最新高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(新課標(biāo)大綱版)

高中數(shù)學(xué)考點(diǎn)總結(jié)一.集合與簡(jiǎn)易邏輯1.注意區(qū)分集合中元素的形式.如：—函數(shù)的定義域；—函數(shù)的值域；—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.2.集合的性質(zhì)：①任何一個(gè)集合是它本身的子集,記為.②空集是任何集合的子集,記為.③空集是任何非空集合的真子集；注意:條件為,在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況如：,如果,求的取值.(答：)④,；；.⑤.⑥元素的個(gè)數(shù)：.⑦含個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為；真子集(非空子集)個(gè)數(shù)為；非空真子集個(gè)數(shù)為.3.補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否認(rèn)型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題。如：函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(答：)4.原命題:；逆命題:；否命題:；逆否命題:；互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的.如：“〞是“〞的條件.(答：充分非必要條件)5.假設(shè)且,那么是的充分非必要條件(或是的必要非充分條件).6.注意命題的否認(rèn)與它的否命題的區(qū)別:命題的否認(rèn)是；否命題是.命題“或〞的否認(rèn)是“且〞；“且〞的否認(rèn)是“或〞.如：“假設(shè)和都是偶數(shù)，那么是偶數(shù)〞的否命題是“假設(shè)和不都是偶數(shù),那么是奇數(shù)〞否認(rèn)是“假設(shè)和都是偶數(shù),那么是奇數(shù)〞.7.常見(jiàn)結(jié)論的否認(rèn)形式原結(jié)論否認(rèn)原結(jié)論否認(rèn)是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有個(gè)至多有個(gè)小于不小于至多有個(gè)至少有個(gè)對(duì)所有,成立存在某,不成立或且對(duì)任何,不成立存在某,成立且或二.函數(shù)1.①映射:是：⑴“一對(duì)一或多對(duì)一〞的對(duì)應(yīng)；⑵集合中的元素必有象且中不同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集).②一一映射:：⑴“一對(duì)一〞的對(duì)應(yīng)；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.2.函數(shù):是特殊的映射.特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn),但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有,也可能有任意個(gè).3.函數(shù)的三要素：定義域,值域,對(duì)應(yīng)法那么.研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原那么.4.求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母;偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù);對(duì)數(shù)真數(shù),底數(shù)且；零指數(shù)冪的底數(shù))；實(shí)際問(wèn)題有意義；假設(shè)定義域?yàn)?復(fù)合函數(shù)定義域由解出；假設(shè)定義域?yàn)?那么定義域相當(dāng)于時(shí)的值域.5.求值域常用方法:①配方法(二次函數(shù)類)；②逆求法(反函數(shù)法)；③換元法(特別注意新元的范圍).④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù),運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；⑤不等式法⑥單調(diào)性法；⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求值域；⑧判別式法〔慎用〕：⑨導(dǎo)數(shù)法(一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)).6.求函數(shù)解析式的常用方法：⑴待定系數(shù)法(所求函數(shù)的類型)；⑵代換(配湊)法；⑶方程的思想----對(duì)等式進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。7.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,確定奇偶性方法有定義法、圖像法等；⑵假設(shè)是偶函數(shù),那么；定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)()；⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：或；⑷復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶那么偶，內(nèi)奇同外〞.注意：假設(shè)判斷較為復(fù)雜解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡(jiǎn)再判斷；既奇又偶的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)(如定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可).⑸奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；⑹確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等.⑺復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減〞判定.〔提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)注意定義域〕如：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(答：)8.函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)變換⑴平移變換：左右平移---------“左加右減〞〔注意是針對(duì)而言〕；上下平移----“上加下減〞(注意是針對(duì)而言).⑵翻折變換：；.⑶對(duì)稱變換：①證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性,即證圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上.②證明圖像與的對(duì)稱性,即證上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上,反之亦然.③函數(shù)與的圖像關(guān)于直線(軸)對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線(軸)對(duì)稱；④假設(shè)函數(shù)對(duì)時(shí)，或恒成立,那么圖像關(guān)于直線對(duì)稱；⑤假設(shè)對(duì)時(shí),恒成立,那么圖像關(guān)于直線對(duì)稱；⑥函數(shù),的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(由確定)；⑦函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；⑧函數(shù),的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(由確定)；⑨函數(shù)與的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；函數(shù),的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；⑩函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；曲線：,關(guān)于,的對(duì)稱曲線的方程為(或；曲線：關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為：.9.函數(shù)的周期性：⑴假設(shè)恒成立,；⑵假設(shè)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱,那么的周期為；⑶假設(shè)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱,那么的周期為；⑷假設(shè)關(guān)于點(diǎn),對(duì)稱,那么的周期為；⑸的圖象關(guān)于直線,對(duì)稱,那么函數(shù)的周期為；⑹對(duì)時(shí),或,那么的周期為；10.對(duì)數(shù)：⑴；⑵對(duì)數(shù)恒等式；⑶；；⑷對(duì)數(shù)換底公式；推論：.(以上且均不等于)11.方程有解(為的值域)；恒成立,恒成立.12.恒成立問(wèn)題的處理方法：⑴別離參數(shù)法(最值法)；⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題；13.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法〞：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系；14.二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：；②頂點(diǎn)式：；③零點(diǎn)式：.15.一元二次方程實(shí)根分布:先畫圖再研究、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào);16.復(fù)合函數(shù)：⑴復(fù)合函數(shù)定義域求法：假設(shè)的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域可由不等式解出；假設(shè)的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于時(shí),求的值域；⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減〞判定.17.對(duì)于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：⑴定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；⑵奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；⑶定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)；⑷周期函數(shù)不存在反函數(shù)；⑸互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自的定義域具有相同的單調(diào)性；⑹與互為反函數(shù),設(shè)的定義域?yàn)?值域?yàn)?那么有,.18.依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問(wèn)題：(或)(或)；19.函數(shù)的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)；②對(duì)稱中心是點(diǎn)；③反函數(shù)為；20.函數(shù)：增區(qū)間為,減區(qū)間為.如：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是(答：).三.數(shù)列1.由求,注意驗(yàn)證是否包含在后面的公式中,假設(shè)不符合要單獨(dú)列出.如：數(shù)列滿足，求(答：).2.等差數(shù)列(為常數(shù))；3.等差數(shù)列的性質(zhì)：①,；②(反之不一定成立)；特別地,當(dāng)時(shí),有；③假設(shè)、是等差數(shù)列,那么(、是非零常數(shù))是等差數(shù)列；④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列〞即仍是等差數(shù)列；⑤等差數(shù)列,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí),,；項(xiàng)數(shù)為時(shí),,,且；.⑥首項(xiàng)為正(或?yàn)樨?fù))的遞減(或遞增)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大(或最小)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為解不等式(或).也可用的二次函數(shù)關(guān)系來(lái)分析.⑦假設(shè),那么；假設(shè),那么；假設(shè),那么Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；.4.等比數(shù)列.5.等比數(shù)列的性質(zhì)①,；②假設(shè)、是等比數(shù)列，那么、等也是等比數(shù)列；③；④(反之不一定成立)；.⑤等比數(shù)列中(注：各項(xiàng)均不為0)仍是等比數(shù)列.⑥等比數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí),；項(xiàng)數(shù)為時(shí),.6.①如果數(shù)列是等差數(shù)列,那么數(shù)列(總有意義)是等比數(shù)列；如果數(shù)列是等比數(shù)列,那么數(shù)列是等差數(shù)列；②假設(shè)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,那么是非零常數(shù)數(shù)列；③如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列也是等差數(shù)列，且新數(shù)列的公差是原兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；如果一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng),那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列是等比數(shù)列,由特殊到一般的方法探求其通項(xiàng)；④三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：；三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：(為什么？)7.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.⑵(即)求用作差法：.⑶求用作商法：.⑷假設(shè)求用迭加法.⑸,求用迭乘法.⑹數(shù)列遞推式求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：①形如,,(為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后,再求.②形如的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法〞求通項(xiàng).8.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式；②分組求和法；③倒序相加；④錯(cuò)位相減；⑤分裂通項(xiàng)法.公式：；；；；常見(jiàn)裂項(xiàng)公式；；；常見(jiàn)放縮公式：.9.“分期付款〞、“森林木材〞型應(yīng)用問(wèn)題⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.但在求解過(guò)程中，務(wù)必“卡手指〞，細(xì)心計(jì)算“年限〞.對(duì)于“森林木材〞既增長(zhǎng)又砍伐的問(wèn)題,那么常選用“統(tǒng)一法〞統(tǒng)一到“最后〞解決.⑵利率問(wèn)題：①單利問(wèn)題：如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型：假設(shè)每期存入本金元,每期利率為,那么期后本利和為：(等差數(shù)列問(wèn)題〕；②復(fù)利問(wèn)題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：假設(shè)貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利率為〔按復(fù)利〕，那么每期等額還款元應(yīng)滿足：(等比數(shù)列問(wèn)題).四.三角函數(shù)1.終邊與終邊相同；終邊與終邊共線；終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱；終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱；終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；終邊與終邊關(guān)于角終邊對(duì)稱.2.弧長(zhǎng)公式：；扇形面積公式：；弧度()≈.3.三角函數(shù)符號(hào)(“正號(hào)〞)規(guī)律記憶口訣：“一全二正弦,三切四余弦〞.注意：；；4.三角函數(shù)同角關(guān)系中(八塊圖)：注意“正、余弦三兄妹、〞的關(guān)系.如等.5.對(duì)于誘導(dǎo)公式,可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限〞概括；(注意：公式中始終視為銳角)6.角的變換：角與特殊角、角與目標(biāo)角、角與其倍角或半角、兩角與其和差角等變換.如：；；；；等；“〞的變換：；7.重要結(jié)論：其中〕；重要公式；；；.萬(wàn)能公式：；；.8.正弦型曲線的對(duì)稱軸；對(duì)稱中心；余弦型曲線的對(duì)稱軸；對(duì)稱中心；9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題勿忘三內(nèi)角和等于,一般用正、余弦定理實(shí)施邊角互化；正弦定理：；余弦定理：；正弦平方差公式：；三角形的內(nèi)切圓半徑；面積公式：；射影定理：.10.中,易得：,①,,.②,,.③④銳角中,,,,類比得鈍角結(jié)論.⑤.11.角的范圍：異面直線所成角；直線與平面所成角；二面角和兩向量的夾角；直線的傾斜角；到的角；與的夾角.注意術(shù)語(yǔ):坡度、仰角、俯角、方位角等.五.平面向量1.設(shè),.(1)；(2).2.平面向量根本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使.3.設(shè),,那么；其幾何意義是等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積；在的方向上的投影.4.三點(diǎn)、、共線與共線；與共線的單位向量.5.平面向量數(shù)量積性質(zhì)：設(shè),,那么；注意:為銳角,不同向；為直角；為鈍角,不反向.6.同向或有；反向或有；不共線.7.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：⑴假設(shè),,那么；；⑵假設(shè),那么.8.熟記平移公式和定比分點(diǎn)公式.①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),；當(dāng)點(diǎn)在線段(或)延長(zhǎng)線上時(shí),或.②分點(diǎn)坐標(biāo)公式：假設(shè)；且,；那么,中點(diǎn)坐標(biāo)公式：.③,,三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)、使得且.9.三角形中向量性質(zhì)：①過(guò)邊的中點(diǎn)：；②為的重心；③為的垂心；④為的內(nèi)心；所在直線過(guò)內(nèi)心.⑤設(shè),..⑥為內(nèi)一點(diǎn),那么.10.,有()；.六.不等式1.掌握課本上的幾個(gè)不等式性質(zhì)，注意使用條件，另外需要特別注意：①假設(shè),,那么.即不等式兩邊同號(hào)時(shí),不等式兩邊取倒數(shù),不等號(hào)方向要改變.②如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),如果正負(fù)號(hào)未定,要注意分類討論.2.掌握幾類不等式(一元一次、二次、絕對(duì)值不等式、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式)的解法,尤其注意用分類討論的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標(biāo)根法,零點(diǎn)分區(qū)間法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：假設(shè),那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))使用條件：“一正二定三相等〞常用的方法為：拆、湊、平方等；(2)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào))；(3)公式注意變形如：,；(4)假設(shè),那么(真分?jǐn)?shù)的性質(zhì))；4.含絕對(duì)值不等式：同號(hào)或有；異號(hào)或有.5.證明不等式常用方法：⑴比擬法：作差比擬：.注意：假設(shè)兩個(gè)正數(shù)作差比擬有困難,可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比擬大小；⑵綜合法：由因?qū)Ч虎欠治龇ǎ簣?zhí)果索因.根本步驟：要證…需證…,只需證…；⑷反證法：正難那么反；⑸放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.放縮法的方法有：①添加或舍去一些項(xiàng),如：；.②將分子或分母放大(或縮小)③利用根本不等式,如：.④利用常用結(jié)論：；(程度大)；(程度小)；⑹換元法：換元的目的就是減少不等式中變量,以使問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn),常用的換元有三角換元代數(shù)換元.如：知,可設(shè)；知,可設(shè),()；知,可設(shè)；,可設(shè).⑺最值法,如：,那么恒成立.,那么恒成立.七.直線和圓的方程1.直線的傾斜角的范圍是；2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系(如右圖)：3.直線方程五種形式：⑴點(diǎn)斜式：直線過(guò)點(diǎn)斜率為，那么直線方程為,它不包括垂直于軸的直線.⑵斜截式：直線在軸上的截距為和斜率，那么直線方程為,它不包括垂直于軸的直線.⑶兩點(diǎn)式：直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),那么直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.⑷截距式：直線在軸和軸上的截距為,那么直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成(不同時(shí)為0)的形式.提醒：⑴直線方程的各種形式都有局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢？)⑵直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為.直線兩截距相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn).⑶截距不是距離,截距相等時(shí)不要忘了過(guò)原點(diǎn)的特殊情形.4.直線與直線的位置關(guān)系：⑴平行(斜率)且(在軸上截距)；⑵相交；(3)重合且.5.直線系方程：①過(guò)兩直線：,：.交點(diǎn)的直線系方程可設(shè)為；②與直線平行的直線系方程可設(shè)為；③與直線垂直的直線系方程可設(shè)為.6.到角和夾角公式：⑴到的角是指直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角,且；⑵與的夾角是指不大于直角的角且.7.點(diǎn)到直線的距離公式；兩條平行線與的距離是.8.設(shè)三角形三頂點(diǎn),,,那么重心；9.有關(guān)對(duì)稱的一些結(jié)論⑴點(diǎn)關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)、直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是,,,.⑵曲線關(guān)于以下點(diǎn)和直線對(duì)稱的曲線方程為：①點(diǎn)：；②軸：；③軸：；④原點(diǎn)：；⑤直線：；⑥直線：；⑦直線：.10.⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.⑵圓的一般方程：.特別提醒：只有當(dāng)時(shí),方程才表示圓心為,半徑為的圓(二元二次方程表示圓,且).⑶圓的參數(shù)方程：(為參數(shù)),其中圓心為,半徑為.圓的參數(shù)方程主要應(yīng)用是三角換元：；.⑷以、為直徑的圓的方程；11.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷通常用幾何法(計(jì)算圓心到直線距離).點(diǎn)及圓的方程.①點(diǎn)在圓外；②點(diǎn)在圓內(nèi)；③點(diǎn)在圓上.12.圓上一點(diǎn)的切線方程：點(diǎn)在圓上,那么過(guò)點(diǎn)的切線方程為：；過(guò)圓上一點(diǎn)切線方程為.13.過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線.14.直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解決弦長(zhǎng)問(wèn)題.①相離②相切③相交15.圓與圓的位置關(guān)系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系.設(shè)兩圓的圓心距為,兩圓的半徑分別為：兩圓相離；兩圓相外切；兩圓相交；兩圓相內(nèi)切；兩圓內(nèi)含；兩圓同心.16.過(guò)圓：,：交點(diǎn)的圓(相交弦)系方程為.時(shí)為兩圓相交弦所在直線方程.17.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí),要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形,切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等).18.求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；(2)作出可行域,寫出目標(biāo)函數(shù)(判斷幾何意義)；(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置,從而獲得最優(yōu)解.八.圓錐曲線方程1.橢圓焦半徑公式：設(shè)為橢圓上任一點(diǎn),焦點(diǎn)為,,那么(“左加右減〞)；2.雙曲線焦半徑：設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn),焦點(diǎn)為,,那么：⑴當(dāng)點(diǎn)在右支上時(shí),；⑵當(dāng)點(diǎn)在左支上時(shí),,；(為離心率).另：雙曲線的漸近線方程為.3.拋物線焦半徑公式：設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn),為焦點(diǎn),那么；上任意一點(diǎn),為焦點(diǎn)，那么.4.共漸近線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(為參數(shù),).5.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程：⑴過(guò)曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).⑵共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓；當(dāng)時(shí),表示雙曲線.6.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式或(弦端點(diǎn),由方程消去得到,,為斜率).這里表達(dá)了解幾中“設(shè)而不求〞的思想；7.橢圓、雙曲線的通徑(最短弦)為,焦準(zhǔn)距為,拋物線的通徑為,焦準(zhǔn)距為；雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為；8.中心在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓,雙曲線方程可設(shè)為(對(duì)于橢圓)；9.拋物線的焦點(diǎn)弦〔過(guò)焦點(diǎn)的弦〕為,、,那么有如下結(jié)論：⑴；⑵,；⑶.10.橢圓左焦點(diǎn)弦,右焦點(diǎn)弦.11.對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為,以簡(jiǎn)化計(jì)算.12.圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理〞或“點(diǎn)差法〞求解.在橢圓中,以為中點(diǎn)的弦所在直線斜率；在雙曲線中,以為中點(diǎn)的弦所在直線斜率；在拋物線中,以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.13.求軌跡方程的常用方法：⑴直接法：直接通過(guò)建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成,是求軌跡的最根本的方法.⑵待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回所列的方程即可.⑶代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法).⑷定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某曲線的定義,那么可由曲線的定義直接寫出方程.⑸交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.14.解析幾何與向量綜合的有關(guān)結(jié)論：⑴給出直線的方向向量或.等于直線的斜率或；⑵給出與相交,等于過(guò)的中點(diǎn)；⑶給出,等于是的中點(diǎn);⑷給出,等于與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;⑸給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù),使；③假設(shè)存在實(shí)數(shù),且；使,等于三點(diǎn)共線.⑹給出,等于是的定比分點(diǎn),為定比,即⑺給出,等于,即是直角,給出,等于已知是鈍角或反向共線,給出,等于是銳角或同向共線.⑻給出,等于是的平分線.⑼在平行四邊形中,給出,等于是菱形.⑽在平行四邊形中,給出,等于是矩形.⑾在中,給出，等于是的外心(三角形的外心是外接圓的圓心,是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)).⑿在中,給出，等于是的重心(三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)).⒀在中,給出，等于是的垂心(三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)).⒁在中,給出等于通過(guò)的內(nèi)心.⒂在中,給出等于是的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心,三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)).⒃在中,給出,等于是中邊的中線.九.直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體1.從一點(diǎn)出發(fā)的三條射線、、.假設(shè),那么點(diǎn)在平面上的射影在的平分線上；2.立平斜三角余弦公式：(圖略)和平面所成的角是,在平面內(nèi),和的射影成,設(shè),那么；3.異面直線所成角的求法：⑴平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線.⑵補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；4.直線與平面所成角：過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段,是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.5.二面角的求法：⑴定義法；⑵三垂線法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面積射影公式其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；6.空間距離的求法：⑴兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線,所以一般先利用垂直作出公垂線,然后再進(jìn)行計(jì)算.⑵求點(diǎn)到直線的距離,一般用三垂線定理作出垂線再求解.⑶求點(diǎn)到平面的距離,一是用垂面法,借助面面垂直的性質(zhì)來(lái)作.因此,確定面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線,轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高,利用等體積法列方程求解.7.用向量方法求空間角和距離：⑴求異面直線所成的角：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,那么兩異面直線所成的角.⑵求線面角：設(shè)是斜線的方向向量,是平面的法向量,那么斜線與平面所成的角.⑶求二面角(法一)在內(nèi),在內(nèi),其方向如圖(略),那么二面角的平面角.(法二)設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量,其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè),另一個(gè)指向外側(cè),那么二面角的平面角.〔4)求點(diǎn)面距離：設(shè)是平面的法向量,在內(nèi)取一點(diǎn),那么到的距離(即在方向上投影的絕對(duì)值).8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等,記為,那么.9.正四面體(設(shè)棱長(zhǎng)為)的性質(zhì)：①全面積；②體積；③對(duì)棱間的距離；④相鄰面所成二面角；⑤外接球半徑；⑥內(nèi)切球半徑；⑦正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值.10.直角四面體的性質(zhì)：(直角四面體—三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體).在直角四面體中,兩兩垂直,令,那么⑴底面三角形為銳角三角形；⑵直角頂點(diǎn)在底面的射影為三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半徑R=.11.長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有或；假設(shè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為,那么有或.12.正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長(zhǎng)；13.球的體積公式,外表積公式；掌握球面上兩點(diǎn)、間的距離求法：⑴計(jì)算線段的長(zhǎng)；⑵計(jì)算球心角的弧度數(shù)；⑶用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng).十.排列組合和概率1.排列數(shù)公式:,當(dāng)時(shí)為全排列.2.組合數(shù)公式：,.3.組合數(shù)性質(zhì)：；.4.排列組合主要解題方法：①優(yōu)先法：特殊元素優(yōu)先或特殊位置優(yōu)先；②捆綁法(相鄰問(wèn)題)；③插空法〔不相鄰問(wèn)題〕；④間接扣除法；(對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉〕⑤多排問(wèn)題單排法;⑥相同元素分組可采用隔板法〔適用與指標(biāo)分配，每局部至少有一個(gè)〕；⑦先選后排,先分再排(注意等分分組問(wèn)題)；⑧涂色問(wèn)題(先分步考慮至某一步時(shí)再分類).⑨分組問(wèn)題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組,平均分成組問(wèn)題別忘除以.5.常用性質(zhì)：；即；；6.二項(xiàng)式定理：⑴掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：；⑵注意第r＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與第r＋1項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別.7.二項(xiàng)式系數(shù)具有以下性質(zhì)：⑴與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等；⑵假設(shè)為偶數(shù),中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；假設(shè)為奇數(shù),中間兩項(xiàng)(第和項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大.⑶；.8.二項(xiàng)式定理應(yīng)用：近似計(jì)算、整除問(wèn)題、結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式、用賦值法求展開(kāi)式的某些項(xiàng)的系數(shù)的和如展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.9.等可能事件的概率公式：⑴；⑵互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式為：；⑶相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式為；⑷獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式；⑸如果事件與互斥，那么事件與、與及事件與也都是互斥事件；⑹如果事件、相互獨(dú)立，那么事件、至少有一個(gè)不發(fā)生的概率是；〔6〕如果事件與相互獨(dú)立，那么事件與至少有一個(gè)發(fā)生的概率是.十一.概率與統(tǒng)計(jì)1.理解隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量的定義,能夠?qū)懗鲭x散型隨機(jī)變量的分布列,由概率的性質(zhì)可知,任意離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：⑴；⑵.2.二項(xiàng)分布記作為參數(shù)),,記.…………3.記住以下重要公式和結(jié)論：⑴期望值.⑵方差.⑶標(biāo)準(zhǔn)差；.⑷假設(shè)(二項(xiàng)分布),那么,.⑸假設(shè)(幾何分布),那么,.4.掌握抽樣的三種方法：⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(包括抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法)；⑵(理)系統(tǒng)抽樣,也叫等距抽樣；⑶分層抽樣(按比例抽樣),常用于某個(gè)總體由差異明顯的幾局部組成的情形.它們的共同點(diǎn)都是等概率抽樣.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念中,“每次抽取時(shí)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等〞.如從含有個(gè)個(gè)體的總體中,采用隨機(jī)抽樣法,抽取個(gè)個(gè)體,那么每個(gè)個(gè)體第一次被抽到的概率為,第二次被抽到的概率為,…,故每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為,即每個(gè)個(gè)體入樣的概率為.5.總體分布的估計(jì)：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)根本思想方法,一般地,樣本容量越大,這種估計(jì)就越精確,要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖；⑴學(xué)會(huì)用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)；⑵會(huì)用樣本方差去估計(jì)總體方差及總體標(biāo)準(zhǔn)差；⑶學(xué)會(huì)用修正的樣本方差去估計(jì)總體方差,會(huì)用去估計(jì).6.正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：,式中是參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；7.正態(tài)曲線的性質(zhì)：⑴曲線在時(shí)處于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左、向右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降低；⑵曲線的對(duì)稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定,越大,曲線越矮胖；反過(guò)來(lái)曲線越高瘦.⑶曲線在軸上方，并且關(guān)于直線x=對(duì)稱；8.利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)數(shù)值表計(jì)算一般正態(tài)分布的概率,可由變換而得,于是有.9.假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想：⑴提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，確定隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；⑵確定一次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍；⑶作出推斷：如果,接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)；如果,由于這是小概率事件,就拒絕假設(shè).十二.極限1.與自然數(shù)有關(guān)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明(注意步驟,兩步缺一不可).2.數(shù)列極限：⑴掌握數(shù)列極限的運(yùn)算法那么,注意其適用條件：一是數(shù)列,的極限都存在；二是僅適用于有限個(gè)數(shù)列的和、差、積、商,對(duì)于無(wú)限個(gè)數(shù)列的和(或積),應(yīng)先求和(或積),再求極限.⑵常用的幾個(gè)數(shù)列極限：(為常數(shù))；,(,為常數(shù)).⑶無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式().3.函數(shù)的極限：⑴當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的極限為.⑵當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限為.⑶掌握函數(shù)極限的四那么運(yùn)算法那么.4.函數(shù)的連續(xù)性：⑴如果對(duì)函數(shù)在點(diǎn)處及其附近有定義,且有,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)；⑵假設(shè)與都在點(diǎn)處連續(xù)，那么,,也在點(diǎn)處連續(xù)；⑶假設(shè)在點(diǎn)處連續(xù),且在處連續(xù),那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處也連續(xù).十三.導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的定義：在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記作.2.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),那么函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),但是在點(diǎn)處連續(xù)卻不一定可導(dǎo).3.函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),那么的曲線在該點(diǎn)處必有切線,且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率.但函數(shù)的曲線在點(diǎn)處有切線,那么在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo).如在有切線,但不可導(dǎo).4.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線在點(diǎn)處切線的斜率,即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是,切線方程為.5.常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(為常數(shù))；.；；；；.6.導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么：；；.7.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.8.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,那么為增函數(shù)；如果,那么為減函數(shù)；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,那么為常數(shù)；(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①求導(dǎo)數(shù)；②求方程的根；③檢驗(yàn)在方程根的左右的符號(hào)，如果左正右負(fù),那么函數(shù)在這個(gè)根處取得最大值；如果左負(fù)