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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.2.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.3.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.4.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點,使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.已知集合,,若AB,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.48.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.39.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(指標(biāo)值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算最強(qiáng)10.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖(例如:年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、),根據(jù)該圖,以下結(jié)論一定正確的是()A.年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C.三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D.口罩的產(chǎn)量逐年增加11.已知函數(shù),若曲線在點處的切線方程為,則實數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.212.已知是虛數(shù)單位,若,,則實數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(a>0,b>0)的兩個焦點為、,點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點,且,tan∠PF2F1=﹣2,則雙曲線的離心率為_____.14.的展開式中,常數(shù)項為______;系數(shù)最大的項是______.15.一個袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個,從中任意摸取3個小球,每個小球被取出的可能性相等,則取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率是__.16.已知實數(shù),滿足則的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知兩數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值點;(2)當(dāng)時,若恒成立,求的最大值.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點,,且,證明.19.(12分)在一次電視節(jié)目的答題游戲中,題型為選擇題,只有“A”和“B”兩種結(jié)果,其中某選手選擇正確的概率為p,選擇錯誤的概率為q,若選擇正確則加1分,選擇錯誤則減1分,現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.(1)當(dāng)時,記,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)當(dāng),時,求且的概率.20.(12分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.21.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列前項的和.22.(10分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
直接相乘,得,由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選:D【點睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).2、C【解析】
利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設(shè)是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設(shè)外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.4、B【解析】
由可得;由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.5、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性得,再比較的大小,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】依題意得,,當(dāng)時,,因為,所以在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對的大小比較,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.6、D【解析】
先化簡,再根據(jù),且AB求解.【詳解】因為,又因為,且AB,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
計算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù)的概念.8、A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】
根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算為80分,不是最強(qiáng)的,故D錯誤;故選:D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤,根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知,所以,從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較,故A、B、D選項錯誤;由堆積圖可知,從年至年,該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的,則三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩,C選項正確.故選:C.【點睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域為(﹣1,+∞),因為f′(x)a,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計算能力.12、B【解析】
由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)正弦定理得,根據(jù)余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23,聯(lián)立方程得到,計算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中,sin∠PF1F2═,sin∠PF1F2═,∴由正弦定理得,①又∵,tan∠PF2F1=﹣2,∴tan∠F1PF2=﹣tan(∠PF2F1+∠PF1F2),可得cos∠F1PF2,△PF1F2中用余弦定理,得2PF1?PF2cos∠F1PF23,②①②聯(lián)解,得,可得,∴雙曲線的,結(jié)合,得離心率.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.14、【解析】
求出二項展開式的通項,令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項;求出項的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為:;.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解,同時也考查了系數(shù)最大項的求解,涉及展開式通項的應(yīng)用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.15、【解析】
由題,得滿足題目要求的情況有,①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:①有一個數(shù)字4,另外兩個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;②有兩個數(shù)字4,另外一個數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個小球,有種情況,所以取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.16、【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,即可由直線的平移方法求得的取值范圍.【詳解】.由題意,畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示,令,則如圖所示,圖中直線所示的兩個位置為的臨界位置,根據(jù)幾何關(guān)系可得與軸的兩個交點分別為,所以的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,由數(shù)形結(jié)合法求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)唯一的極大值點1,無極小值點.(2)1【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),確定極值點;(2)問題可變形為恒成立,由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,時,無最小值,因此只有,從而得出的不等關(guān)系,得出所求最大值.【詳解】解:(1)定義域為,當(dāng)時,,令得,當(dāng)所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點,無極小值點.(2)當(dāng)時,.若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題.在求極值時,由確定的不一定是極值點,還需滿足在兩側(cè)的符號相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用.18、(1)若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【解析】
(1),分,討論即可;(2)由題可得到,故只需證,,即,采用換元法,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.【詳解】由已知,,若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)由題意,對求導(dǎo)可得從而,是的兩個變號零點,因此下證:,即證令,即證:,對求導(dǎo)可得,,,因為故,所以在上單調(diào)遞減,而,從而所以在單調(diào)遞增,所以,即于是【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式,考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,是一道有一定難度的壓軸題.19、(1)見解析,0(2)【解析】
(1)即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對,答對2道答錯1道,答對1道答錯2道,3道題都答錯,進(jìn)而求解即可;(2)當(dāng)時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對,第二題第三題至少有一道答對,進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)的取值可能為,,1,3,又因為,故,,,,所以的分布列為:13所以(2)當(dāng)時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對,若第二題回答正確,則其余6題可任意答對3題;若第二題回答錯誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對題,此時的概率為(或).【點睛】本題考查二項分布的分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查分類討論思想.20、(1);(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)已知可得,結(jié)合離心率和關(guān)系,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)斜率不為零,設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消去,得到縱坐標(biāo)關(guān)系,求出方程,令求出坐標(biāo),要證、、三點共線,只需證,將分子用縱坐標(biāo)表示,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)由于,將代入橢圓方程,得,由題意知,即.又,所以,.所以橢圓的方程為.(2)解法一:依題意直線斜率不為0,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程,消去得,由題意,得恒成立,設(shè),,所以,直線的方程為.令,得.又因為,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子,.所以,,三點共線.解法二:當(dāng)直線的斜率不存在時,由題意,得的方程為,代入橢圓的方程,得,,直線的方程為.則,,,所以,即,/
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