初中幾何輔助線技巧大全

中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！愛心責任奉獻愛心責任奉獻初中幾何輔助線技巧大全初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉換，變?yōu)椤骱涂?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算切線長度的計算是直徑，成半圓圓周角邊兩條弦要想作個外接圓如果遇到相交圓弦心距來中間站。勾股定理最方便想成直角徑連弦直徑和弦端點連各邊作出中垂線不要忘作公共弦。圓上若有一切線要想證明是切線弧有中點圓心連弦切角邊切線弦還要作個內接圓內外相切的兩圓圓形半徑與弦長計算切線長度的計算是直徑，成半圓圓周角邊兩條弦要想作個外接圓如果遇到相交圓弦心距來中間站。勾股定理最方便想成直角徑連弦直徑和弦端點連各邊作出中垂線不要忘作公共弦。圓上若有一切線要想證明是切線弧有中點圓心連弦切角邊切線弦還要作個內接圓內外相切的兩圓切點圓心半徑連。半徑垂線仔細辨垂徑定理要記全同弧對角等找完內角平分線夢圓經過切點公切線。廿曰若是廿曰若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。注意點輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗?；咀鲌D很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經?？偨Y方法顯。Ff圖1-1Ff圖1-1BDC切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減虛心勤學加苦練，成績上升成直線。二由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線一）、截取構全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學們能掌握相關的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1,ZAOC=ZBOC，如取OE=OF,并連接DE、DF,則有△OED竺△OFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1?如圖1-2,AB//CD,BE平分ZBCD,CE平分ZBCD,點E在AD上,求證：BC二AB+CD。愛心責任奉獻分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構造全等三角形，即利用解平分線來構造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2?已知：如圖1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB，求證DC丄AC分析：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段C相等。其它問題自已證明。C例3?已知：如圖1-4，在△ABC中，ZC=2ZB,AD平分ZBAC,求證：AB-AC=CD圖1-4分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明圖1-4中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習已知在△ABC中，AD平分ZBAC,ZB=2ZC,求證：AB+BD=AC已知：在厶ABC中，ZCAB=2ZB，AE平分ZCAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE

已知：在厶ABC中，AB>AC,AD為ZBAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC已知：。是4ABC的ZBAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。例1?如圖2-1,已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BCO求證：ZADC+ZB=180分析：可由C向ZBAD的兩邊作垂線。近而證ZADC與ZB之和為平角。例2?如圖2-2，在△ABC中，ZA=90,AB=AC,ZABD=ZCBDO求證：BC=AB+AD分析：過D作DE丄BC于E,則AD=DE=CE，則構造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題從中利用了相當于截取的方法。例3?已知如圖2-3，^ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：ZBAC的平分線也經過點P的平分線也經過點P。中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！如果PC=4，則PD=()A4B3C22.已知在厶ABC中，ZC=90如果PC=4，則PD=()A4B3C22.已知在厶ABC中，ZC=90,AD平分ZCAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。3.已知：如圖2-5,ZBAC=ZCAD,AB>AD,CE丄AB,1AE=2（AB+AD）.求證：ZD+ZB=180。4?已知：如圖2-6，在正方形ABCD中，E為CD的中點,F為BC上的點，ZFAE二ZDAE。求證：AF二AD+CF。已知：如圖2-7，在RtAABC中，ZACB=90,CD丄AB，垂足為D，AE平分ZCAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BHOB圖2-6FDE三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另邊相交）。例1?已知：如圖3-1，ZBAD=ZDAC，AB>AC,CD丄AD于D,H是BC中點。求證：DH=分析：例2?B圖3-2中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻BC的平分線，CE丄BE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在厶ABC中，AD、AE分別ZBAC的內、外角平分線,E過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F,連結FC并延長交AE于M。E求證：AM二ME。分析：由AD、AE是ZBAC內外角平分線，可得EA丄AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。例4?已知：如圖3-4，在厶ABC中，AD平分ZBAC，AD二AB，CM丄AD交AD延長線于m。求證：am=2（ab+ac）分析：題設中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作AABD關于AD的對稱△AED，然后只需證DM=】EC，另外2由求證的結果AM二丄（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可2嘗試作AACM關于CM的對稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習：1?已知：在厶ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是ZBAC的平分線，且CE丄AE于E,連接DE,求DE。2?已知BE、BF分別是△ABC的ZABC的內角與外角的平分線，AF丄BF于F，AE丄BE于E，連接EF分別交AB、也于眼N求證MN=2BC四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。B圖4-2例4如圖，AB>AC,Z1=Z2,求證:AB－AC>BD－CD。B例5如圖，BC>BA,BD平分ZABC，且AD=CD,求證：ZA+ZC=180。例6例6如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分ZBAD各ZADE，求證：AD二AB+CD。練習：已知，如圖，ZC=2ZA，AC=2BC。求證：AABC是直角三角形。中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！愛心責任奉獻愛心責任奉獻1）愛心責任奉獻1）愛心責任奉獻2．C2．C已知：如圖，AB=2AC,Z1=Z2,DA=DB,求證：DC丄AC3．3．已知CE、人。是4ABC的角平分線，ZB=60°，求證：AC=AE+CD4．4．已知：如圖在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是ZABC的平分線，求證:BC=AB+AD將DE兩邊延長分別交AB、AC將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,在△BDM中，MB+MD>BD；（2）圖1—2△GFC和厶GDE中有:三由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例1、已知如圖1-1：D、EABC內兩點，求證:AB+AOBD+DE+CE.證明：（法一）在AAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在ACEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE???AB+AOBD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,在AABF和AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）

GF+FC>GE+CE(同上)(2)DG+GE>DE(同上)(3)由(1)+(2)+(3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE??.AB+AC>BD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內的任一點，求證：山DOZBAC。分析:因為ZBDC與ZBAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使ZBDC處于在外角的位置，ZBAC處于在內角的位置；證法一：延長BD交AC于點E，這時ZBDC是厶EDC的外角，???ZBDOZDEC，同理ZDEC>ZBAC，AZBDC>ZBAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F,這時ZBDF是厶ABD的外角，???ZBDF>ZBAD，同理，ZCDF>ZCAD,??ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD，即ZBDOZBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且乙二上2,上3=上4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知Z1=Z2，中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE,NF,則DN=DC，在NDE中：「DN=DB（輔助線作法）”Z1=Z2（已知）、ED=ED（公共邊）???△DBE竺ANDE（SAS）???BE二NE（全等三角形對應邊相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）?BE+CF>EF。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。四、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1:在△ABC中，AB>AC,Z1=Z2,P為AD上任一點求證：AB-AOPB-PC分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在APNE中，PB-PN<BN，即：AB-AOPB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN二AC連接PN,在\APN和厶APC中fAN二AC（輔助線作法）

Z1=Z2（已知）AP=AP（公共邊）???△APN今AAPC（SAS）,???PC二PN（全等三角形對應邊相等）、：在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）?BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長AC至M,使AM=AB，連接PM,在厶ABP和厶AMP中?AB二AM（輔助線作法）Z1=Z2（已知）AP=AP（公共邊）???△ABP今AAMP（SAS）???PB二PM（全等三角形對應邊相等）又?：在△PCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）?AB-AC>PB-PC。例1.如圖，AC平分ZBAD,CE丄AB,且ZB+ZD=180°，求證：AE二AD+BE。CC例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD,CE丄AB于E,AD+AB=2AE,求證：求證：ZADC+ZB=180°例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,乙A=108°,BD平分乙ABC。求證：BC二AB+DC。例4如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,AD是ZCAB的平分線，DM丄AB1于M,且AM二MB。求證：CD=2DB。1.如圖，AB〃CD，AE、DE分別平分ZBAD各ZADE,求證：AD二AB+CD。2.如圖，AABC中，ZBAC=90°,AB二AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側,BD丄在AE的異側,BD丄AE于D,CE丄AE于E。求證：BD=DE+CE由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1,人。是厶ABC的中線，則S=S=2S（因為△ABD與AACDAABDAACDAABC是等底同高的）。禹1禺2例1.如圖2,AABC中，AD是中線，延長AD到E,使DE二AD,DF是ADCE的中線。已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因為AD是AABC的中線，所以S=^S=1x2=1,又因CD是AACAACD￡AABC2E的中線,故S=S=1,ACDEAACD因DF是ACDE的中線，所以S=^S=1x1=。ACDF2ACDEg￡/.ACDF的面積為丄。2（二）、由中點應想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：ZBGE=ZCHE。證明：連結BD,并取BD的中點為M,連結ME、MF,???ME是ABCD的中位線，/MECD,AZMEF=ZCHE,=2

???MF是AABD的中位線，???MFAB,AZMFE=ZBGE,=2?AB二CD,?ME二MF,?ZMEF二ZMFE,從而ZBGE=ZCHEO三）、由中線應想到延長中線例3.圖4,已知AABC中，AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E,使DE=AD，則AE=2AD=2X2=4。在AACD和AEBD中,VAD=ED,ZADC=ZEDB,CD=BD,???AACD竺AEBD,?AC二BE,從而BE=AC=3。在AABE中，因AE2+BE2=42+32=25二AB2，故ZE=90°,??BD=Je於十DE，=J嚴十2'=/3,故BC=2BD=2訴"^。例4.如圖5,已知AABC中，AD是ZBAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：AABC是等腰三角形。證明：延長AD到E,使DE=ADO仿例3可證：ABED竺ACAD,故EB=AC,ZE=Z2,又Z1=Z2,AZ1=ZE,

???AB二EB,從而AB二AC，即△ABC是等腰三角形。四）、直角三角形斜邊中線的性質例5.如圖6,已知梯形ABCD中，AB//DC,AC丄BC,AD丄BD,求證：AC二BD。因此ZCDE=ZDCEO證明：取AB的中點E,連結DE、CE,則DE、CE分別為因此ZCDE=ZDCEO斜邊AB上的中線，故DE二CE二—AB,ZTAB//DC,AZCDE=Z1,ZDCE=Z2,AZ1=Z2,在AADE和ABCE中，VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,???AADE竺ABCE,???AD二BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC二BD。五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分ZABC交AC于點D,CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA,CE交于點F,在ABEF和ABEC中,VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°,?ABEF竺ABEC,?EF二EC，從而CF=2CE。又Z1+ZF=Z3+ZF=90。，故Z1=Z3O90°,在AABD和AACF中，TZ1二Z3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°,???AABD竺AACF,?BD二CF,?BD=2CE。注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：ABC的中線，且Z1=Z2,Z3=Z4，求證：BE+CF>AEF。A證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在厶BDE和ACDM中，「BD=CD（中點定義）”Z1=Z5（對頂角相等）'■ED=MD（輔助線作法）???△BDE竺ACDM（SAS）又VZ1=Z2，Z3=Z4（已知）Z1+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定義）???Z3+Z2=90°即：ZEDF=90°ZFDM=ZEDF=90°在厶EDF和中ED=MD（輔助線作法）ZEDF=ZFDM（已證）DF=DF（公共邊）.?△EDF^^MDF（SAS）EF=MF（全等三角形對應邊相等）???在ACMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）?BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意|：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：ABC的中線，求證：AB+AO2AD。

分析：要證AB+AO2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去證明：延長AD至E,使DE二AD,連接BE，CETADABC的中線（已知）???BD二CD（中線定義）在EBD中BD=CD（已證）Z1=Z2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）???△ACD竺AEBD（SAS）???BE二CA（全等三角形對應邊相等）圖5???在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）圖5?AB+AC>2AD。練習：1如圖，AB=6,AC=8，D為BC的中點，求AD的取值范圍。2如圖，AB=CD，E為BC的中點，ZBAC二ZBCA,求證：AD=2AE。3如圖，AB=AC,AD=AE,M為BE中點，ZBAC=ZDAE=90°。求證：AM丄DC。EDED4,已知△ABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。5.已知：如圖ABC的中線，AE二EF,五全等三角形輔助線BF=AC五全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；（3）從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構造全等三角形；利用翻折，構造全等三角形;引平行線構造全等三角形；作連線構造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．(一)、倍長中線(線段)造全等1：“希望杯”試題)已知，如圖△ABC中，AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是.2：如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC上,DE丄DF,D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻D3：如圖，AABC中，BD二DC二AC,E是DC的中點，求證：AD平分ZBAE.中考應用(09崇文二模)以AABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtNABD和等腰RtAACE，ZBAD=ZCAE=90。,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點.探究:AM與DE的位置關系及數(shù)量關系.如圖①當AABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數(shù)量關系是；將圖①中的等腰RtAABD繞點A沿逆時針方向旋轉00(0<0<90)后，、截長補短1.如圖，AABC中，AB=2AC，AD平分ZBAC，且AD=BD，求證：CD丄ACC

C2：如圖，AC〃BD,EA,EB分別平分ZCAB,ZDBA,CD過點E,求證;AB=AC+BD3：如圖，已知在VABC內，上，并且AP，BQ分別是ZBAC,Q=AB+BPC4：如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD，BD平分ZABC，求證:CZA+ZC=1800D5:如圖在△ABC中，AB>AC，Z1=Z2，P為AD上任意一點，求證;AB-ACD>PB-PC

中考應用（08海淀一模）如砂在啊油瑤皿如砂在啊油瑤皿D中fADffBC,^E是AR上一個畝札若空260。」用工EC,5LADHC=6rt判斷AO-^-AEJ±jHC的關系并誡明你的結論.解|A——°三）、平移變換,AEP,AE1.AD為厶ABC的角平分線，直線MN丄AD于A.E為MN上一點，AABC周長記為a四）、借助角平分線造全等ADF丄AC于F.ADF丄AC于F.(1)說明BE=CF的長.A1：如圖，已知在△ABC中，ZB=60°,AABC的角平分線AD,CE相交于點0,求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，AABC中，AD平分ZBAC，DG丄BC且平分BC，DE丄AB于E,的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE中考應用（06北京中考）如圖①，0P是ZMON的平分線，請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，ZACB是直角，ZB=60°，AD、CE分別是ZBAC、ZBCA的平分線，AD.CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系;（2）如圖③，在AABC中，如果ZACB不是直角，而⑴中的其它條件不變,圖③圖③五）、旋轉1：正方形五）、旋轉1：正方形ABCD中，E為BC上的一點,F為CD上的一點，BE+DF=EF，求ZEAF的度數(shù).A愛心責任奉獻A愛心責任奉獻中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！中高考復習精品，為中高考保駕護航！祝您金榜提名！愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻愛心責任奉獻2：D為等腰RtAABC斜邊AB的中點，DM丄DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。1）2）3.如圖，1）2）3.如圖，當/MDN繞點D轉動時，求證DE=DFOZBDC=1200，以D為頂點做一個600角，使其兩邊分別交AB于點M,交AC于點N,連接點N,連接MN,則AAMN的周長為中考應用C（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB丄AD，BC丄CD，AB=BC,ZABC=120。，ZMBN=60。，ZMBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn).當ZMBN繞B點旋轉到AE二CF時（如圖1）,易證AE+CF二EF.

當/MBN繞b點旋轉到AE豐CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．DEM（西城‘09年一模）已知:Pa二F\.PB=4,以AB為一邊作兩點落在直線AB的兩側.⑴如圖，當數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．DEM（西城‘09年一模）已知:Pa二F\.PB=4,以AB為一邊作兩點落在直線AB的兩側.⑴如圖，當ZAPB=45。時，求PD的長;BF圖3）DD,』吏P、DM⑵當ZAPB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值,及相應ZAPB的大小.（09崇文一模）在等邊AABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為VABC外一點，且/MDN=60。,ZBDC=120。,bd=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及AAMN的周長Q與等邊AABC的周長L的關系.圖1圖2圖3（I）如圖1,當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是；此時號=；（II）如圖2,點M、N邊AB、AC上，且當DM豐DN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（III）如圖3,當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=（用x、L表示）.六梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉化為三角形、平行四邊形。EC…F…平移對角線。轉化為三角形、平行四邊形。ByEHD上延長兩腰，轉化為三角形。E二BC一）、平移1、平移一腰：例1?如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZA=90°,AB〃DC,AD=15,AB=16,BC=17.求CD的長.解：過點D作DE〃BC交AB于點E.又AB〃CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以DE=BC=17,CD=BE.E在RtADAE中，由勾股定理，得EAE2=DE2—AD2,即AE2=172—152=64.所以AE=8.所以BE=AB—AE=16—8=8.即CD=8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取CM=CD—DM=CD—AB=8—3=5，所以BC的取值范圍是：5—4<BC<5+4，即1<BC<9。2、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB+ZC=90°,AD=1,BC=3,E、F分別是AD、BC的中點，連接EF,求EF的長。解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H,可得ZEGH+ZEHG=ZB+ZC=90°則厶EGH是直角三角形因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點所以EF=1GH=1(BC-BG-CH)22=-(BC-AE-DE)=-[BC-(AE+DE)]22=!(BC-AD)=1(3-1)=1223、平移對角線：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面積.解：如圖，作DE〃AC，交BC的延長線于E點.HCE???AD〃BC???四邊形ACED是平行四邊形HCEBE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4???在△DBE中，BD=3,DE=4,BE=5???ZBDE=90°.作DH丄BC于H,則DH=BDED二12BE55125x.S=(AD+BC)xDH_5=6,…梯形ABCD22例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,BD=5?邁，求證：AC丄BD。解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=5巨，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5邁，所以在△ACE中，AC2+CE2-(5』2)2+(5J2)2二100=AE2，從而AC丄CE，于是AC丄BD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過點D作DE//AC，交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形，冃即S=S=SAABDAACDADCE。所以S'梯形ABCD'ADBE由勾股定理得EH=\DE2-DH2=€AC2-DH2=J52—122=9（伽）BH=JBD2-DH2=<202-122=16（cm）

S=1BE-DH=1X(9+16)x12=150(cm2)所以ADBE22，即梯形ABCD的面積是150cm2。二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉化為三角形。例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,ZC=80°,AD=2,BC=5,BB???ZEDC=ZEAB,???DC〃AB.BB???ZEDC=ZEAB,???DC〃AB.在厶BCE中，ZB=50°,ZC=80所以ZE=50°,從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3例8?如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論.解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長AD、BC相交于點E,如圖所示.VAC=BD,AD=BC,AB=BA,???△DAB竺ACBA.?ZDAB=ZCBA.???EA=EB.又AD=BC,?DE=CE,ZEDC=ZECD.而ZE+ZEAB+ZEBA=ZE+ZEDC+ZECD=又AD不平行于BC,???四邊形ABCD是等腰梯形.三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB丄AD,BC=CD,BE丄CD于點E,由AD//BC，得ZADB=ZDBE；由BC=CD,得ZDBC二ZBDC。所以ZADB=ZBDEO又ZBAD=ZDEB=90°,BD二BD,所以RtABAD竺RtABED,得AD=DE。）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC，對角線AC丄BD,垂足為F,過點F作EF//AB,交AD于點E,求證：四邊形ABFE是等腰證：過點D作DG丄AB于點G,

則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因為AB=2DC，所以AG=GBO從而DA=DB，于是ZDAB=ZDBAO又EF//AB,所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高