加權(quán)余量法簡(jiǎn)介

加權(quán)余量法加權(quán)余量法的基本概念

加權(quán)余量法(MethodofWeightedResiduals)或稱(chēng)加權(quán)殘值法或加權(quán)殘數(shù)法，是一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問(wèn)題近似解的數(shù)學(xué)方法。當(dāng)

n有限時(shí)，定解方程存在偏差（余量）。取權(quán)函數(shù)，強(qiáng)迫余量在某種平均意義上為零。采用使余量的加權(quán)積分為零的等效積分的“弱”形式。來(lái)求得微分方程近似解的方法稱(chēng)為加權(quán)余量法。設(shè)問(wèn)題的控制微分方程為:在V域內(nèi)在S邊界上式中:

L、B——分別為微分方程和邊界條件中的微分算子；

f、g——為與未知函數(shù)u無(wú)關(guān)的已知函數(shù)域值；

u——為問(wèn)題待求的未知函數(shù)。方法概述及按試函數(shù)分類(lèi)當(dāng)利用加權(quán)余量法求近似解時(shí)，首先在求解域上建立一個(gè)試函數(shù)，一般具有如下形式：式中：——待定系數(shù)，也可稱(chēng)為廣義坐標(biāo)；——取自完備函數(shù)集的線性無(wú)關(guān)的基函數(shù)。由于一般只是待求函數(shù)u的近似解，因此將式代入控制方程后將得不到滿(mǎn)足，若記：在V域內(nèi)在S邊界上顯然反映了試函數(shù)與真實(shí)解之間的偏差，它們分別稱(chēng)做內(nèi)部和邊界余量。

若在域V內(nèi)引入內(nèi)部權(quán)函數(shù)，在邊界S上引入邊界權(quán)函數(shù)則可建立n個(gè)消除余量的條件，一般可表示為：不同的權(quán)函數(shù)和反映了不同的消除余量的準(zhǔn)則。從上式可以得到求解待定系數(shù)矩陣C的代數(shù)方程組。一經(jīng)解得待定系數(shù)，即可得所需求解邊值問(wèn)題的近似解。

由于試函數(shù)的不同，余量和可有如下三種情況，依此加權(quán)余量法可分為：1．內(nèi)部法試函數(shù)滿(mǎn)足邊界條件，也即此時(shí)消除余量的條件成為:2．邊界法試函數(shù)滿(mǎn)足控制方程，也即此時(shí)消除余量的條件為:3．混合法試函數(shù)不滿(mǎn)足控制方程和邊界條件，此時(shí)用下式來(lái)消除余量。顯然，混合法對(duì)于試函數(shù)的選取最方便，但在相同精度條件下，工作量最大。對(duì)內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿(mǎn)足一定條件，這對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其工作量較小。

無(wú)論采用何種方法，在建立試函數(shù)時(shí)均應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：試函數(shù)應(yīng)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。已被采用過(guò)的試函數(shù)有冪級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等。試函數(shù)應(yīng)具有直到比消除余量的加權(quán)積分表達(dá)式中最高階導(dǎo)數(shù)低一階的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性。試函數(shù)應(yīng)與問(wèn)題的解析解或問(wèn)題的特解相關(guān)聯(lián)。若計(jì)算問(wèn)題具有對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)充分利用它。基本方法概述

下面以?xún)?nèi)部法為例，介紹按權(quán)函數(shù)分類(lèi)時(shí)加權(quán)余量的五種基本方法。對(duì)內(nèi)部法來(lái)說(shuō)，消除余量的統(tǒng)一格式是:1．子域法(SubdomainMethod)此法首先將求解域V劃分成n個(gè)子域，在每個(gè)子域內(nèi)令權(quán)函數(shù)等于1，而在子域之外取權(quán)函數(shù)為零，也即:如果在各個(gè)子域里分別選取試函數(shù)，那么它的求解在形式上將類(lèi)似于有限元法2.配點(diǎn)法(CollocationMethod)子域法是令余量在一個(gè)子域上的總和為零。而配點(diǎn)法是使余量在指定的n個(gè)點(diǎn)上等于零，這些點(diǎn)稱(chēng)為配點(diǎn)。此法的權(quán)函數(shù)為:P、Pi—分別代表求解域內(nèi)任一點(diǎn)和配點(diǎn)。由于此法只在配點(diǎn)上保證余量為零，因此不需要作積分計(jì)算，所以是最簡(jiǎn)單的加權(quán)余量法3．最小二乘法(LeastSquareMethod)本法通過(guò)使在整個(gè)求解域上余量的平方和取極小來(lái)建立消除余量的條件。若記余量平方和為I(C)，即則極值條件為:本法權(quán)函數(shù)為:4．伽遼金法(GalerkinMethod)本法是使余量與每一個(gè)基函數(shù)正交，也即以基函數(shù)作為權(quán)函數(shù)當(dāng)試函數(shù)包含整個(gè)完備函數(shù)集時(shí)，用本法必可求得精確解。5．矩法(MethodofMoment)本法與伽遼金法相似，也是用完備函數(shù)集作權(quán)函數(shù)。但本法的權(quán)函數(shù)與伽遼金法又有區(qū)別，它與試函數(shù)無(wú)關(guān)。消除余量的條件是從零開(kāi)始的各階矩為零，因此對(duì)一維問(wèn)題對(duì)二維問(wèn)題其余類(lèi)推這五種基本方法在待定系數(shù)足夠多(稱(chēng)做高階近似)時(shí)，其精度彼此相近。但對(duì)低階近似(n較小)情況下，后三種的精度要高于前兩種?；痉椒ㄅe例

為說(shuō)明上述基本概念，以圖所示等截面懸臂梁，受滿(mǎn)跨均布荷載作用，求懸臂端B的豎向位移為例，說(shuō)明基本方法的應(yīng)用。圖示梁的控制方程為:其邊界條件為:若取試函數(shù)為:不難驗(yàn)證其滿(mǎn)足邊界條件，也即。而控制方程的內(nèi)部余量為:子域法解由于試函數(shù)僅一個(gè)待定常數(shù)，因此只需取一個(gè)子域（等于全域）即可，消除余量的條件為:由此可解得:代回原式可得:配點(diǎn)法解同上所述，只需選一個(gè)配點(diǎn)來(lái)建立消除余量的條件。若令:可得:

若令:

則得:可見(jiàn)不同的配點(diǎn)結(jié)果是不一樣的。最小二乘法解此時(shí)消除余量的條件為:可得:伽遼金法解此時(shí)，消除余量的條件為:由此可得:本例各方法的精度比較