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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在四邊形中,,,,,,則的長度為()A. B.C. D.2.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.3.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.4.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.55.設(shè),則關(guān)于的方程所表示的曲線是()A.長軸在軸上的橢圓 B.長軸在軸上的橢圓C.實軸在軸上的雙曲線 D.實軸在軸上的雙曲線6.拋物線的焦點為F,點為該拋物線上的動點,若點,則的最小值為()A. B. C. D.7.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.8.已知命題,且是的必要不充分條件,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.10.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.2411.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點,,使得,且的中點在軸上,則正實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),若,則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.14.若實數(shù),滿足不等式組,則的最小值為______.15.已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n,兩個不同平面、,有下列四個命題:①若且,則;②若且,則;③若且,則;④若,且,則.其中正確命題的序號為______.16.己知函數(shù),若關(guān)于的不等式對任意的恒成立,則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程;(2)假設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點.①若A為橢圓的上頂點,M為線段AB中點,連接OM并延長交橢圓C于N,并且ON=62OM,求OB的長;②若原點O到直線l的距離為1,并且18.(12分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動,規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數(shù)越來越多,該商店經(jīng)理對春節(jié)前天參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,表示第天參加抽獎活動的人數(shù),得到統(tǒng)計表格如下:123456758810141517(1)經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(2)該商店規(guī)定:若抽中“一等獎”,可領(lǐng)取600元購物券;抽中“二等獎”可領(lǐng)取300元購物券;抽中“謝謝惠顧”,則沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為,獲得“二等獎”的概率為.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動,且他們是否中獎相互獨(dú)立,求此二人所獲購物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式:,,,.19.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式:;(2)求證:.20.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點焦點在軸上,右頂點到右焦點的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩點,設(shè),連接交橢圓于另一點.求證:直線過定點并求出點的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,過點的直線交橢圓于兩點,求的取值范圍.22.(10分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),在中,由余弦定理得,從而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【詳解】設(shè),在中,由余弦定理得,則,從而,由正弦定理得,即,從而,在中,由余弦定理得:,則.故選:D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.2、B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.3、B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當(dāng)r取2時,n的最小值為5,故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用.4、B【解析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.5、C【解析】
根據(jù)條件,方程.即,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.【詳解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示實軸在y軸上的雙曲線,
故選C.【點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵.6、B【解析】
通過拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時,有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,直接計算,即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法,熟記運(yùn)算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.8、D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實數(shù)的取值范圍為.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.9、A【解析】
由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.11、D【解析】
根據(jù)中點在軸上,設(shè)出兩點的坐標(biāo),,().對分成三類,利用則,列方程,化簡后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因為,所以函數(shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域為,故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.12、B【解析】
利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系,再利用不等式的性質(zhì),即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增,且,∴.∵的符號無法判斷,故與,與的大小不確定,對A,當(dāng)時,,故A錯誤;對C,當(dāng)時,,故C錯誤;對D,當(dāng)時,,故D錯誤;對B,對,則,故B正確.故選:B.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:由題意得函數(shù)在[2,上單調(diào)遞增,當(dāng)時在[2,上單調(diào)遞增;當(dāng)時在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,因此實數(shù)a的取值范圍是考點:函數(shù)單調(diào)性14、5【解析】
根據(jù)題意,畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動直線縱截距的最值,即可求解【詳解】畫出不等式組,表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示,令,則.分析知,當(dāng),時,取得最小值,且.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,屬于基礎(chǔ)題15、③④【解析】
由直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.【詳解】①若且,的位置關(guān)系是平行、相交或異面,①錯;②若且,則或者,②錯;③若,設(shè)過的平面與交于直線,則,又,則,∴,③正確;④若,且,由線面垂直的定義知,④正確.故答案為:③④.【點睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義,考查空間線面間的位置關(guān)系,掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).16、【解析】
首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞增,由此不等式對任意的恒成立,可轉(zhuǎn)化為在上恒成立,進(jìn)而建立不等式組,解出即可得到答案.【詳解】解:函數(shù)的定義域為,且,函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)時,函數(shù),顯然此時函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)為定義在上的增函數(shù),不等式即為,在上恒成立,,解得.故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用,考查不等式的恒成立問題,屬于常規(guī)題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x22+y2【解析】
(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2,b2;(2)聯(lián)立直線和橢圓,利用弦長公式可求得弦長AB,利用點到直線的距離公式求得原點到直線l的距離,從而可求得三角形面積,再用單調(diào)性求最值可得值域.【詳解】(1)因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,所以a=2又由右準(zhǔn)線方程為x=2,得到a2解得a=2,c=1,所以所以,橢圓C的方程為x2(2)①設(shè)B(x1,y1∵ON=6因為點B,N都在橢圓上,所以x122+y12所以O(shè)B=x②由原點O到直線l的距離為1,得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程:y=kx+mx2設(shè)A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因為S=2λ(1-λ)在[并且當(dāng)λ=45時,S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10【點睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮:①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;④利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.18、(1);(2)見解析【解析】試題分析:(I)由題意可得,,則,,關(guān)于的線性回歸方程為.(II)由題意可知二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元,它們所對應(yīng)的概率分別為:,,,.據(jù)此可得分布列,計算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為元.試題解析:(I)依題意:,,,,,,則關(guān)于的線性回歸方程為.(II)二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元,它們所對應(yīng)的概率分別為:,,,,.所以,總金額的分布列如下表:03006009001200總金額的數(shù)學(xué)期望為元.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)代入得,分類討論,解不等式即可;(2)利用絕對值不等式得性質(zhì),,,比較大小即可.【詳解】(1)由于,于是原不等式化為,若,則,解得;若,則,解得;若,則,解得.綜上所述,不等式解集為.(2)由已知條件,對于,可得.又,由于,所以.又由于,于是.所以.【點睛】本題考查了絕對值不等式得求解和恒成立問題,考查了學(xué)生分類討論,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因為,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因為,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.21、(1);(2)證明詳見解析,;(3).【解析】
(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的等式求解即可.(2)先根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,再設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,進(jìn)而求得的方程,并代入,化簡分析即可.(3)先分析過點的直線斜率不存在時的值,再分析存在時,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得出韋達(dá)定理再代入求解出關(guān)于的解析式,再求解范圍即可.【詳解】解:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦距為,由題意得,由,可得則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;證明:根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,
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