利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的九大題型

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的九大題型題型一：構(gòu)造函數(shù)法把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值的問(wèn)題，從而證明不等式,而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。例L（人教版選修2-2第￡2頁(yè)B組1題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式.sinjc<Xjxe(0,tu)he(0,1)；⑶e>l+H0；(4)Inx<>0-這四道題比較簡(jiǎn)單，證明過(guò)程略?概括而言，這四道題證明的過(guò)程分三個(gè)步驟：是構(gòu)造函數(shù)；二是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；三是求此函數(shù)的最值，得出結(jié)論例2.^jc>-1時(shí)，求證：1-一<ln(x+l)<x.X4-1【證明】=ln(x+l)-T,則f則f（滬丄T亠r+lxx+1f(x)在(7十即上的最人殖為/⑶皿二/(0)-0,/(x)</{0)-0,Wh(x+1)-A：<0(,\]n(x+Y)<x(右面得證).再證左面，令g(x)=ln(x+l)+^-工+1

則[則[jc+1(x+1)2=(x+l)2丁當(dāng)xe(-1,0)tJt,呂'(工)<0,當(dāng)兀亡（0,+血）時(shí)，/（對(duì)＞0,二朗數(shù)g{x）在（-l,+oo）上的最小值g（x}曲=g（0）=0,二鞏對(duì)2g（0）二X即10（尤+1）+——1＞OT兀十1代剋＞+1）二1一一—〔玄面得證）.JT+1綜上，當(dāng)工；＞—1時(shí)』有1—」一毎加（卄1丿蘭JC■X+1【啟示】證明分三個(gè)步驟：一是構(gòu)造函數(shù)；二是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；三是求此函數(shù)的最值，得出結(jié)論。題型二：通過(guò)對(duì)函數(shù)的變形，利用分析法，證明不等式閔MA（x）-hjf+￡?x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)xltx2.（1）求b的取值范圍；⑵求證：警".(.1)=InJt+>英垃義域?yàn)?0T+cd).令恥)=0,得b=-hiXfXTOC\o"1-5"\h\z記於則襯⑵=111,XX"所a^)=-—在e閭單調(diào)遞減,在住燉)單調(diào)遞増,X所以當(dāng)"E時(shí)，嗣=_空取得最小值-丄xe又w⑴所以當(dāng)XW(0,1)時(shí)'帆jc)aD,而當(dāng)工電仏十眄時(shí)，嗣貞,所以丘的取值范圍是(--f0).e(2)【證明】由題意得In旺十bx.=0,In+bx,=0fEJ,.uxi所以hi站兀+力(斗+x.)=0,lnXj-ln^+B陰-x,)=0P所以_In所以_Ina2-Inxi工i+兀不妨設(shè)西vx“要證場(chǎng)x,>e2f只需[jElnx.Xj=A：(In^-lnx1)>2(旳設(shè)2世(*>1},令尸⑴二血_生:包=g豐丄-2xit-kir十1所以函數(shù)F(f)在(1,8)上單調(diào)遞增，而?(1)=0,所以F(r)>0t即me翌二2t+l所以工』2>t-2.【啟示】解答第一問(wèn)用的是分離參數(shù)法，解答第二問(wèn)用的是分析法、構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)的變形能力要求較高，大家應(yīng)記住下面的變形：

In也一In卅x2-x2（也一站）心+冊(cè)=>Inr>=>Inr>2（一1）/+1心）?題型三：求最值解決任意、存在性變量問(wèn)題解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，常見的有下面四種形式:由『（對(duì)=（<—2寓可知.當(dāng)XG（0,2］時(shí)，g（x）在區(qū)間（0,血）上單調(diào)遞減,在區(qū)何（J爲(wèi)2］上單調(diào)遞熠，g（0）=g⑵=0-故呂（無(wú)）嘶=0，所以只需證明對(duì)函數(shù)f（對(duì)來(lái)說(shuō)，“\"訃2B工亠1）（工一2）TOC\o"1-5"\h\zJ（x）=-（2^7+1）+-=.xx當(dāng)a>-時(shí)「即0U丄常2時(shí),函數(shù)/X朗在區(qū)間（0丄）2aa上單調(diào)遞增，在區(qū)間（丄,2］上單調(diào)罐減.a/⑴喚*"）一23n—召-2一a2a當(dāng)a>l\^,顯然f?小于0,滿足題意早當(dāng)-<a<l時(shí)，令為S2—21nt?-丄一2?22a則h\a）=茫學(xué)-2a可知該函數(shù)在-<a<］時(shí)■單調(diào)遞減，2故^）<A4）-2hi2-3<0s滿足題意+￡綜上，原俞題得證.⑵VJC,,3x2}f(X})<g(x2)O玄g區(qū))max；⑶Hx1>Vx2,/(x])<g(x2)o/(Xi)^冬童(?！幻骾⑷3xls3x2,/(x1)<g(x2)?/(x]):nill<g(A；JmM?只要分別求左右兩邊函數(shù)的最值就可以了?例4.已知函數(shù)/(x)=iffic2-(2a+lU+2MXfle^)T22當(dāng)尬二亍時(shí)，求幽數(shù)『(兀)的單調(diào)區(qū)間；⑵為丄時(shí)，設(shè)g(x)=(x2-2x>\求圧對(duì)枉2意斗E(0,2]，均存在七E(0,2],使得)<g(xj戚立*33C1)【解】増區(qū)間為(2,w),減區(qū)間為(|,2).忑上【證明】若要命題成立’只需當(dāng)兀€{0,2]時(shí).f0)皿<宮⑴皿*故^)<A4)=2h2-3<0s滯足題意.￡綜上，原命題得證.題型四：分拆成兩個(gè)函數(shù)研究要證明f(x)>能)，如果能證明,便可證/W>g{x),大家可以看到此處不等號(hào)左右兩邊都是相同的■而上-?種題型中不等號(hào)兩邊分別為X"毛■由/Wnia工莒(兀)噺n/(^)M宮(◎，但由fM2g(對(duì)推不出;比如ex乏1十毘推不出宦)訛王(兀+1)込，因?yàn)楣?1沒(méi)有最大值，所以只町遜>占⑴皿比/W工g?更嚴(yán)棉LX1例5.(2014新課標(biāo)1理)設(shè)函數(shù)=lnx-P——，x曲線y^f(x)在點(diǎn)(h/(I))Ab的切線方程為y—e(x—1)+2j⑴求G上；(2)證明：/(x)>1.(1>【解】a=Kb=2^【注意】(2)如果按題型一的方法構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，會(huì)發(fā)現(xiàn)做不下去，只好半途而廢，所以我們?cè)谧鲱}時(shí)需要及時(shí)調(diào)整思路，改變思考方向?2⑵【證明】/(x)>1等價(jià)于x]nx>xe~x--,e設(shè)=,則g*(j)=l+lnx,當(dāng)天芒(0丄)時(shí),gWe肖x€(1,+oo)時(shí)，g\x)>0.e故g(x)在{0丄)單調(diào)遞減*在(i,-KO)單調(diào)遞增，ee從而在(0,忙)的最小值為g(-)=一丄.ee2設(shè)冷)=h一一,則聯(lián)町￡.e6(0,1)時(shí).hr(x)>0,肖兀電(l,+oo)時(shí)J<0J從而h(x)在(0,+^)上的最大值為肌1)=-乂e厭I為￡(朗與為0)極值點(diǎn)不相同，所以恒育g(￡)>觥工)?綜上，Sx>0吋，g(x)>h(x)，即/{xj>1.【啟示】掌握下列八個(gè)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對(duì)我們解決不等式的證明問(wèn)題很有幫助，這八個(gè)函數(shù)分別為(1)y=x^t(2)y=xInx,e.1Inx⑶y=—，⑷y=XX“、XX⑸y「，(6)y=<3eInx⑺防「⑻戶2Xhijf要求會(huì)畫它們的圖像，以后見到這種類型的函數(shù)，就能想到它們的性質(zhì)題型五：設(shè)而不求當(dāng)函數(shù)的極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）不確定時(shí)，可以先設(shè)出來(lái)，只設(shè)不解，把極值點(diǎn)代入，求出最值的表達(dá)式而證明?例氐（2015新誄標(biāo)】卷文）設(shè)蘭數(shù)=⑴討論/（力的導(dǎo)朗數(shù)廣（刃的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)I2〔2）證明：^a>0時(shí)，/（x）>2a+aln-.Q（〕）【解】/■?）的定義域?yàn)椋?，杪），f'{x）=2e2x--（jc>0）.x當(dāng)a<0時(shí)故/'（?沒(méi)有零點(diǎn),當(dāng)時(shí)，因?yàn)閥=e2x單調(diào)遞増『y=-—單調(diào)遞増，JC所以/r（Q在（0,收）單調(diào)遞増.Xf\a）>0rb満足0<b<-且Be丄時(shí)，2e2^--<2e2-~=2(e2-2)<0,ba4所以廣3)co.故當(dāng)gao時(shí)i_r僅)存在唯一零點(diǎn).〔解此問(wèn)的關(guān)鍵是利用放縮技巧，對(duì)X范圍的限制)⑵【證明】由〔1)知’可設(shè)廣(町在(0,-^)的除-零點(diǎn)為筍>e(O?jco)時(shí)，ff(x)<0*當(dāng)薦)時(shí)，f(x)>0、故r(n在％)單凋遞減，在g冷)單調(diào)遞增.所以當(dāng)兀=嘰時(shí)，/0)取得最小值，最小值為f(x0).由于2產(chǎn)得嚴(yán)a由于2產(chǎn)得嚴(yán)a所以2心=hia—In2竊,2axQ=a]na—ahi2xa=iiln—-olnx0=-nIn—-InjCq,2a2-alnxc=2弧+abi—*a所W/(x0)=十2axa+ahi—>2a+din—,2jc°aa2故當(dāng)a>0時(shí)，J(x)>2a+uIn—.a【啟示】設(shè)而不求，整體代換是一種常用的方法，在解析幾何中體現(xiàn)很多?在本例第(2)問(wèn)中，只設(shè)出了零點(diǎn)而沒(méi)有求出零點(diǎn)，這是一種非常好的方法，同學(xué)們一定要認(rèn)真體會(huì)，靈活應(yīng)用.題型六：估值法極值點(diǎn)不確定，先把極值點(diǎn)設(shè)出來(lái)，再估計(jì)極值點(diǎn)的取值范圍邙限制得越小越好)，從而證明不等式?例7.已知函數(shù)/(jr)=eJC,g(x)=tax+??(1)當(dāng)M—-1時(shí)’求函數(shù)尸(工)=旦勺+￡-胃(兀)在上的極值；〔2)若西=2,求證；當(dāng)xw(O,+x)時(shí)，f{x)>g(x)+.〔參考數(shù)據(jù)；In2-O.693.ln3-1.099)【解】極小值為F(l)=e-1,無(wú)極大值；【證明】構(gòu)造函數(shù)瞼)=他)-鹼)哪jin—H,二岸⑴=b-丄在(0,+oo)上單調(diào)遞熠，xAy(l)=7e-2<0,Af(ln2)=2一一>0.TOC\o"1-5"\h\z2bi2(此處需要估計(jì)％的范圍，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，把％的12范圍控制好，也可以限制為-<x0<-)23:'岸(工)在(0,+ao)上有唯一零點(diǎn)Xye(^,h2)t:.已gk，即筍二—hijc0)且當(dāng)X：E?%)時(shí)，h{x)遞減，當(dāng)xe(x0,+oo)時(shí)，A(x)單調(diào)遞增，故有A(x)>A(x0)=eJu—Inx0-2=—+-2.%構(gòu)造朗數(shù)卩(()=『十*—2,訶⑴在(61)上單調(diào)遞減.2又因?yàn)椤不蛘邽樨∵＿?「?.於g)>c?(hi2)In2+-——2a?0.13>—,0h210即h(x0)>—r/.f(x)>g(x)+—.1010題型七：利用圖象的特點(diǎn)，證明不等式例憶已知函數(shù)/W=—r(xe/?).e⑴已知函數(shù)丿二祇Q對(duì)任意x滿足鞏對(duì)=/(4-x)>證明:,^x>2時(shí)，f(x)>g(x)；⑵如果兀］北工2,且/(兀J=/(x2),證明：悶十花>4?【證明】⑴因?yàn)間(x)=f(4-x)，所以g3二譬.e^F(x)^f(x)-g(x).即F(町=二^一厶壬「(2(2—廉一/」)

尹肖工>2肖工>2吋,2-x<0t加一1〉3,從而?—?jiǎng)t函數(shù)Fr(x)>0,FO)在(2,十g)是培函數(shù).所以F(x)>F(2)^---=0tee故當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>s(jc)立"⑵因?yàn)?(x)&(-00,2)內(nèi)是增弟數(shù)，在(2,+旳內(nèi)是減函數(shù),碼工兀，且y(x,)=y(x2)，所以舛，兀不可能在同—單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè)州<2<x2,由⑴可縮/(x2)>^(x2)?又茗(花)二產(chǎn)(4—毛所以八叨因?yàn)?m所以/(x,)>/(4-x2)f因?yàn)閤2>2s4—x2<2rx<2,/(x)在區(qū)間(一眄2)內(nèi)為增的數(shù)「故%!>4-^)即xL±x2>4.【啟示】第⑵問(wèn)的證明也是一種常規(guī)方法，因?yàn)楦?shù)在兩亍單訓(xùn)區(qū)間上壇減的速度不一樣，導(dǎo)致出現(xiàn)了畫1+兀>4,如果是二枕的數(shù)f(x)=(x-2)2+ltf(x2)T則可得到西+也=4f畫十吃正好是對(duì)稱軸的2倍■此題的證明思路是要證阿十占a4,需證X,>4-^2r需證/(xL)>/(4-x2).題型八：證明數(shù)列不等式證明數(shù)列不等式時(shí)，常利用下列不等式：C1)1亠一玄bi兀玄x—1(芹>0}；x1,(2)x-ln(j：4-l)<-x3(x>0);2(3}hlJT蘭一(X—);2x(4)ln(x+1)>x"一兀'?通過(guò)給變繪x賦予不同的值去證明.例弘根據(jù)不等式證明;2xTOC\o"1-5"\h\z1+-+-+--+-—>-W2n+1>+?352n~l1勸十1【證明】由Inx(x--),可得X—丄X21njc*2xx令jc二空主稈eN化2/1-1得沁—4^2111竺土2n-12n+12n-\222w-f11)■即】+2w-f11)■2?-12h+1疋忖11.2n+l1所以>—InV—(—2n~\22n-\22??-]2n+l上式中w=1?2,3，…，n.挖嚇不等式相加，得1寺護(hù)如F題型九：利用放縮法證明不等式例m設(shè)函數(shù)兀町=丄(常數(shù)。亡R),在工=0處取x+a得極小值,g(x)^—+—@為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).lux2(D^f(x)在處的切線方程,〔2〉對(duì)任意兀e(1<H切，求證；/(x)>g(x).Cl)［解】易得a=\,/(對(duì)在(1,7(1))處的切線方程為尸夕(兀+1).4【注意】在解決第(2)問(wèn)時(shí)，用構(gòu)造函數(shù)法證不出來(lái)，又試著分開兩個(gè)函數(shù)仍然不行,正當(dāng)我一籌莫展時(shí)，忽然想到與第一問(wèn)題的切線聯(lián)系，如果左邊的函數(shù)的圖像在切線的上方，右邊函數(shù)的圖像在切線的下方，這樣問(wèn)題不就得證了嗎？心里非常高興，馬上付諸行動(dòng)。(2)【證明】令h(x)=U+l),xe(1,+<?)x+14,xexe(x2+l)eA“r時(shí)肓"2時(shí)■>「，/