2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第六章立體幾何第七講立體幾何中的向量方法課件

第七講立體幾何中的向量方法課標(biāo)要求考情分析1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用從近五年的考查情況來看，利用向量法求空間角和空間距離是高考的重點，考查頻率較高，線、面的平行和垂直問題一般不用向量法求解，但向量法的使用有時可以加快求解速度，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等1.兩條異面直線所成角的求法

2.直線和平面所成角的求法

如圖6-7-1(1)、(2)所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，向量e與(1)(2)圖6-7-13.求二面角的大小(1)如圖6-7-2(1)，AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝圖6-7-24.利用空間向量求距離(1)點到平面的距離如圖6-7-3所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為d＝

圖6-7-3(2)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距進(jìn)行求解.注意體積法在求點到平面距離時的應(yīng)用.【名師點睛】

(3)若二面角A-BC-D的大小為α，平面ABC內(nèi)的直線l與平面BCD所成角為β，則α≥β，當(dāng)l⊥BC時，取等號.題組一走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.()答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

題組二走進(jìn)教材

2.(教材改編題)平面α經(jīng)過三點

A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1，0)，則平面α的法向量u可以是________.

答案：(0，1，－1)A.5B.6C.4D.8答案：A

題組三真題展現(xiàn)

4.(2020年新高考Ⅰ)日晷(如圖6-7-4)是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為()圖6-7-4A.20°B.40°C.50°D.90°答案：B

5.(2021年新高考Ⅰ)如圖6-7-5所示，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點.(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.圖6-7-5(1)證明：因為

AB＝AD，O為BD的中點，所以O(shè)A⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA?平面ABD，所以O(shè)A⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以O(shè)A⊥CD.(2)解：取

OD的中點F，因為△OCD為正三角形，所以CF⊥OD，過O作OM∥CF與BC交于點M，則OM⊥OD，所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)M，OD，OA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖D55所示，圖D55

考點一利用向量求空間的角考向1向量法求異面直線所成的角圖6-7-6答案：C

(2)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為________.

解析：設(shè)等邊三角形的邊長為2.取BC的中點O，連接OA，OD.因為等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，所以O(shè)A，OC，OD兩兩垂直，以點O為坐標(biāo)原點，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖6-7-7所示的空間直角坐標(biāo)系.圖6-7-7【題后反思】(1)求異面直線所成角的思路：①選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩直線的方向向量v1，v2；(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點：兩異面直線所成角的范圍θ∈兩向量的夾角的范圍是[0，π]，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.

考向2向量法求線面角

[例2](2021年浙江聯(lián)考)如圖6-7-8所示，底面ABCD

AD＝2DE. (1)求證：BD∥平面PEC； (2)求直線DP與平面PEC所成角的正弦值.圖6-7-8解析：連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD為菱形，

∴△ABC為正三角形，以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖圖6-7-96-7-9所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PA＝AD＝2DE＝2，

【題后反思】

線面角涉及斜線的射影，故找出平面的垂線是解題的基本思路，而這往往正是解題難點所在，故常用向量法求解斜線與平面所成角的問題.解題的關(guān)鍵是確定斜線的一個方向向量a和平面的一個法向量b，再通過計算線面角成的角)求解，要特別注意a和b的夾角與線面角的關(guān)系.考向3向量法求二面角

[例3](2021年合肥調(diào)研)如圖6-7-10所示，在三棱錐P-ABC中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.(1)證明：PA⊥平面ABC；(2)若D為PC的中點，且PA＝2

AB，AB＝BC，求二面角A-BD-C的余弦值.圖6-7-10(1)證明：如圖

6-7-11，過點B作BO⊥AC于O.圖6-7-11∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO?平面ABC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PA.又∵BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥PA.又∵BC∩BO＝B，BC，BO?平面ABC，∴PA⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，BO⊥AC，∴O為AC中點.又∵D為PC的中點，∴DO∥PA.由(1)知，PA⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，DO⊥AO，

【題后反思】利用向量法確定二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小. (2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

(3)將二面角轉(zhuǎn)化為線面角求解.如圖6-7-12所示，要求二面角P-AB-C，可作PH⊥AB，則二面角P-AB-C的大小即為PH與平面ABC所成角θ的大小，PH易求，可用體積法求P到平面ABC的距離h，則sinθ＝圖6-7-12【考法全練】

1.(考向1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點，則異面直線BP與AC1所成角的余弦值為________.解析：如圖D56，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，圖D562.(考向2)(2021年廣州廣雅中學(xué)等三校聯(lián)考)如圖6-7-13所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB(1)求證：BC⊥平面ACFE；(2)求直線BD與平面BEF所成角的正弦值.圖6-7-13(1)證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝120°，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC(也可以利用余弦定理求出AC，BC再證明).，CB

又∵矩形ACFE中，CF＝AE＝2，又BF＝2＝2，∴CF2＋BC2＝BF2，∴CB⊥CF，

又∵AC∩CF＝F，AC，CF?平面ACFE， ∴BC⊥平面ACFE.

(2)解：以點C為坐標(biāo)原點，以CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，以CF所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖D57所示.

圖D57圖6-7-14(1)求證：GE∥側(cè)面AA1B1B；(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值；(3)在直線AG上是否存在點T，使得B1T⊥AG？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由.圖D58

考點二求空間距離圖6-7-15答案：D【題后反思】求點面距一般的方法(1)作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)等體積法.(3)向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便.【變式訓(xùn)練】如圖6-7-16所示，在四棱錐P-ABCD中，已知AB＝⊥底面ABCD，PO＝2，M為棱PC的中點.

圖6-7-16(1)求直線PB與平面ADM所成角的正弦值；(2)求二面角D-AM-C的正弦值；(3)記棱PD的中點為N，若點Q在線段OP上，且NQ∥平面ADM，求線段OQ的長.

解：連接DB，因為AB＝BC，AD＝DC，O為AC的中點，所以點O在DB上，且DB⊥AC.又PO⊥平面ABCD，則OB，OC，OP兩兩垂直.軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖D59所示.由題意得OB＝1，OD＝2，圖D59則O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(－2,0,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1).

⊙立體幾何中的動態(tài)問題圖6-7-17A.圓的一部分C.拋物線的一部分B.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

圖6-7-18答案：B【題后反思】

(1)直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).(2)立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求軌跡的長度及動角的范圍等.

(3)一般是根據(jù)線、面垂直，線、面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡(還可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程).

【高分訓(xùn)練】

1.如圖6-7-19所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個動點(不與P，B重合)，過點M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得圖形的面積為y，若平面α與平面PAD之間的距