北師大版七年級數(shù)學下冊-習題課件-第二章 相交線與平行線-1兩條直線的位置關系

第二章 相交線與平行線第二章 相交線與平行線1兩條直線的位置關系1兩條直線的位置關系知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一

兩條直線的位置關系在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.若兩條直線只有一個公共點,我們稱這兩條直線為相交線.在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.名師解讀

1.兩條直線相交只能有一個交點(如果有兩個公共點時,根據(jù)“兩點確定一條直線”是一條直線),因此,兩條直線在同一平面內(nèi)的位置關系只有兩種:相交和平行.2.通過平行線的概念,可以知道它的三個特征:(1)兩條直線必須在同一平面內(nèi),在空間中就存在不相交也不平行的兩條直線;(2)必須是直線,不能說“在同一平面內(nèi),不相交的兩條線段或射線”是平行線,而線段或射線平行都是指它們所在的直線平行;(3)必須是不相交的直線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一兩知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點二

對頂角及其性質(zhì)概念:如果兩個角有公共頂點,且它們的兩邊互為反向延長線,這樣的兩個角叫做對頂角.性質(zhì):對頂角相等.名師解讀

要判斷兩個角是否為對頂角必須具備兩個條件:(1)有公共頂點;(2)兩個角的兩條邊互為反向延長線,這兩個條件缺一不可.不能錯誤地認為“頂點對頂點”的兩個角就是對頂角.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點二對知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點三

互為補角和互為余角及其性質(zhì)概念:如果兩個角的和等于180°,那么稱這兩個角互為補角.如果兩個角的和為90°,那么稱這兩個角互為余角.性質(zhì):同角或等角的補角相等,同角或等角的余角相等.名師解讀

1.理解互為補角(余角)的定義要注意下列三個條件:(1)互為補角(余角)指兩個角之間的關系;(2)兩個角相加等于180°(90°);(3)只與角的度數(shù)有關,與角的位置無關.2.理解性質(zhì):(1)如果∠1和∠2都是∠3的余角(或補角),那么∠1=∠2;(2)如果∠1和∠2分別是∠3和∠4的余角(或補角),且∠3=∠4,那么∠1=∠2.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點三互知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點四

垂線的概念及畫法定義:兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足.兩條直線互相垂直通常用“⊥”表示垂直.如圖,直線AB與直線CD垂直,可記作為AB⊥CD,如果用l,m表示這兩條直線,記作l⊥m,點O為垂足.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點四垂知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六畫法:畫垂線可以借助于手中的工具尺,常用的有兩種方法:(1)用三角板畫垂線:利用三角尺畫垂線的基本要點是“一靠、二過、三畫”,即用三角板畫一條直線的垂線的一般步驟,第一步,把三角尺的一條直角邊靠在已知直線上;第二步,使三角尺的另一條直角邊經(jīng)過已知點;第三步,沿已知點所在的直角邊畫出直線,如圖1.(2)用量角器畫垂線:用量角器畫一條直線的垂線如圖2.另外,還可利用方格紙、折紙等畫一條直線的垂線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六畫法:畫垂線知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六名師解讀

理解垂直這一概念,應注意如下兩點:(1)兩條直線互相垂直是兩條直線相交的特殊情況,它們所成的角為直角;(2)線段與線段、線段與射線、射線與射線垂直時,均指它們所在的直線互相垂直;(3)垂直的概念具有雙重性,一方面由直角可以得到兩條直線垂直,另一方面由兩條直線垂直可以得到直角;(4)兩條直線垂直并不局限于兩條直線鉛直和水平的情況.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六名師解讀理知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例1

如圖所示,OA⊥OB,OC⊥OD,OE為∠BOD的平分線,∠BOE=18°,求∠AOC的度數(shù).分析根據(jù)OE為∠BOD的平分線,∠BOE=18°,求出∠BOD的度數(shù),再根據(jù)垂直定義求出∠AOB=∠COD=90°,根據(jù)周角等于360°,即可求出∠AOC的度數(shù).解:因為OE為∠BOD的平分線,∠BOE=18°,所以∠BOD=18°×2=36°.又因為OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°.所以∠AOC=360°-90°-90°-36°=144°.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例1如圖所知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點五

垂線的性質(zhì)1.平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.2.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短.可以簡單說成:垂線段最短.名師解讀

理解性質(zhì)1時注意:(1)已知直線是給定的;(2)要畫的這條垂直于已知直線的直線必須要過一個點,不論這個點在直線上還是在直線外;(3)這樣的直線能畫出一條而且只能畫出一條.注意垂線與垂線段的區(qū)別與聯(lián)系:垂線是直線,不能比較大小和度量,垂線段是線段,可以度量.垂線和垂線段都是幾何圖形,垂線上一點與垂足之間的線段叫做垂線段,且垂線段是垂線的一部分.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點五垂知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點六

點到直線的距離從直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離.名師解讀

(1)垂線段是一條線段,是圖形.點到直線的距離是垂線段的長度,是一個數(shù)量,它表示的是一個有單位的長度,不是圖形,不能認為點到直線的距離就是垂線段;(2)測量點到直線的距離的方法:①畫出點到直線的垂線段;②量出這條垂線段的長度.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點六點知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例2

(2017·山東濱州惠民月考)如圖所示,AC⊥BC于點C,CD⊥AB于點D,圖中能表示點到直線(或線段)的距離的線段有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.5條解析:本題圖形中共有6條線段,即AC,BC,CD,AD,BD,AB,其中線段AB的兩個端點沒有垂足,不能表示點到直線的距離,其他的都可以.AC是點A到直線BC的距離,BC是點B到直線AC的距離,CD是點C到直線AB的距離,AD是點A到直線CD的距離,BD是點B到直線CD的距離.答案:D知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例2(20知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一

利用對頂角求角的度數(shù)例1

已知如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點O,∠1∶∠3=3∶1,∠2=20°,求∠DOE的度數(shù).分析根據(jù)∠1∶∠3=3∶1設出∠1與∠3,再根據(jù)∠1,∠2,∠3的和等于180°列式求出∠1的度數(shù),然后再求出∠1與∠2的和,再根據(jù)對頂角相等求解即可.解:因為∠1∶∠3=3∶1,則可設∠1=3k,∠3=k,所以3k+20°+k=180°,解得k=40°.則∠1=3k=120°.所以∠COF=∠1+∠2=120°+20°=140°.所以∠DOE=∠COF=140°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一利用對頂角求角的度拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點二

利用余角和補角求角的度數(shù)例2

(2017·安徽宿州埇橋區(qū)期中)一個角的補角是它的余角的4倍少15°,求這個角的度數(shù).分析設這個角為x°,根據(jù)互為余角的兩個角的和等于90°表示出它的余角,互為補角的兩個角的和等于180°表示出它的補角,然后列出方程求解即可.解:設這個角為x°,由題意,得180-x=4(90-x)-15,解得x=55.答:這個角的度數(shù)為55°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點二利用余角和補角求角拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點三

與垂直有關的綜合題例3

在方格紙(每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形)中,我們把每個小正方形的頂點稱為格點,已知O,A,B都是方格紙上的格點.(1)畫線段OA和直線OB;(2)過O點畫AB的垂線,垂足為D;(3)求三角形ABO的面積.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點三與垂直有關的綜合題拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析根據(jù)直線、線段、垂線的概念,利用作圖工具即可解答(1)(2),根據(jù)三角形的面積公式,即可解答(3).解:(1)如圖所示.(2)如圖所示.(3)由圖可知AB=4,OD=3,根據(jù)三角形面積公式,得三角形AOB的面積為4×3÷2=6.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析根據(jù)直線、線段、垂線的概拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點四

與角有關的綜合題例4

已知:O為直線AB上的一點,OC⊥OE于點O,射線OF平分∠AOE.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點四與角有關的綜合題拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(1)如圖1,判斷∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關系?并說明理由.(2)若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,試問(1)中∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請你加以證明;若發(fā)生變化,請你說明理由.(3)若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,繼續(xù)探究∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關系,并加以證明.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(1)如圖1,判斷∠COF和拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析(1)根據(jù)垂直定義可得∠COE=90°,再根據(jù)角的和差關系可得∠BOE=90°-∠AOC,∠COF=

,進而得到∠BOE=2∠COF;(2)不發(fā)生變化,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOF=2∠AOE,再根據(jù)角的和差關系可得∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF,進而可得答案;(3)首先表示出∠COF=90°+∠EOF,再表示∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF,進而得到∠BOE+2∠COF=360°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析(1)根據(jù)垂直定義可得∠拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四解:(1)因為OC⊥OE,所以∠COE=90°.所以∠BOE=90°-∠AOC,∠COF所以∠BOE=2∠COF.(2)不發(fā)生變化.證明如下:因為射線OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因為∠COE=90°,所以∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF=2(90°-∠EOF).所以∠BOE=2∠COF.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四解:(1)因為OC⊥OE,所拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(3)∠BOE+2∠COF=360°.理由:因為射線OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因為∠COE=90°,所以∠COF=90°+∠EOF.所以2∠COF=180°+2∠EOF,∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF.所以∠BOE+2∠COF=360°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(3)∠BOE+2∠COF=拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四P38問題答案:還有∠3與∠4也構成對頂角.P39想一想答案:∠1+∠3=180°.P39問題答案:還有∠3與∠2,∠2與∠4,∠4與∠1也互為補角.P39做一做答案:(1)∠AOD與∠AOC互為補角,∠BOC與∠BOD互為補角,∠DON與∠CON互為補角,∠AOC與∠BOC互為補角,∠BOD與∠AOD互為補角;∠1與∠3互為余角,∠2與∠4互為余角,∠1與∠4互為余角,∠2與∠3互為余角.(2)∠3=∠4.因為∠1=∠2,∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,所以∠3=∠4.(3)∠AOC=∠BOD.因為∠1=∠2,∠AOC=∠2+∠3+∠4,∠BOD=∠1+∠3+∠4,所以∠AOC=∠BOD.P38問題P41想一想答案:(1)如圖所示,無論點A在直線l上,還是在直線l外,過點A畫直線l的垂線只能畫一條.(2)PA>PC>PB>PO.發(fā)現(xiàn):直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短.P42議一議答案:從距離踏板較近的腳的腳后跟向踏板作垂線,測量垂線段的長度.道理:直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短,這條垂線段的長度叫點到直線的距離.P39隨堂練習解:40°,根據(jù)對頂角相等.P41想一想P40習題2.1知識技能1.解:因為∠1+∠2=180°,∠1=38°,所以∠2=180°-∠1=180°-38°=142°,所以∠3=∠1=38°(對頂角相等),∠4=∠2=142°(對頂角相等).數(shù)學理解2.解:可以都是直角,但不能全是銳角或鈍角.問題解決3.解:∠1=32°.理由:由∠2=∠3,可得出∠3=58°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,可得出∠1=90°-∠3=32°.P40習題2.14.解:如圖所示,由題意知,∠AOB=30°,∠AOB+∠AOC=90°,所以∠AOC=60°,而∠COD+∠AOC=180°,所以∠COD=180°-∠AOC=180°-60°=120°.故樹干與山坡所成的角有兩個,分別是60°,120°.聯(lián)系拓廣5.解:∠1與∠2不是對頂角,因為∠1有一邊的反向延長線不是∠2的一邊.4.解:如圖所示,由題意知,∠AOB=30°,P43隨堂練習1.解:如圖所示.2.(1)OD⊥OB,AO⊥OC;(2)BE⊥AC,BC⊥AC,BC⊥CD,CE⊥AC,CE⊥CD,BE⊥CD.P43習題2.2知識技能1.“十”字路口等等.2.解:互相平行的有:東二環(huán)、東三環(huán)、東四環(huán)三條街道;東直門外大街與建國門外大街.互相垂直的有:東二環(huán)與東直門外大街,東三環(huán)與東直門外大街,東四環(huán)與東直門外大街,東二環(huán)與建國門外大街,東三環(huán)與建國門外大街,東四環(huán)與建國門外大街.P43隨堂練習問題解決3.解:如圖所示.過點C畫渠岸AB的垂線,垂足為點D.在點D處開溝能使溝最短.因為直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短.問題解決第二章 相交線與平行線第二章 相交線與平行線1兩條直線的位置關系1兩條直線的位置關系知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一

兩條直線的位置關系在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.若兩條直線只有一個公共點,我們稱這兩條直線為相交線.在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.名師解讀

1.兩條直線相交只能有一個交點(如果有兩個公共點時,根據(jù)“兩點確定一條直線”是一條直線),因此,兩條直線在同一平面內(nèi)的位置關系只有兩種:相交和平行.2.通過平行線的概念,可以知道它的三個特征:(1)兩條直線必須在同一平面內(nèi),在空間中就存在不相交也不平行的兩條直線;(2)必須是直線,不能說“在同一平面內(nèi),不相交的兩條線段或射線”是平行線,而線段或射線平行都是指它們所在的直線平行;(3)必須是不相交的直線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一兩知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點二

對頂角及其性質(zhì)概念:如果兩個角有公共頂點,且它們的兩邊互為反向延長線,這樣的兩個角叫做對頂角.性質(zhì):對頂角相等.名師解讀

要判斷兩個角是否為對頂角必須具備兩個條件:(1)有公共頂點;(2)兩個角的兩條邊互為反向延長線,這兩個條件缺一不可.不能錯誤地認為“頂點對頂點”的兩個角就是對頂角.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點二對知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點三

互為補角和互為余角及其性質(zhì)概念:如果兩個角的和等于180°,那么稱這兩個角互為補角.如果兩個角的和為90°,那么稱這兩個角互為余角.性質(zhì):同角或等角的補角相等,同角或等角的余角相等.名師解讀

1.理解互為補角(余角)的定義要注意下列三個條件:(1)互為補角(余角)指兩個角之間的關系;(2)兩個角相加等于180°(90°);(3)只與角的度數(shù)有關,與角的位置無關.2.理解性質(zhì):(1)如果∠1和∠2都是∠3的余角(或補角),那么∠1=∠2;(2)如果∠1和∠2分別是∠3和∠4的余角(或補角),且∠3=∠4,那么∠1=∠2.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點三互知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點四

垂線的概念及畫法定義:兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足.兩條直線互相垂直通常用“⊥”表示垂直.如圖,直線AB與直線CD垂直,可記作為AB⊥CD,如果用l,m表示這兩條直線,記作l⊥m,點O為垂足.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點四垂知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六畫法:畫垂線可以借助于手中的工具尺,常用的有兩種方法:(1)用三角板畫垂線:利用三角尺畫垂線的基本要點是“一靠、二過、三畫”,即用三角板畫一條直線的垂線的一般步驟,第一步,把三角尺的一條直角邊靠在已知直線上;第二步,使三角尺的另一條直角邊經(jīng)過已知點;第三步,沿已知點所在的直角邊畫出直線,如圖1.(2)用量角器畫垂線:用量角器畫一條直線的垂線如圖2.另外,還可利用方格紙、折紙等畫一條直線的垂線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六畫法:畫垂線知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六名師解讀

理解垂直這一概念,應注意如下兩點:(1)兩條直線互相垂直是兩條直線相交的特殊情況,它們所成的角為直角;(2)線段與線段、線段與射線、射線與射線垂直時,均指它們所在的直線互相垂直;(3)垂直的概念具有雙重性,一方面由直角可以得到兩條直線垂直,另一方面由兩條直線垂直可以得到直角;(4)兩條直線垂直并不局限于兩條直線鉛直和水平的情況.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六名師解讀理知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例1

如圖所示,OA⊥OB,OC⊥OD,OE為∠BOD的平分線,∠BOE=18°,求∠AOC的度數(shù).分析根據(jù)OE為∠BOD的平分線,∠BOE=18°,求出∠BOD的度數(shù),再根據(jù)垂直定義求出∠AOB=∠COD=90°,根據(jù)周角等于360°,即可求出∠AOC的度數(shù).解:因為OE為∠BOD的平分線,∠BOE=18°,所以∠BOD=18°×2=36°.又因為OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°.所以∠AOC=360°-90°-90°-36°=144°.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例1如圖所知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點五

垂線的性質(zhì)1.平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.2.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短.可以簡單說成:垂線段最短.名師解讀

理解性質(zhì)1時注意:(1)已知直線是給定的;(2)要畫的這條垂直于已知直線的直線必須要過一個點,不論這個點在直線上還是在直線外;(3)這樣的直線能畫出一條而且只能畫出一條.注意垂線與垂線段的區(qū)別與聯(lián)系:垂線是直線,不能比較大小和度量,垂線段是線段,可以度量.垂線和垂線段都是幾何圖形,垂線上一點與垂足之間的線段叫做垂線段,且垂線段是垂線的一部分.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點五垂知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點六

點到直線的距離從直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離.名師解讀

(1)垂線段是一條線段,是圖形.點到直線的距離是垂線段的長度,是一個數(shù)量,它表示的是一個有單位的長度,不是圖形,不能認為點到直線的距離就是垂線段;(2)測量點到直線的距離的方法:①畫出點到直線的垂線段;②量出這條垂線段的長度.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點六點知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例2

(2017·山東濱州惠民月考)如圖所示,AC⊥BC于點C,CD⊥AB于點D,圖中能表示點到直線(或線段)的距離的線段有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.5條解析:本題圖形中共有6條線段,即AC,BC,CD,AD,BD,AB,其中線段AB的兩個端點沒有垂足,不能表示點到直線的距離,其他的都可以.AC是點A到直線BC的距離,BC是點B到直線AC的距離,CD是點C到直線AB的距離,AD是點A到直線CD的距離,BD是點B到直線CD的距離.答案:D知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六例2(20知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點六拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一

利用對頂角求角的度數(shù)例1

已知如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點O,∠1∶∠3=3∶1,∠2=20°,求∠DOE的度數(shù).分析根據(jù)∠1∶∠3=3∶1設出∠1與∠3,再根據(jù)∠1,∠2,∠3的和等于180°列式求出∠1的度數(shù),然后再求出∠1與∠2的和,再根據(jù)對頂角相等求解即可.解:因為∠1∶∠3=3∶1,則可設∠1=3k,∠3=k,所以3k+20°+k=180°,解得k=40°.則∠1=3k=120°.所以∠COF=∠1+∠2=120°+20°=140°.所以∠DOE=∠COF=140°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一利用對頂角求角的度拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點二

利用余角和補角求角的度數(shù)例2

(2017·安徽宿州埇橋區(qū)期中)一個角的補角是它的余角的4倍少15°,求這個角的度數(shù).分析設這個角為x°,根據(jù)互為余角的兩個角的和等于90°表示出它的余角,互為補角的兩個角的和等于180°表示出它的補角,然后列出方程求解即可.解:設這個角為x°,由題意,得180-x=4(90-x)-15,解得x=55.答:這個角的度數(shù)為55°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點二利用余角和補角求角拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點三

與垂直有關的綜合題例3

在方格紙(每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形)中,我們把每個小正方形的頂點稱為格點,已知O,A,B都是方格紙上的格點.(1)畫線段OA和直線OB;(2)過O點畫AB的垂線,垂足為D;(3)求三角形ABO的面積.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點三與垂直有關的綜合題拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析根據(jù)直線、線段、垂線的概念,利用作圖工具即可解答(1)(2),根據(jù)三角形的面積公式,即可解答(3).解:(1)如圖所示.(2)如圖所示.(3)由圖可知AB=4,OD=3,根據(jù)三角形面積公式,得三角形AOB的面積為4×3÷2=6.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析根據(jù)直線、線段、垂線的概拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點四

與角有關的綜合題例4

已知:O為直線AB上的一點,OC⊥OE于點O,射線OF平分∠AOE.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點四與角有關的綜合題拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(1)如圖1,判斷∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關系?并說明理由.(2)若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,試問(1)中∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請你加以證明;若發(fā)生變化,請你說明理由.(3)若將∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,繼續(xù)探究∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關系,并加以證明.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(1)如圖1,判斷∠COF和拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析(1)根據(jù)垂直定義可得∠COE=90°,再根據(jù)角的和差關系可得∠BOE=90°-∠AOC,∠COF=

,進而得到∠BOE=2∠COF;(2)不發(fā)生變化,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOF=2∠AOE,再根據(jù)角的和差關系可得∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF,進而可得答案;(3)首先表示出∠COF=90°+∠EOF,再表示∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF,進而得到∠BOE+2∠COF=360°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析(1)根據(jù)垂直定義可得∠拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四解:(1)因為OC⊥OE,所以∠COE=90°.所以∠BOE=90°-∠AOC,∠COF所以∠BOE=2∠COF.(2)不發(fā)生變化.證明如下:因為射線OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因為∠COE=90°,所以∠COF=90°-∠EOF,∠BOE=180°-2∠EOF=2(90°-∠EOF).所以∠BOE=2∠COF.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四解:(1)因為OC⊥OE,所拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(3)∠BOE+2∠COF=360°.理由:因為射線OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF.因為∠COE=90°,所以∠COF=90°+∠EOF.所以2∠COF=180°+2∠EOF,∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF.所以∠BOE+2∠COF=360°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四(3)∠BOE+2∠COF=拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四P38問題答案:還有∠3與∠4也構成對頂角.P39想一想答案:∠1+∠3=180°.P39問題答案:還有∠3與∠2,∠2與∠4,∠4與∠1也互為補角.P39做一做答案:(1)∠AOD與∠AOC互為補角