人教版選修2-3全冊20份

量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解取有限個值的離散型隨及標(biāo)準(zhǔn)差的概念．量的方差，并能能計(jì)算簡單離散型隨解決一些實(shí)際問題．掌握方差的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求

利用公式求它們的方差．課堂互動講練知能優(yōu)化訓(xùn)練2．3.2課前自主學(xué)案1．若離散型隨量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn課前自主學(xué)案溫故夯基E(X)＝

x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn

，它反映了離散型隨

量取值的_平均

水平．2．若X～B(n，p)，則E(X)＝

np

.3．樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差公式：1n1

2n2

2

2

2s

＝

[(x

－

x

)

＋(x

－

x

)

＋…＋(x

－

x

)

]；s＝1n12[x

－

x

＋22x

－

x

＋…＋n2x

－

x

].知新益能．方差：如果離散型隨量ξ

所有可能取值是x1，x2，x3，…，xn，且取這些值的概分別是p1，p2，p3，…，pn，那么，把D(ξ)(x1

－E(ξ))2·p1

＋(x2

－E(ξ))2·p2

＋(x3

－(ξ))2·p3＋…＋(xn－E(ξ))2·pn

叫做隨量ξ

方差，D(ξ)的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ

的標(biāo)準(zhǔn)差

，記作σ(ξ)．公式：D(aX＋b)＝a2D(X)．若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則D(X)＝np(1_－p_)_．量的方差與樣本的方差有何不同1．隨？提示：樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個隨 量，而隨 量的方差是通過大量試驗(yàn)得出的，刻畫了隨量X與其均值E(X)的平均偏離程度，因此它是一個常量而非變量．問題探究量的單位2．方差、標(biāo)準(zhǔn)差的單位與隨有什么關(guān)系？提示：方差的單位是隨

量單位的平方；標(biāo)準(zhǔn)差與隨

量本身有相同的單位．求一般離散型隨 量的方差量的分布列、期望、方差課堂互動講練考點(diǎn)突破根據(jù)離散型隨公式求解．已知X的分布列為例1X－101P111236求E(X)，D(X)，σ(X)；設(shè)Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定

題．【解】

(1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝－1

1

1

1

1×2＋0×3＋1×6＝－3；D(X)＝(x1

－E(X))2p1

＋(x2

－E(X))2p2

＋(x35－E(X))2p3＝9；σ(X)＝

DX＝95＝

53

.(2)E(Y)＝2E(X)＋397

20＝3，D(Y)＝4D(X)＝

.【誤區(qū)警示】

在(xi－E(X))2pi中，極易把(xi－E(X))2的平方漏掉．變式訓(xùn)練1

已知隨量ξ的分布列為ξ123Pp1p2p3且已知E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.5，求：(1)p1，p2，p3；(2)P(－1<ξ<2)．解

：

(1)根

據(jù)

題

意

得p1＋2p2＋3p3＝2

②p1＋p2＋p3＝1①1p

1－223

＋p

32－2

＝12③11由③得

p

＋p3＝2，④1上式代入①得p2＝2，代入②得

p1＋3p3＝1，∴p

1

13＝4，p1＝4.1(2)P(－1<ξ<2)＝P(ξ＝1)＝p1＝4.確定是兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布后，直接用公式求解．投彈命中目標(biāo)的概率為p＝0.8.(1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值和方差；(2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值和方差．兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的方差例2【思路點(diǎn)撥】

投彈一次命中次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布，而重復(fù)10次投彈可以認(rèn)為是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布．【解】

(1)X的分布列為：X01P0.20.8E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.(2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B(10,0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.變式訓(xùn)練

2

某籃球隊(duì)與其他

6

支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6

場比賽，每場均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽勝場的1事件是獨(dú)立的，并且勝場的概率是3.求這支籃球隊(duì)在6場比賽中恰好勝了3場的概率；求這支籃球隊(duì)在6場比賽中勝場數(shù)ξ的期望和方差．解：比賽

6

場，即進(jìn)行了

6

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．6

1

13

3(1)P＝C3×

3×1－

3＝160729.

1

3(2)∵ξ

服從二項(xiàng)分布，即

ξ～B6，

，31

13

1

343∴E(ξ)＝6×

＝2，D(ξ)＝6×

×1－

＝

.數(shù)學(xué)期望反映隨量取值的平均水平，方差則反映隨

量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．為了迎戰(zhàn)山東省下屆運(yùn)動會，某市對甲、乙兩名射手進(jìn)行一次選拔賽．已知甲、乙兩名射手在每次射的環(huán)數(shù)均大于

6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.量的方差的應(yīng)離散型隨用例3求ξ，η的分布列；求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．【思路點(diǎn)撥】利用分布列的概率和為1，求出a，然后分別列出ξ，η的分布列，結(jié)合分布列分別求出E(ξ)，E(η)，D(ξ)，D(η)．【解】

(1)依據(jù)題意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，∴乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中ξ，η的分布列可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又∵D(ξ)<D(η)，說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定．方法感悟方法技巧1．求離散型隨 量方差的步驟理解X的意義，寫出X的所有可能的取值；求X取每一個值的概率；寫出隨 量X的分布列；由方差的定義求E(X)，D(X)．特別地，若隨

量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算D(X)．如例1、例22．均值僅體現(xiàn)了隨

量取值的平均水平，