋白球數(shù)為N,但在求P（W|R（_））時(shí)，乙袋白球數(shù)為N+1,故從乙袋取到白球的概率為

P（り=P（Rり+尸（前）=P（JF|R）尸（R）+P（歹I無）P國=Nm+1+Nn_ ”+N（〃+m）N+Sf+1n+mN+Sf+1n+m（〃+"り（N+Af+1）（2）隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E:從第一盒中任取2只球放入第二盒（E1,再從第二盒任取一球觀察其顏色（氏）,以R（i=0,1,2）表示事件“從第一盒中取得的球中有i只是紅球”,以W表示事件“從第二盒取得一球是白球”,由于R。,R,,氐兩兩互不相容,且R,URU氐=S,故W=SW=（R?UR,UR2）W=R"W+RiW+R?WP（JF）=尸（メア）+尸（斗F）+尸（&甲）=尸（カ風(fēng)）尸（4）+p（wa）尸（舄）+尸（丁I&）尸（&）從而18P(j?1)=i-P(jt)-P(j?;)=i---—=18p（m&）=Iナ（ア陽）=[p（ブ旦）=、在試驗(yàn)Eユ中第二盒球的個(gè)數(shù)為11,故所以

p(n-)p(n-)=—x-1166

+—x111055 1 x—=18111899解法二:(1)以A表示事件“最后取到的是白球”,以B表示事件“最后取到的是甲袋中的A=￡4=(8.ぶ).4=BA\jSa,{^BA^BA\-0球”,因尸(4)=尸(K4)+尸(瓦ア(3)+尸(イ1)尸(無)于是PB=——i——?尸(月ト、ー"N+A/+11ノN+M+1而P(A\B)=-,P(AB)=-^—

n+rn' 'N+Af又有?、 ” 1N N+M n+y(n+m)P(A] f = : ”+mN+Af+1N+AfN+M+1(n-m)(N+Af+1)故(2)以A表示事件“最后取到的是白球”,以B表示事件“最后取到的是甲袋中的球”,因A=SA=(BUB(_))A=BAUB(_)A,(BA)(B(_)A)=04-5999尸(/)=尸(メ忸)尸(51+pH忸)尸(豆)=-X—+-x—99911911某種產(chǎn)品的商標(biāo)為“MAXAM”,其中有2個(gè)字母脫落,有人撿起隨意放回,求放回后仍為“MAXAM”的概率。解:以H“H”H”H”依次表示事件“脫落M、M”，“脫落A、A”，“脫落M、A”，“脫落X、A”，“脫落X、M”,以G表示事件“放回后仍為MAXAM”,所需求的是P(G),可10103費(fèi)/儲知H"H“H?H」，出兩兩不相容，且H2HユUH,UH』UH5=S,已知P(G|HJ=P(GH2)=lP(G|Jf3)=P(G|/f4)=P(G|/fJ)=i尸(G)=，P(G|H:圧(4)

コ10101010105由全概率公式得,放回后仍為“MAXAM”的概率為已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者,今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人,恰好是色盲者,問此人是男性的概率是多少?解:以A表示事件“選出的是男性”,則A(_)表示事件“選出的是女性”，以H表示事件“選出的人患色盲”,則H(_)表示“選出的人不患色盲”,由題設(shè)可知

P(A)=P(A(_))=1/2,P(H|A)=0.05,P(H|A())=0.0025P(4|H)=P(AH)

P⑻P(4|H)=P(AH)

P⑻P(H\A)P{A}-￥p(h\a)p(a]0.05x-0.05x-+0.0025x-所需求的概率是P(A|H),由貝葉斯公式得|ー學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p,若第一次及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為“2。(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格,求他取得該資格的概率;(2)若已知他第二次已經(jīng)及格,求他第一次及格的概率。解:E:一學(xué)生接連參加一門課程的兩次考試,以A:表示事件“第i次考試及格”，i=l,2；以A表示“他能取得某種資格”。尸(4)=P,-(%)=1-p金(414)=ア，尸(414)=卜(1)按題意A=AiUA(_)iA2,因AC(A(_),A2)=0,且由已知條件P(z)=P(4し44)=P(4)+尸(ス4)=p+P(^4,|4)P(4)=p+—(l-p)=-p--p*故(2)根據(jù)貝葉斯公式可知,在第二次及格的條件下,該人第一次及格的概率為P\AA-yP\AA-yIア(4I4)P(4)P(4)P(4⑷尸(4)+p(る昌)p(不pxp2P

pxp-^(l-p)PT將兩信息分別編碼為A和B傳送出去,接收站收到時(shí),A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01,信息、A與信息B傳送的頻繁程度為2：1,若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少?解:以D表示事件“將信息A傳遞出去”,則D(_)表示事件“將信息、B傳遞出去”，以R表示“接收到信息A”,則R(_)表示事件“接收到信息B”,按題意需求概率為P(D|R),已知P(RD)=0.02;P(J?ID)=O.OLP(D)/P(D)=2,P(D)+P(D(_))=1得P(D)=2/3,P(D(_))=1/3P\DR)=P[DR)

P\R] P(RD}P(D)

P(/?|D)P(D)+P(2?|D)P(5)

(P\DR)=P[DR)

P\R]3 196(l-0.02)x-+0.01x-1973 3由貝葉斯公式得到,在接受到信息A的情況下，原發(fā)信息是A的概率為有兩箱同種類的零件,第一箱裝50只,其中10只一等品;第二箱裝30只,其中18只一等品,今從兩箱中任挑出ー箱,然后從該箱中取零件兩次,每次任取ー只，作不放回抽樣,求:(1)第一次取到的零件是一等品的概率；(2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解:以H表示事件“從第一箱中取零件”,則H(_)表示事件“從第二箱中取零件”，由己知條件知P(H)=P(H(_))=1/2

又以A,表示事件“第i次從箱中(不放回抽樣)取得的是一等品”，i=l,2〇(1)由條件P(A,|H)=1/5,P(A.|H(_))=3/5,故P(A.)=P(Ai|H)P(H)+P(A,|H(_))P(H())=1/10+3/10=2/5(2)需要求的是P(AilA.),因P(A2IAD=P(A1A2)/P(Ai),而P(AA)=P(AA|H)P(H)+P(AAIH())P(H(_))由條件概率的含義,P(A.A2|H)表示在第一箱中取兩次,每次取ー只零件,作不放回抽樣,且兩次都取得一等品的概率，因第一箱共有50只零件,其中有10只一等品,故有P(AiA2|H)=(10/50)X(9/49);同理P(A,A2|H(_))=(18/30)x(17/29)〇［尸(44IH)尸(H)+P(44國I尸國ワ1050X1050X9一49某人下午5:00下班,他所積累的資料表明:到家時(shí)間5:35-5:395:40?5:445:45—5:495:50-5:54遲于5:54乘地鐵的概率0.100.250.450.150.05乘汽車的概率0.300.350.200.100.05表1-1某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,結(jié)果他是5:47到家的,試求他是乘地鐵回家的概率。解:以H表示事件“乘地鐵回家”，則H(_)表示事件“乘汽車回家”,因到家時(shí)間為5:47,它屬于區(qū)間5:45?5:49,以T記“到家時(shí)間在5:45?5:49之間”,則需要求的是概率P(H|T),已知P(T|H)=0.45,P(T|H(_))=0.20,又因他是由擲硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,因此,P(H)=P(H(_))=0.5,由貝葉斯公式得

P(HT]

P\HT\=— - P(T]p(TH)P(H)+P\TH\P\H\0.45x0.5 _90.45x0.5+020x0.5=13病樹的主人外出,委托鄰居澆水,設(shè)已知如果不澆水,樹死去的概率為0.8,若澆水則樹死去的概率為0.15,有0.9的把握確定鄰居會記得澆水。（1）求主人回來樹還活著的概率。（2）若主人回來樹已死去,求鄰居忘記澆水的概率。P（ア）=0.9,P|FF|=0.LP51ア）=0.85,P|Z|り=02P⑷=P（Z|ア）ア（ア）+P（4|JF|P（り=0.85x0.9+0.2x0.1=0.785解:（1）記A為事件“樹還活著”,記W為事件“鄰居記得給樹澆水”,即有尸冋エ）=p(J|ft)p(if)[レア(イ|所)]4(W)尸冋エ）=p(J|ft)p(if)[レア(イ|所)]4(W)1ー尸⑷0.8x0,10.2150.372（2）根據(jù)貝葉斯公式可得，在樹已死的條件下,鄰居忘記澆水的概率為設(shè)本題涉及的事件均有意義,A,B都是事件:(1)己知P(A)>0,證明P(AB|A)>P(AB|AUB)；(2)若P(A|B)=1,證明P(B(_)|A(_))=1；(3)若C也是事件,且有P(A|C)>P(B|C),P(A|C(_))>P(B|C(_)),證明P(A)>P(B)〇證:(1)若P(A)>0,要證P(AB|A)>P(AB|AUB),該不等式左邊等于P(AB)/P(A),右邊等于P(AB)/P(AUB)〇因?yàn)锳UBnA,P(AUB)>P(A),故有P(AB|A)>P(AB|AUB)。(2)由P(A|B)=1得P(AB)/P(B)=1,即P(AB)=P(B),所以_P(2B)_P(AUB)_1-P(AuB)_1-P(A)~P(B)+P[AB)1レP{A}~叩) 1ー尸(イ)(3)由假設(shè)P(A|C)>P(B|C)?即P(AC)>P(BC)〇同樣由P(A|C(_))>P(B|C())就有P(AC(_))>P(BC()),即P(A(S-C))>P(B(S-C)),得P(A)-P(AC)>P(B)-P(BC)或P(A)-P(B)>P(AC)-P(BC)因?yàn)镻(AC)>P(BC),得P(A)>P(B)〇有兩種花籽,發(fā)芽率分別為0.8,0.9?從中各取ー顆,設(shè)各花籽是否發(fā)芽相互獨(dú)立,求(1)這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率;(2)至少有一顆能發(fā)芽的概率;(3)恰有一顆能發(fā)芽的概率。解:以A,B分別表示事件第一顆、第二顆花籽能發(fā)芽,即有P(A)=0.8,P(B)=0.9o(1)由A,B相互獨(dú)立,得兩顆花籽都能發(fā)芽的概率為P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.9=0.72(2)至少有一顆花籽能發(fā)芽的概率,即事件.入5的概率為P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98尸(.金しみ)=アし4)+尸lB)-2P,4m=0.8+0.9-2Pl.lB)=O.8+O.9-2P(^)P(B)=1.7-2x0.72=0.26(3)恰有一顆花籽能發(fā)芽的概率，即為事件AB(_)UBA(_)的概率，由第4題(2)得根據(jù)報(bào)導(dǎo)美國人血型的分布近似地為:A型為37%,〇型為44%,B型為13%,AB型為6%,夫妻擁有的血型是相互獨(dú)立的。B型的人只有輸入B、〇兩種血型オ安全,若妻為B型,夫?yàn)楹畏N血型未知,求夫是妻的安全輸血者的概率；(2)隨機(jī)地取ー對夫婦,求妻為B型夫?yàn)锳型的概率。(3)隨機(jī)地取ー對夫婦,求其中一人為A型,另一人為B型的概率;(4)隨機(jī)地取ー對夫婦,求其中至少有一人是〇型的概率。解:(1)由題意知夫血型應(yīng)為B、0オ為安全輸血者,因兩種血型互不相容,故所求概率為p尸0.44+0.13=0.57(2)因夫妻擁有血型相互獨(dú)立,于是所求概率為p2=0.13x0.37=0.0481(3)所求概率為p3=2xO.37xO.13=0.0962(4)有三種可能,即夫?yàn)椹?妻為非〇;妻為〇,夫?yàn)榉签?夫妻均為〇;所求概率為p,=2x0.44x(1-0.44)+0.44x0.44=0.6864(1)給出事件A、B的例子,使得(i)P(A|B)<P(A)；(ii)P(A|B)=P(A)；(iii)P(A|B)>P(A)〇(2)設(shè)事件A,B,C相互獨(dú)立,證明:(i)C與AB相互獨(dú)立；(ii)C與AUB相互獨(dú)立。(3)設(shè)事件A的概率P(A)=0,證明對于任意另ー事件B,有A,B相互獨(dú)立。(4)證明事件A,B相互獨(dú)立的充要條件是P(A|B)=P(A|B(_))〇解;(1)舉例(i)設(shè)試驗(yàn)為將骰子投擲一次,事件A”出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,則P(A|B)=0,P(A)=1/2,故P(A|B)<P(A)〇(ii)設(shè)試驗(yàn)為將骰子擲一次,A同上，B為“擲出點(diǎn)數(shù)N1”,則P(A|B)=1/2,而P(A)=1/2,故P(A|B)=P(A)。(iii)設(shè)試驗(yàn)為將骰子擲一次,A同上,B為“擲出點(diǎn)數(shù)為”,則P(A|B)=2/3,而P(A)=1/2,故P(A|B)>P(A)〇(2)因A,B,C相互獨(dú)立,故P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)從而P(C(AB))=P(CAB)=P(C)P(A)P(B)=P(C)P(AB),即C與AB相互獨(dú)立。P(C(Jk>5))=P(C4oCB)=P(CJ)+P(CB)-P(CJB)=P(C)P(.4)+P(C)P(B)-P(C)P(J)P(5)=P(C)[P(/)+P(B)-PO]=P(C)P(イしB)即C與AUB相互獨(dú)立。(3)因ABuA,故若P(A)=0,則gP(AB)<P(A),從而P(AB)=0=P(B)0=P(B)P(A)按定義,A,B相互獨(dú)立。(4)必要性:設(shè)A,B相互獨(dú)立,則A,B(_)也相互獨(dú)立,從而知P(A|B)=P(A),P(A|B())=P(A),故P(A|B)=P(A|B(_))〇充分性:設(shè)P(A|B)=P(A|B(_)),則P(AB)/P(B)=P(AB(_))/P(B(_)),尸Q0尸(,劃+ 尸(ス仍2月))P(B)~P(B)+P(S)~ ~ ~1J，由比例的性質(zhì)得即P(AB)=P(A)P(B),即A,B相互獨(dú)立。設(shè)事件A,B的概率均大于零,說明以下的敘述(1)必然對；(2)必然錯;(3)可能對;并說明理由。(1)若A與B互不相容，則它們相互獨(dú)立;(2)若A與B相互獨(dú)立,則它們互不相容;P(A)=P(B)=0.6,且A,B互不相容;P(A)=P(B)=0.6,且A,B相互獨(dú)立。解:(1)必然錯。若A,B互不相容，則〇=P(AB)RP(A)P(B)。(2)必然錯。因若A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B)>0。(3)必然錯。因若A,B互不相容，則P(AUB)=P(A)+P(B)=1.2,這是不對的。(4)可能對。有一種檢驗(yàn)艾滋病毒的方法,其結(jié)果有概率。.005報(bào)道為假陽性(即不帶艾滋病毒者，經(jīng)此檢驗(yàn)法有0.005的概率被認(rèn)為帶艾滋病毒),今有140名不帶艾滋病毒的正常人全部接受此種檢驗(yàn),被報(bào)導(dǎo)至少有一人帶艾滋病毒的概率為多少?解：在本題中,這140人檢查結(jié)果是相互獨(dú)立的，這ー假定是合理的,將人編號，第i號人檢驗(yàn)結(jié)果以A,表示正常，則A(_)表示被報(bào)道為帶艾滋病毒者，由題意知P(A(_?=0.005,從而P(A,)=1-0.005=0.995,于是140人經(jīng)檢驗(yàn)至少有一人被報(bào)道呈陽性概率為p=尸（至少有一人呈陽性）=1-尸（無人為陽性）140ロ140ロ4廣1一口尸（4）=1ー。995Mo由!401go.995=0.4957（得p=1—0.4957=0.5043。這說明,即使無人帶艾滋病毒,這樣的檢驗(yàn)法認(rèn)為140人中至少有一人帶艾滋病毒的概率大于0.5。盒中有編號為1，2,3,4的4只球,隨機(jī)地自盒中取ー只球,事件A為“取得的是1號或2號球”,事件B為“取得的是1號或3號球”,事件C為“取得的是1號或4號球”,驗(yàn)證P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)但P(ABC)WP(A)P(B)P(C),即事件A,B,C兩兩獨(dú)立，但A,B,C不是相互獨(dú)立的。證:以A,(i=l,2,3,4)表示取到第i號球，則P(A,)=P(AD=P(A5)=P(A」)=1/4；又A=AiUAz,B=AiUAi,C=A,UA4,且Ai,A2,As,A』兩兩不相容，故有P(A)=P(B)=P(C)=1/2另外,AB=A>,AC=Ai,BC=A.,ABC=A.,故P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=P(A.)=1/4P(AB)=—=P(BC)=：=J=P⑷ P(AB)=—=P(BC)=：=X卜P網(wǎng)P(C),P(ABC)=^P(A)P(5)P(C)=I試分別求以下兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性:（1）設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4I它們的可靠性分別為卩,p=,p.?P4,將它們按圖1-2-1（1）的方式連接（稱為并串聯(lián)系統(tǒng)）；⑵⑵r-CZI—CZZh-4 1- 2 3,~~圖1-2-1(2)設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4,5.它們的可靠性均為p,將它們按圖1-2-1(2)的方式連接(稱為橋式系統(tǒng))。解:(1)以A;表示事件“第i只元件正常工作"，i=l,2,3,4,以A表示“系統(tǒng)正常工作”A=A-[(厶均)しス]=4スス3D厶ス4,已知各元件是否正常工作相互獨(dú)立,且有P(A,)=p,(i=l,2,3,4),由圖知尸(n)=尸(44/3)+尸(44)-=尸(4)尸(め尸(4)+尸(4)尸(4)一尸(4るムん)=BPア3+。必ー尸(4)尸(厶)尸(厶)尸(4)=ロ(厶+203一ら03厶)由加法公式及各元件工作的獨(dú)立性得到系統(tǒng)1的可靠性為(2)以A:表示事件“第i只元件正常工作”，i=l,2,3,4,5,以A表示“系統(tǒng)正常工作”，已知各元件是否正常工作相互獨(dú)立,且有P(A,)=p(i=l,2,3,4,5)〇解法一:(路徑窮舉法)根據(jù)系統(tǒng)邏輯框圖(圖1-2-(2)),將所有能使系統(tǒng)正常工作的路徑ーー列出,再利用概率的加法定理和乘法定理來計(jì)算系統(tǒng)的可靠性P(A),由圖知使橋式系統(tǒng)正常工作的路徑有下列4條：12,45,135,432,以B記事件第j(j=l,2,3,4)條路徑正常工作,即有B：=イムメ4、,5ヽ—4イム,83— —A^A^Ay尸（j）=尸（用<jB2<jB3<jBa^=ミ尸（耳）-Z尸（5円）+しア他5汽）一口5也5區(qū)）=尸（4出）+尸（aス）+尸（44ス）+尸（444）一尸（4ホスス）-P（44ス厶）—P（.ムーもちt）ー「（4WaW）一尸（斗-ちスユ）—尸（ai-dl-dij）+P（一wイナン當(dāng)）+P（ムも44ーキ）+P（ムちスムス）+尸（44&4W）-P（4444ス）=2pz+2Pコー5p"+2/于是得系統(tǒng)的可靠性為解法二:（全概率公式法）按元件3處于正常工作與失效兩種狀態(tài),將原系統(tǒng)簡化為典型的并串聯(lián)和串并聯(lián)系統(tǒng),再「1|-￡=3~CZJq「14=］~~E=J-（2）用全概率公式:P"）=P"出10,⑷+叩⑷尸⑷來計(jì)算原系統(tǒng)的可靠性。當(dāng)元件3正常工作時(shí),系統(tǒng)簡化成如圖1-2-尸（X14）=尸［（45ム）（4Uル）］,尸（xI引=尸（445444）2（1）所示,當(dāng)元件3失效時(shí),系統(tǒng)簡化成如圖1-2-2（2）所示,因此尸(イ)=)(也5t)[ア(4)+尸(屮?44—尸(4し4)=尸(4)+P(4)一尸(44)=2p-p'又由于同樣產(chǎn)(5444)=尸(4)尸(4)+尸(4)尸(4)一尸(4)尸(4)尸(4)ア(4)=2p‘ーグP(A：UA5)=2p—p2P[A]={2p-pr「p+(2ガーp4)(l-p)=2p，+2p3-5p，+2p5所以原系統(tǒng)的可靠性為如果一危險(xiǎn)情況C發(fā)生時(shí),ー電路閉合并發(fā)出警報(bào),我們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開關(guān)并聯(lián)以改善可靠性,在C發(fā)生時(shí)這些開關(guān)每ー個(gè)都應(yīng)閉合,且若至少ー個(gè)開關(guān)閉合了,警報(bào)就發(fā)出，如果兩個(gè)這樣的開關(guān)并聯(lián)連接,它們每個(gè)具有0.96的可靠性(即在情況C發(fā)生時(shí)閉合的概率)，問這時(shí)系統(tǒng)的可靠性(即電路閉合的概率)是多少?如果需要有一個(gè)可靠性至少為0.9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)?設(shè)各開關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的。解:以Ai表示事件“第i只開關(guān)閉合“，i=l,2,...,n,已知P(A.)=0.96,由此可得兩只p(4Tめ=)+P(A2)-p(44)=1P(4)+尸(4)-P(4)P(4)=2x0.%-0.962-0.984這樣的開關(guān)并聯(lián)而電路閉合的概率為(注意各開關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的)R=冋し41設(shè)需要n只這樣的開關(guān)并聯(lián)，此時(shí)系統(tǒng)可靠性 V=1丿,注意到uA=4しユ.し..?し =AA^...A?2】< 1x n1 >tR=11=1R=11=1ー尸(44??4)=1-P(4)P(4)..J>(4.)=1-(1-0.96)”且由Aいん,…，An的獨(dú)立性推得A(_>,A(_)2,...,A(_)?也相互獨(dú)立,故*戦幽ー1g0.04 1225*戦幽ー1g0.04 12251.39794—=2.86要使RN0.9999,即要使1—0.04它0.9999,亦即要使0.000120.04”,故應(yīng)有因n為整數(shù),故應(yīng)有*3,即至少要用3只開關(guān)并聯(lián)。?三人獨(dú)立地去破譯ー份密碼,已知各人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4,問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少?解:以4表示事件“第i人能譯出密碼”，i=l,2,3,己知A”ん,ん相互獨(dú)立,且P(Ai)=1/5,P(A?)=1/3,P(A,)=1/4p=P(4542しw)=尸(4)+尸(4)+尸(4)一尸(44)—尸(441ー尸(<24)+尸(444)1111111111113=—+—+———XーーーX——X——+—X—X———5345354345345則至少有一人能譯出密碼的概率為p=i-p(nz)=i-呵ア(同叼同也可以這樣做,因Aいん,ん相互獨(dú)立，知A(_)”A(_)z,A(_)3也相互獨(dú)立，即有設(shè)第一只盒子中裝有3只藍(lán)球,2只綠球,2只白球;第二只盒子中裝有2只藍(lán)球,3只綠球,4只白球,獨(dú)立地分別在兩只盒子中各取ー只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率;（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率;（3）已知至少有ー只藍(lán)球,求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解:以B1記事件“從第i只盒子中取得ー只藍(lán)球“，以Wi記事件“從第i只盒子中取得一只白球"，i=l,2,由題設(shè)在不同盒子中取球是相互獨(dú)立的。產(chǎn)（57ム）=1ーア國Uス）=1ーア（4ス）=1一ア（與）尸（ム）=1ーゴ§=§（1）即需求P（B.UB：）,利用對立事件來求較方便,即有（2）即需求事件B,W山BユWi的概率,注意到Bi,Wi是互不相容的,即BiWi=0,因而（P（BJV2一為％）=P｛瓦%）+P昆％）=p（.）p陷—）ア的）342216=—X—+—X—=一799763BiW2）（B2W1）=0,故有p=尸Uろ啊ー3:%）（瑪Jス）］/P（3：）=P（員三?B尹J =—（3）即需求條件概率P”（即し屬跖典出）,因（即;し即;）2し足,故有袋中裝有m枚正品硬幣、n枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）,在袋中任取ー枚,將它投擲「次,已知每次都得到國徽.問這枚硬幣是正品的概率為多少?P（a）=」ニナ（ストJーナ（Tス）=ムP（ブス）=1解:以T記事件“將硬幣投擲r次每次都出現(xiàn)國徽”，以A記事件“所取的是正品”,由題設(shè)

尸(Z|T)=尸（スブP(T\A)P尸(Z|T)=尸（スブP(T\A)P(A)尸（?。┦═⑷尸（メ）+尸⑺ス）尸（ス）2rm+nm+nか+〃需要求的是概率P（A|T）,由貝葉斯公式,所求概率為設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析,某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損壞的情況共有三種:損壞2%（這ー事件記為AD,損壞10%（事件AD,損壞90%（事件A,）,且知P（A＞）=0.8,P（ん）=0.15,P（A,）=0.05,現(xiàn)在從已被運(yùn)輸?shù)奈锲分须S機(jī)地取3件，發(fā)現(xiàn)這3件都是好的（這一事件記為B）,試求P（Ai|B）,P（A：|B）,P（A、|B）（這里設(shè)物品件數(shù)很多,取出一件后不影響取后一件是否為好品的概率）。解:在被運(yùn)輸?shù)奈锲分?，隨機(jī)取3件,相當(dāng)于在物品中抽取3次，每次取一件，作不放回抽樣。又根據(jù)題中說明抽取一件后,不影響后一件是否為好品的概率,已知當(dāng)Ai發(fā)生時(shí),一件產(chǎn)品是好品的概率為1-2%=0.98,從而隨機(jī)取3件，它們都是好品的概率為0983,即P（BIAD=0.983。同樣P(B|A2)=09,P(B|A,)=0.13又知P(A.)=0.8,P(Az)=0.15,P(A。=0.05,A；Aj=0(的)(i,j=l,2,3),且P(A1UA2UA3)=P(Ai)+P(A2)+P(A,)=1,產(chǎn)(4I5)==0.8731產(chǎn)（314）尸產(chǎn)(4I5)==0.8731P(B14)尸(4)+尸(B4)尸(斗)+尸(3I4)尸(4) 0.8624由貝葉斯公式得到將A、B、C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸出為其他ー字母的概率都是（1-a）/2,今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道,輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為p”p2,p3（pi+p2+P3=l）,已知輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少?（設(shè)信道傳輸各個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的）

解:以A”B”C分別表示事件“輸入AAAA"、“輸入BBBB"、“輸入CCCC”,以D表示事件“輸出ABCA”,因事件A“B,,C兩兩互不相容,且有P(AiUB.UCi)=P(A.)+P(Bi)+P(CD=pi4-p2+p3=lp(A,\D\-*ハ)= RDYjp： “P(D)P[D\Ax]p^P[D\Bx)p2^P[D\Cx)p3由貝葉斯公式有在輸入為AAAA字母為其他字母,所以 [2.J,同理,（即事件在輸入為AAAA字母為其他字母,所以 [2.J,同理,代入上式并注意到Pl+P?+P3=l,得到代入上式并注意到Pl+P?+P3=l,得到尸L|0=——迎——(30-1)/?1+1-01.3考研真題詳解ー、選擇題若人,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件,則( )。［數(shù)一、數(shù)三2015研］P(AB)<P(A)P(B)P(AB)>P(A)P(B)P(AB)<(P(A)+P(B))/2P(AB)>(P(A)+P(B))/2【答案】C【解析】由于ABuA,ABcB,按概率的基本性質(zhì),有P(AB)<P(A)且P(AB)<P(B),從而P(AB)<(P(A)+P(B))/2.故選C項(xiàng)。設(shè)事件A,B相互獨(dú)立,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,則P(B~A)=( )。［數(shù)ー、數(shù)三2014研］0.10.20.30.4【答案】B【解析】P(A-B)=0.3=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A)故P(A)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2〇設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立,則X和丫的概率分布分別為:X0123P1Z21/41/81/8表1-3-1表1-3-2則P{X+Y=2}=( )〇［數(shù)一、數(shù)三2013研］1/121/81/61/2【答案】C【解析】由題意知:P{X+Y=2}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=0}+P{X=3,Y=-1)=1/12+1/24+1/24=1/6二、填空題設(shè)A,B,C是隨機(jī)事件,A與C互不相容,P(AB)=1/2,P(C)=1/3,則P(AB|C(_))=。［數(shù)一、數(shù)三2012研］【答案】3/4【解析】由條件概率的定義知,P(ABIC(_))=P(ABC(_))/P(C(_)),其中P(C())=1-P(C)=l-l/3=2/3,P(ABC(_))=P(AB)-P(ABC)=1/2-P(ABC),由于A,C互不相容,即AC=0,ABCcAC,得P(ABC)=0,代入得P(ABC())=1/2,故P(ABlc())=3/4o第2章隨機(jī)變量及其分布2.I復(fù)習(xí)筆記ー、離散型隨機(jī)變量及其分布律三種重要的離散型隨機(jī)變量(見表2-1-1)分布記作分布律(0-1)分布X?B(1,P)尸｛*=k｝=p*Q-p)i,k=01(0<p<l)二項(xiàng)分布X?b(n,p)尸｛X=W=； 承=0丄2…/泊松分布X?!t(k)メメ尸｛入=卅=±1_才=0丄2「?k\表2-1-1常見離散型隨機(jī)變量泊松定理n\t/.\n-kA'G"hm ム(1一ユ)=——n^k\[n-k)\ k\n重伯努利試驗(yàn)中,A在ー次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p”,如果當(dāng)n-8時(shí),有np?一入,則二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的基本性質(zhì)(1)單調(diào)性:Vxi<x2,有F(X2)>F(xi)〇(2)有界性:0<F(x)<1,且ド(-8)=0,尸(就)=1。(3)右連續(xù)性:F(x+0)=F(x)〇三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概率密度f(x)的性質(zhì)(1)非負(fù)性:f(x)>0；⑵正則性:リS2=1；P{Xi<X<x2]=F(x2)~F(x1)=￡*/(x)drVxi<x2f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則F(x)=f(x)〇三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(見表2-1-2)表2-1-2連續(xù)型隨機(jī)變量及性質(zhì)

分布密度函數(shù)分布函數(shù)性質(zhì)均勻分布X?U(a,b)'1, ,a<x<bb-a。其他尸(x)=,0, x<ax-a ,a<x<bb-aL x>b①f(x)>0；②]：f(x)dx=l數(shù)布指分/(x)=<丄x>0eq 其他尸(x)=[1ー尸，x>01o,其他①f(x)>0；②[^/(x)dx=lj@無記憶性:Vs,t>0,P{X>s+t\X>s]-P{X>t}正態(tài)分布X?N(卩,〇2)，3yex., ヽ一甫1dhdxvノ2叩①f(x)>0；②[^/(x)dx=lj③曲線關(guān)于x=f!討稱;④x=n時(shí)取最大值ル)=気⑤拐點(diǎn)在x=p±〇處標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X?N(0,1)叭X)1Zれ=-j=ey/27U①(x)=コ「ゼ風(fēng)①6(-x)=l-6(x)；②若X?N(如?),則z=^—^~y(o,i)a③上a分位點(diǎn),X?N(0,1),P{X>z?}=a,0<a<l四、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布X的概率密度為fx(x)，-oo<x<oo?函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且單調(diào),則Y=g(X)是連續(xù)4GAi0J 其他.型隨機(jī)變量,且概率密度為其中a=min{g(T)：g(oc)},尸=max(g(7c),g(句},h(y)<g⑺的反函數(shù)。2.2課后習(xí)題詳解考慮ー張為期一年的一張保險(xiǎn)單,若投保人在投保后一年內(nèi)因意外死亡,則公司賠付20萬元,若投保人因其他原因死亡,則公司賠付5萬元,若投保人在投保期末生存,則公司無需支付任何費(fèi)用,若投保人在一年內(nèi)因意外死亡的概率為0.0002,因其他原因死亡的概率為0.0010,求公司賠付金額的分布律。解:設(shè)賠付金額為X（以萬元計(jì)）,由條件知X取值為20,5,0,且由已知得P{X=20}=0.0002,P{X=5}=0.001〇,故P{X=0}=l-P{X=20}—P{X=5}=0.9988,則公司賠付金額的分布律為X2050P0.00020.00100.9988表2-2-1（1）ー袋中裝有5只球,編號為1,2,3,4,5〇在袋中同時(shí)取3只球,以X表示取出的3只球中的最大號碼,寫出隨機(jī)變量X的分布律。（2）將一顆骰子拋擲兩次,以X表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù),試求X的分布律。解:（1）從1?5的五個(gè)正整數(shù)中隨機(jī)取3個(gè),以X表示3個(gè)數(shù)中的最大值，X的可能值為3,4,5,在五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)共有13ノ種取法。{X=3}表示取出的3個(gè)數(shù)以3為最大值,其余兩個(gè)數(shù)是1,2,僅有這ー種情況,故P{X=3}=11P{X=3}=1110{X=4}表示取出的3個(gè)數(shù)以4為最大值,其余兩個(gè)數(shù)可在1,2,3中任取2個(gè),共有2種取法,種取法,{X=5}表示取出的3個(gè)數(shù)以5為最大值,其余兩個(gè)數(shù)可在1,2,3,4中任取2個(gè),共有ワ」—伊館種取法,故 メ〃、リ P(X=5}也可由1-P{X=3}-P{X=4}得到。X的分布律為X345Pk1/10310610表222(2)解法一:以Y”B分別記第一次、第二次投擲時(shí)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),樣本空間為S={(yi,yz)|yi=l?2,...,6,y?=l,2,...,6},共有6x6=36個(gè)樣本點(diǎn)。X=min{Y?Y?}所有可能取的值為1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)以下三種情況之ー發(fā)生時(shí)事件{X=k}(k=l,2,3,4,5,6)發(fā)生:Yi=k且Y?=k+1,k+2,...,6(共有6-k個(gè)點(diǎn))：Yz=k且Yi=k+1,k+2,...,6(共有6—k個(gè)點(diǎn))：Yi=k且Yz=k(僅有一個(gè)點(diǎn))。因此事件“X=k”共包含(6-k)+(6-k)+l=13—2k個(gè)樣本點(diǎn),于是x的分布律為P{X=k}=(13-2k)/36,k=l,2,3,4,5,6或?qū)懗杀砀裥问絏1_2_3456Pk11369367/365/36336136表2-2-3解法二:樣本空間共有6x6=36個(gè)樣本點(diǎn),每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率為1/36,用以下示意圖中的黑點(diǎn)表示各樣本點(diǎn),X=min{Y1,Y”所有可能取的值為1,2,3,4,5,6。P(X=k)等于圖2-2-1中相應(yīng)折線上各個(gè)黑點(diǎn)所對應(yīng)的概率之和,即有X123456Pk1L369367,365,363,36L36^^2-2-4

圖2-2-1圖2-2-1亦即P{X=k}=(13—2k)/36,k=l,2,3,4,5,6。設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽樣,以X表示取出的次品的只數(shù)?！?）求X的分布律。（2）畫出分布律的圖形。P{X=O}=尸ゆ1}13121122—X XP{X=O}=尸ゆ1}13121122—X X—= 1514133521312132121312151413151413151413x——3x21312XX151413_12=35尸{X=2}=1ー尸{X=0}一尸{工=1}=丄解:（1）由題意知X所有可能取的值為0,1,2,且有則X的分布律為X012Pk22,3512,351/35表225（2）分布律的圖形如圖2-2-2。

P{X=左}-22/3512/35,1/35Ol 2圖222進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為P,失敗的概率為q=l—p（O<P<1）〇（1）將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求X的分布律。（此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止,以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求Y的分布律。（此時(shí)稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布。）（3）ー籃球運(yùn)動員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。解:（1）若需做k次,則前k—l次試驗(yàn)均失敗最后一次成功,由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,故分布律為P{X=k}=qip=（1—p）k-'p,k=l,2,3,..,〇（2）此試驗(yàn)至少做!"次，若需做k次,則第k次必為成功，而前k-1次中有r-p{x="}イ:二:レゴp{x="}イ:二:レゴ.k=r.r+L...1次成功,由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,故分布律為（3）先寫出X的分布律，它是題（1）中p=0.45的情形,所求分布律為P{X=k}=0.45（0.55）I,k=l,2,3,,.,〇因（x=j}n{x=k}=。（j丼）,故x取偶數(shù)的概率為

P=vp(xP=vp(x=2左}=E0.45(0.55廣"0.45x0.55111-0.552 31ー個(gè)房間有3扇同樣大小的窗子,只有一扇是打開的;有一只鳥自開著的窗子飛入了房間,它只能從開著的窗子飛出去；鳥在房子里飛來飛去,試圖飛出房間,假定鳥是沒有記憶的,它飛向各扇窗子是隨機(jī)的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱,他養(yǎng)的ー只鳥是有記憶的,它飛向任一窗子的嘗試不多于一次,以丫表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),如戶主所說是確實(shí)的,試求丫的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于丫的概率和試飛次數(shù)丫小于X的概率。解;（1）鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)X的分布律為（參見第4題（1））：P{X=k}=(2/3)1(1/3),k=l,2,3,.（2）由題意丫的可能值為1,2,3〇{丫=1}表明鳥兒從3扇窗子中選對了一扇,因?qū)B兒而言,3扇窗是等可能被選取的,故P{Y=l}=l/3o{丫=2