2023屆甘肅省張掖市重點校高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆甘肅省張掖市重點校高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解絕對值不等式，得集合，再求集合.【詳解】由得，，解得，所以集合.又集合，所以.故選：B.2．雙曲線上一點到它的一個焦點的距離等于1，那么點到另一個焦點的距離等于（

）．A．15 B．16 C．15或17 D．17【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以有，設(shè)兩個焦點為，設(shè)，由雙曲線的定義可知：，所以或（舍去），故選：D3．設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】利用可能平行判斷，利用線面平行的性質(zhì)判斷，利用或與異面判斷，與可能平行、相交、異面，判斷.【詳解】，，則可能平行，錯；，，由線面平行的性質(zhì)可得，正確；，，則，與異面；錯，，，與可能平行、相交、異面，錯，.故選B.【點睛】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.4．為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】C【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得的解析式．【詳解】解為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，即．故選：C．5．如果點在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式，則點的軌跡是（

）．A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】表示平面由點到點的距離之和為，而，所以點的軌跡是橢圓，故選：B6．一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)幾何體關(guān)系求解體積.【詳解】根據(jù)三視圖關(guān)系還原幾何體：根據(jù)三視圖的情況，可知是棱長分別為2，2，3的長方體被平面截去的幾何體底面是直角三角形的三棱錐，所以所求幾何體體積=直四棱柱體積三棱錐體積，即.故選：C7．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除A；再根據(jù)的符號，即可得出答案.【詳解】解：，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除A；又，故排除C；，故排除B.故選：D.8．以橢圓內(nèi)一點為中點的弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先設(shè)直線與橢圓的兩個交點，，再利用點差法求直線的斜率，最后求解直線方程.【詳解】設(shè)過點的直線交橢圓于，兩點，則，兩式相減得，因為，，，兩邊同時除以得，得，所以直線方程為，即.故選：B9．已知圓：．設(shè)是直線：上的動點，是圓的切線，為切點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．5【答案】D【分析】把化成，再利用切線長性質(zhì)轉(zhuǎn)化成求點M到直線l距離即可作答.【詳解】如圖，連AM，圓M半徑為2，則，，圓心到直線l的距離，從而得，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值為5.故選：D10．如圖，O是坐標(biāo)原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點是線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為．故選：B11．如圖，在三棱錐的平面展開圖中，四邊形是菱形，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將三棱錐的直觀圖還原，確定出球心，進(jìn)而算出球的半徑得到答案.【詳解】將三棱錐的直觀圖還原，如圖所示，則，∴，∴．取的中點O，連接，則，∴O為三棱錐外接球的球心，半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：C.12．已知、、，且、、，下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可將題中條件轉(zhuǎn)化為、、，然后設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，則、、，最后通過即可得出結(jié)果.【詳解】即，即，即，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，，是減函數(shù)，當(dāng)時，，是增函數(shù)，因為、、，所以、、因為，所以，，故選：C.二、填空題13．已知過點且與兩坐標(biāo)軸都有交點的直線l與圓相切，則直線l的方程為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為，即，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得，進(jìn)而代入整理計算得答案.【詳解】解：因為直線l過點且與兩坐標(biāo)軸都有交點，所以設(shè)直線l的方程為，即，因為直線l與圓相切，所以，解得，所以直線l的方程為.故答案為：.14．碳60（）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面，且滿足：頂點數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2．則其六元環(huán)的個數(shù)為__________.【答案】【分析】根據(jù)頂點數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2求出棱數(shù)，設(shè)正五邊形有個，正六邊形有個，根據(jù)面數(shù)和棱數(shù)即可得關(guān)于的方程組，解得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，碳（）由個頂點，有個面，由頂點數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2可得：棱數(shù)為，設(shè)正五邊形有個，正六邊形有個，則，解得：，所以六元環(huán)的個數(shù)為個，故答案為：15．過雙曲線的左焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，過A，B分別作雙曲線的同一條漸近線的垂線，垂足分別為P，Q.若，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】根據(jù)圖象可知焦點F到漸近線的距離，結(jié)合離心率定義可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，左焦點F到漸近線的距離，而，∴，∴雙曲線的離心率為.故答案為：16．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知且c＝1，則△ABC面積的取值范圍為____.【答案】【分析】由三角形的余弦定理可得b2＝1+a2﹣a，由△ABC為銳角三角形，可得a2+b2＞c2，b2+c2＞a2，解得a的范圍，再由三角形的面積公式，計算可得所求范圍.【詳解】且c＝1，可得b2＝c2+a2﹣2accosB，即為b2＝1+a2﹣a，由△ABC為銳角三角形，可得a2+b2＞c2，b2+c2＞a2，即為2a2﹣a＞0，且2﹣a＞0，解得＜a＜2，則△ABC面積S＝acsinB＝a∈（，），故答案為：（，）.【點睛】本題考查三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，以及銳角三角形的定義，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由和，兩式做差可得，可求得的通項公式；（2）將代入，運(yùn)用裂項相消求和法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）取，有解得，或（舍），取，則，化簡有，由知，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，.（2）因為，所以.18．如圖，在長方體中，分別是和的中點，是上的點，且.（1）求三棱錐的體積；（2）作出長方體被平面所截的截面（只需作出，說明結(jié)果即可）；（3）求證：∥平面.【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【分析】（1）將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積即可；（2）取的中點，連接，，則就是長方體被平面所截的截面；（3）設(shè)，連接，由線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為只需證明即可.【詳解】（1）三棱錐的體積.（2）取的中點，連接，，則就是長方體被平面所截的截面.（3）設(shè)，連接，因為，則，所以，又，所以，又，所以，又平面，平面，故平面.19．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上.（1）求點的坐標(biāo)和拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）過點的直線與拋物線交于兩個不同點，若的中點為，求的面積.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因為在拋物線上，可得，由拋物線的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（2）由拋物線的定義可知，根據(jù)點斜式可求直線的方程為，利用點到直線距離公式求出高，進(jìn)而求出面積.【詳解】（1）∵在拋物線上，，∴點的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，，∴直線的方程為，點到直線的距離，.【點睛】本題主要考查了拋物線的基本概念，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.20．在中，內(nèi)角A，B，的對邊分別為a，b，c，設(shè)向量，.(1)若，，求.(2)若，，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量共線得，進(jìn)而根據(jù)正弦定理邊角互化整理得，進(jìn)一步得，再求解即可得答案；（2）由向量數(shù)量積運(yùn)算得，再根據(jù)正弦定理邊角互化并整理得，進(jìn)一步根據(jù)得，，最后根據(jù)并結(jié)合余弦的和角公式計算即可.【詳解】(1)解：因為，，，所以，所以有正弦定理邊角互化得，即，因為，所以或,因為，所以，，所以在中，，所以.(2)解：因為，，所以，所以由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，因為，所以，即所以，所以21．如圖，且，，且，，且，，平面，．（1）求二面角的余弦值；（2）若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；（2）設(shè)點坐標(biāo)為，即可得到，求出平面的法向量，根據(jù)線與面所成角為得到方程，解得即可；【詳解】解：因為平面平面平面，所以，又故可以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由且且且，可知，各點坐標(biāo)為，（1）易知設(shè)平面的法向量為，則由可得，故平面的一個法向量為．設(shè)平面的法向量為，則由可得，故平面的一個法向量為因為且顯然二面角為銳角．故二面角的余弦值為；（2）因為點在線段上，故可設(shè)點坐標(biāo)為，其中于是，易知平面的一個法向量為因為直線與平面所成的角為，所以解得所以線段的長為．22．已知長度為3的線段的兩個端點A，B分別在x軸和y軸上運(yùn)動，動點P滿足，記動點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)曲線C與y軸的正半軸交于點D，過點D作互相垂直的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點，連接MN，試判斷直線MN是否經(jīng)過定點．若是，求出該定點坐標(biāo)；若否，請說明理由.【答案】(1)(2)