ch05-DT系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)信號處理課件

第5章離散時間系統(tǒng)的相位、 結(jié)構(gòu)與逆系統(tǒng)5.1離散時間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)；5.2FIR系統(tǒng)的線性相位；5.3具有線性相位系統(tǒng)的零點分布；5.4全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)；5.5譜分解；5.6FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；5.7離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)；5.8逆系統(tǒng)5.9MATLAB文件第5章離散時間系統(tǒng)的相位、 結(jié)構(gòu)與逆系統(tǒng)5.115.1離散時間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)如果：我們稱其為線性相位。若：也稱線性相位5.1離散時間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)如果：我們稱其為線性2對輸入，有假定：所以：輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于因此不會發(fā)生失真。對輸入，有假定：所以：輸出是輸入的簡單移位3例：令則：沒有發(fā)生相位失真具有線性相位例：令則：沒有發(fā)生相位失真具有線性相位4例：令若：則：發(fā)生了相位失真例：令若：則：發(fā)生了相位失真5ch05_DT系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)信號處理課件6如果令：再令：則：則：由于：如果令：再令：則：則：由于：7定義：如果系統(tǒng)的相頻響應(yīng)不是線性的，那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸入信號作線性移位后的組合，因此，輸出將發(fā)生失真。定義：為系統(tǒng)的群延遲(GroupDelay,GD)為系統(tǒng)的相位延遲(PhaseDelay,PD)定義：如果系統(tǒng)的相頻響應(yīng)不是線性的，那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸8顯然，若系統(tǒng)具有線性相位，則其GD為常數(shù)。若：則：即：相位延遲反映了載波信號的延遲，而群延遲反映了輸出包絡(luò)的延遲。思考：如何實現(xiàn)對信號的零相位濾波？若 要保證系統(tǒng)是因果的，又如何實現(xiàn)？？顯然，若系統(tǒng)具有線性相位，則其GD為常數(shù)。若：則：即：相位延95.2FIR系統(tǒng)的線性相位在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統(tǒng)具有線性相位，但是，如何實現(xiàn)線性相位？對FIR系統(tǒng)，如果保證：則該系統(tǒng)具有線性相位。5.2FIR系統(tǒng)的線性相位在絕大部分信10上述對稱有四種情況：第一類FIR系統(tǒng)偶對稱奇對稱第二類FIR系統(tǒng)上述對稱有四種情況：第一類FIR系統(tǒng)偶對稱奇對稱第二類111.為奇數(shù)令：并利用的對稱性，有第一類FIR系統(tǒng)1.為奇數(shù)令：并利用12令：令：實數(shù)令：令：實數(shù)13最后有：相位增益所以，只要保證濾波器的系數(shù)偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。最后有：相位所以，只要保證濾波器的系數(shù)偶對142.為偶數(shù)令：則：2.為偶數(shù)令：則：15第二類FIR系統(tǒng)：3.為奇數(shù)第二類FIR系統(tǒng)：3.為奇數(shù)164.為偶數(shù)請掌握四種情況下線性相位表達式的推導(dǎo)方法。4.為偶數(shù)請掌握四種情況下線性相位表達式的推導(dǎo)方法17的線性組合，在時，易取得最大值，因此這一類濾波器易體現(xiàn)低通特性，且是偶函數(shù)。通過頻率移位，又可體現(xiàn)高通、帶通、帶阻特性。所以，經(jīng)典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的都是偶對稱的。說明：第一類FIR系統(tǒng)是的線性組合，在時，18的線性組合，在時，的值為零，且是奇函數(shù)。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如Hilbert變換器、差分器等。第二類FIR系統(tǒng)是最好取為奇數(shù)，以便以中心點為對稱。思考：四類濾波器的對稱點在何處？的線性組合，在時，195.3具有線性相位系統(tǒng)的零點分布所以，的零點也是的零點,反之亦然令：則：5.3具有線性相位系統(tǒng)的零點分布所以，的零20的零點分布:零點分布可能有四種情況：不在實軸也不在圓上，應(yīng)是一對共軛零點，模<1;不在實軸，但在圓上，也是一對共軛零點；模＝1；在實軸但不在圓上，無共軛，角度＝0，模<1;在實軸，但在圓上，無共軛，角度＝0，模＝1;的零點分布:零點分布可能21

四個零點同時存在,構(gòu)成四階系統(tǒng).在單位圓內(nèi)把該式展開，其系數(shù)也是對稱的，是具有線性相位的子系統(tǒng)。四個零點同時存在,構(gòu)成四階系統(tǒng).在單位圓內(nèi)把該式展開22無共軛零點,有鏡象零點無鏡象對稱零點,有共軛零點.無共軛零點,有鏡象零點無鏡象對稱零點,有共軛零點.23一個具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四類FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)，即：很容易證明，每一個子系統(tǒng)的系數(shù)都是對稱的，因此它們都具有線性相位。無鏡象零點,也無共軛零點.一個具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四類245.4全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)對所有的頻率都等于1(或一個常數(shù)),即則稱系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。最簡單的全通系統(tǒng)，純延遲全通系統(tǒng)5.4全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)25一階全通系統(tǒng)：鏡像對稱一階全通系統(tǒng)：鏡像對稱26二階全通系統(tǒng)：一對位于單位圓內(nèi)的共軛極點，一對共軛零點和極點以單位圓為鏡像對稱。高階全通系統(tǒng)：二階全通系統(tǒng)：一對位于單位圓內(nèi)的共軛極點，一對共軛零點和極27高階全通系統(tǒng)的另一種表示形式：即：對該全通系統(tǒng)，請自己證明：高階全通系統(tǒng)的另一種表示形式：即：對該全通系統(tǒng)，請自己證明：281.

是IIR系統(tǒng)(不考慮純延遲形式）；2.極點數(shù)和零點數(shù)相等；3.極點和零點是以單位圓鏡像對稱的；4.極點都在單位圓內(nèi),零點都在單位圓外；5.全通系統(tǒng)的群延遲始終為正值。全通系統(tǒng)的特點：1.

是IIR系統(tǒng)(不考慮純延遲形式）；全通系統(tǒng)的29IIR系統(tǒng)的無限長，無法對稱，即無法作到線性相位。在實際中，可以用一個全通系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)相級聯(lián)，在不改變幅頻響應(yīng)的情況下對相頻響應(yīng)做矯正，使其接近線性相位。全通系統(tǒng)的應(yīng)用：全通系統(tǒng)還廣泛應(yīng)用在系統(tǒng)分析及一些特殊濾波器的設(shè)計方面（如功率互補IIR濾波器組）IIR系統(tǒng)的無限長，無法對稱，即無法作全30一階全通系統(tǒng)極－零圖幅頻相頻抽樣響應(yīng)一階全通系統(tǒng)極－零圖幅頻相頻31三階全通系統(tǒng)三階全通系統(tǒng)32一個離散系統(tǒng)，其極點必須在單位圓內(nèi)，但對零點沒有限制，如果：所有的零點都在單位圓內(nèi)：最小相位系統(tǒng)；2.所有的零點都在單位圓外：最大相位系統(tǒng)；3.單位圓內(nèi)、外都有零點：混合相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)一個離散系統(tǒng)，其極點必須在單位圓內(nèi)，所有的零33在具有相同幅頻響應(yīng)的因果的穩(wěn)定的濾波器集合中,最小相位濾波器具有最小的相位偏移；最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)：例：作為作業(yè)，請證明如下兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)：那一個是最小相位系統(tǒng)？在具有相同幅頻響應(yīng)的因果的穩(wěn)定的濾波器最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)：例34幅頻相頻幅頻相頻35在所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散系統(tǒng)中,最小相位系統(tǒng)的具有最小的延遲；令：累計能量有：所以，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)又稱最小延遲序列。思考：具有線性相位的FIR系統(tǒng)是否是最小相位系統(tǒng)？在所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散系統(tǒng)中,最令：累計能量有：所以36例.三個系統(tǒng)：它們具有相同的幅頻響應(yīng)，試判斷，那一個是最小相位系統(tǒng)？最大相位系統(tǒng)？混合相位系統(tǒng)？請注意：為保證系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)（相同的定標(biāo)），的表達式。例.三個系統(tǒng)：它們具有相同的幅頻響應(yīng)，試判斷，那一個是最37ch05_DT系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)信號處理課件383.設(shè)為最小相位系統(tǒng)令：構(gòu)成一對Hilbert變換則：和復(fù)倒譜：Cepstrum3.設(shè)為最小相位系統(tǒng)令：構(gòu)成一對H39對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)其是最小相位系統(tǒng)時,該系統(tǒng)才有逆系統(tǒng)（InverseSystem)。令：記：的逆系統(tǒng)Deconvolution(反卷積）Systemidentification(系統(tǒng)辨識）對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)其是最小相位令：記：405.任一非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可由一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)級聯(lián)而成,即：由于最小相位系統(tǒng)有著以上特殊的性質(zhì)，因此有著廣泛的應(yīng)用，特別是在信號的建模與系統(tǒng)辨識方面。要理解，具有相同幅頻響應(yīng)的系統(tǒng)，它們所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)可以是不相同的，區(qū)別就在于相位（或零點的位置）。那么，如何由一個最小相位系統(tǒng)得到具有相同幅頻響應(yīng)的最大相位、混合相位系統(tǒng)？5.任一非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可由一個最小相位415.5譜分解（Spectralfactorization)令：顯然，具有線性相位。將一個轉(zhuǎn)移函數(shù)的極－零點重新分配，得到兩個轉(zhuǎn)移函數(shù)，這一過程（或方法）就稱為“譜分解”。最常用的是將具有線性相位系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)作分解，并且往往是分解成兩個具有相同幅頻響應(yīng)的子系統(tǒng)。5.5譜分解（Spectralfactorizatio42={1.0000，4.0500，8.1000，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，14.9956，8.1000，4.0500，1.0000}例.令顯然，該系統(tǒng)具有線性相位，共有12個零點：={1.0000，4.0500，8.1000，14.9943下圖是對作譜分解的結(jié)果，可以看出，分解后的兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)。譜分解的目的是想得到因果的、符合某種要求的系統(tǒng)，這在信號建模、特殊濾波器的設(shè)計中經(jīng)常要用到。分解的一般方法是：令一個系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)；則另一個系統(tǒng)必然是最大相位系統(tǒng)。這樣，兩個系統(tǒng)都有著相同的幅頻響應(yīng)。另外一種分解方法是得到兩個混合系統(tǒng)，目的是保證它們都具有線性相位。下圖是對作譜分解的結(jié)果，可44ch05_DT系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)信號處理課件455.6FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)直接實現(xiàn):一、直接實現(xiàn)和級聯(lián)實現(xiàn)5.6FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)直接實現(xiàn):一、直接實現(xiàn)和級聯(lián)實46級聯(lián)實現(xiàn):級聯(lián)實現(xiàn):47乘法量減少一半二、具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)乘法量減少一半二、具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)48FIR系統(tǒng)該系統(tǒng)實際上是一個N點平均器。IIR系統(tǒng)？三、FIR系統(tǒng)的遞歸實現(xiàn)及梳狀濾波器FIR系統(tǒng)該系統(tǒng)實際上是一個N點平均器。IIR系統(tǒng)？三、49該系統(tǒng)可由一FIR系統(tǒng)和一個一階IIR系統(tǒng)級聯(lián)而成，極－零點抵消后，仍是一FIR系統(tǒng)。令I(lǐng)IR實現(xiàn)該系統(tǒng)可由一FIR系統(tǒng)和一個一階IIR系統(tǒng)級聯(lián)而成，極－零點50梳狀濾波器N點平均器梳狀濾波器N點平均器51思路：用DFT系數(shù)表示系統(tǒng)函數(shù)四、頻率抽樣實現(xiàn)思路：用DFT系數(shù)表示系統(tǒng)函數(shù)四、頻率52令：梳狀濾波器N個一階IIR系統(tǒng)則：可按上述級聯(lián)方式得到系統(tǒng)的信號流圖：令：梳狀濾波器N個一階IIR系統(tǒng)則：可按上述級聯(lián)方式得到系統(tǒng)53該結(jié)構(gòu)一方面反映了Z變換、DTFT、DFT之間的關(guān)系，另一方面，給出了FIR濾波器設(shè)計的一種有效方法。該結(jié)構(gòu)一方面反映了Z變換、DTFT、DFT之間的關(guān)系，另545.7離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)Lattice結(jié)構(gòu)又稱“格形”結(jié)構(gòu)，是一種非常新穎、有特色的結(jié)構(gòu)，在基于模型的功率譜估計、語音信號處理、自適應(yīng)濾波方面有著重要的應(yīng)用。對一個FIR系統(tǒng)，其Lattice結(jié)構(gòu)是：5.7離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)Lattice55反射系數(shù)Lattice結(jié)構(gòu)的基本單元1.全零點系統(tǒng)(FIR)的Lattice結(jié)構(gòu)反射系數(shù)Lattice結(jié)構(gòu)的基本單元1.全零點系統(tǒng)(FI56如何實現(xiàn)濾波器系數(shù)和的相互轉(zhuǎn)換？定義：Lattice結(jié)構(gòu)中的基本關(guān)系如何實現(xiàn)濾波器系數(shù)和的相互轉(zhuǎn)換？定義：Lat57：是Lattice結(jié)構(gòu)中第m個上、下結(jié)點相對輸入端的轉(zhuǎn)移函數(shù)。得到由低階倒高階，或由高到低的遞推關(guān)系。：是Lattice結(jié)構(gòu)中第m個上、下結(jié)點相對輸入端的轉(zhuǎn)58得到時域遞推關(guān)系：低到高階高到低階MATLAB中有相應(yīng)的m文件。得到時域遞推關(guān)系：低到高階高到低階MATLAB中有相應(yīng)的m59例：例：60看作是FIR系統(tǒng)的逆形式。2.全極點系統(tǒng)(IIR)的Lattice結(jié)構(gòu)看作是FIR系統(tǒng)的逆形式。2.全極點系統(tǒng)(IIR)的Lat61基本單元逆形式基本單元逆形式62的求解方式同F(xiàn)IR系統(tǒng)Lattice結(jié)構(gòu)的計算方法,只是將多項式的系數(shù)換成.

系數(shù)及注意：在遞推求解的過程中，反射系數(shù)有關(guān)反射系數(shù)的更多討論見第12章信號建模。的求解方式同F(xiàn)IR系統(tǒng)Lattice結(jié)構(gòu)的計算方系數(shù)及注意：633.極－零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)3.極－零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)64上半部對應(yīng)全極系統(tǒng)下半部對應(yīng)全零系統(tǒng)兩組Lattice系數(shù)求出同全極系統(tǒng)；遞推求解上半部對應(yīng)全極系統(tǒng)兩組Lattice系數(shù)求出同全極系統(tǒng)；遞推655.8離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述描述：差分方程、轉(zhuǎn)移函數(shù)、線性卷積1.LSI系統(tǒng)的狀態(tài)變量與狀態(tài)方程5.8離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述描述：差分方程、轉(zhuǎn)移函數(shù)、線66轉(zhuǎn)移函數(shù)、差分方程、中間變量的關(guān)系轉(zhuǎn)移函數(shù)、差分方程、中間變量的關(guān)系67狀態(tài)變量描述法的特點:“狀態(tài)”指系統(tǒng)內(nèi)一組變量,它包含了系統(tǒng)全部過去的信息,由這一組變量和現(xiàn)在與將來的輸入，可求出現(xiàn)系統(tǒng)現(xiàn)在和將來的全部輸出；2.可用于分析多輸入、多輸出系統(tǒng)；如何選擇狀態(tài)變量？有著不同的方法。方法之一是選擇作為系統(tǒng)的狀態(tài)。狀態(tài)變量描述法的特點:“狀態(tài)”指系統(tǒng)內(nèi)一組變量,它包含了系68定義一組新的變量相互關(guān)系狀態(tài)方程定義一組新的變量相互關(guān)系狀態(tài)方程69輸出方程輸出方程70上述內(nèi)容討論了如何由差分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程。當(dāng)然，反過來也可以。上述內(nèi)容討論了如何由差分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程。當(dāng)然，反過來也可71兩邊取Z變換：2.由狀態(tài)方程求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)兩邊取Z變換：2.由狀態(tài)方程求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)72狀態(tài)方程輸出方程3.由狀態(tài)方程求輸出及單位抽樣響應(yīng)狀態(tài)方程輸出方程3.由狀態(tài)方程求輸出及單位抽樣響應(yīng)73抽樣響應(yīng)為：{零輸入解零狀態(tài)解抽樣響應(yīng)為：{零輸入解零狀態(tài)解74例對系統(tǒng)，當(dāng)時，即是系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，顯然，，該序列稱為Fibonacci序列。試利用狀態(tài)方程求。解：例對系統(tǒng)，解：751．fiftfilt.m本文件實現(xiàn)零相位濾波。其調(diào)用格式是：y=filtfilt(B,A,x)。式中B是的分子多項式，A是分母多項式，x是待濾波信號，y是濾波后的信號。2．grpdelay.m求系統(tǒng)的群延遲。調(diào)用格式 [gdw]=grpdelay(B,A,N),或[gdF]=grpdelay(B,A,N,FS)式中B和A仍是的分子、分母多項式，gd是群延遲，w、F是頻率分點，二者的維數(shù)均為N；FS為抽樣頻率，單位為Hz。5.9與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件1．fiftfilt.m本文件實現(xiàn)零相位濾波。其調(diào)用格式763．tf2latc.m和latc2tf.m：實現(xiàn)轉(zhuǎn)移函數(shù)和Lattice系數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換。tf2latc的調(diào)用格式是：(1)k=tf2latc(b),(2)k=tf2latc(1,a), (3)[k,c]=tf2latc(b,a),其中（1）對應(yīng)全零系統(tǒng)，（2）對應(yīng)全極系統(tǒng)，（3）對應(yīng)極－零系統(tǒng)。latc2tf的調(diào)用格式和tf2latc正好相反。需要說明的是，tf2latc求出的Lattice系數(shù)k和本書求出的k差一個負號，這是由于我們在圖中用的是－k。3．tf2latc.m和latc2tf.m：實現(xiàn)轉(zhuǎn)移函數(shù)和774.latcfilt.m用來實現(xiàn)Lattice結(jié)構(gòu)下的信號濾波。調(diào)用格式是：(1)

[y,g]=latcfilt(k,x)：對應(yīng)全零系統(tǒng)(2)[y,g]=latcfilt(k,1,x)：對應(yīng)全極系統(tǒng)(3)[y,g]=latcfilt(k,c,x)：對應(yīng)極－零系統(tǒng)x是待濾波的信號，y是用Lattice結(jié)構(gòu)作正向濾波的輸出，g是作反向濾波的輸出。若輸入x是 則輸出y是的系數(shù)；g是的系數(shù)。4.latcfilt.m用來實現(xiàn)Lattice結(jié)構(gòu)785.tf2ss.m和ss2tf.m實現(xiàn)轉(zhuǎn)移函數(shù)和相應(yīng)狀態(tài)變量之間的轉(zhuǎn)換。二者的調(diào)用格式分別是：[A,B,C,D]=tf2ss(b,a),[b,a]=ss2tf(A,B,C,D)。式中b,a分別是分子、分母多項式的系數(shù)向量，A,B,C及D的定義見書。6.sos2ss.m實現(xiàn)由轉(zhuǎn)移函數(shù)的二階級聯(lián)形式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)變量表示。調(diào)用格式：[A,B,C,D]=sos2ss(sos,g),A,B,C,D的定義見書。有關(guān)sos和g的說明見2.8節(jié)關(guān)于tf2sos.m的說明。5.tf2ss.m和ss2tf.m實現(xiàn)轉(zhuǎn)移函數(shù)和相79第5章離散時間系統(tǒng)的相位、 結(jié)構(gòu)與逆系統(tǒng)5.1離散時間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)；5.2FIR系統(tǒng)的線性相位；5.3具有線性相位系統(tǒng)的零點分布；5.4全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)；5.5譜分解；5.6FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；5.7離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)；5.8逆系統(tǒng)5.9MATLAB文件第5章離散時間系統(tǒng)的相位、 結(jié)構(gòu)與逆系統(tǒng)5.1805.1離散時間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)如果：我們稱其為線性相位。若：也稱線性相位5.1離散時間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)如果：我們稱其為線性81對輸入，有假定：所以：輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于因此不會發(fā)生失真。對輸入，有假定：所以：輸出是輸入的簡單移位82例：令則：沒有發(fā)生相位失真具有線性相位例：令則：沒有發(fā)生相位失真具有線性相位83例：令若：則：發(fā)生了相位失真例：令若：則：發(fā)生了相位失真84ch05_DT系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)信號處理課件85如果令：再令：則：則：由于：如果令：再令：則：則：由于：86定義：如果系統(tǒng)的相頻響應(yīng)不是線性的，那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸入信號作線性移位后的組合，因此，輸出將發(fā)生失真。定義：為系統(tǒng)的群延遲(GroupDelay,GD)為系統(tǒng)的相位延遲(PhaseDelay,PD)定義：如果系統(tǒng)的相頻響應(yīng)不是線性的，那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸87顯然，若系統(tǒng)具有線性相位，則其GD為常數(shù)。若：則：即：相位延遲反映了載波信號的延遲，而群延遲反映了輸出包絡(luò)的延遲。思考：如何實現(xiàn)對信號的零相位濾波？若 要保證系統(tǒng)是因果的，又如何實現(xiàn)？？顯然，若系統(tǒng)具有線性相位，則其GD為常數(shù)。若：則：即：相位延885.2FIR系統(tǒng)的線性相位在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統(tǒng)具有線性相位，但是，如何實現(xiàn)線性相位？對FIR系統(tǒng)，如果保證：則該系統(tǒng)具有線性相位。5.2FIR系統(tǒng)的線性相位在絕大部分信89上述對稱有四種情況：第一類FIR系統(tǒng)偶對稱奇對稱第二類FIR系統(tǒng)上述對稱有四種情況：第一類FIR系統(tǒng)偶對稱奇對稱第二類901.為奇數(shù)令：并利用的對稱性，有第一類FIR系統(tǒng)1.為奇數(shù)令：并利用91令：令：實數(shù)令：令：實數(shù)92最后有：相位增益所以，只要保證濾波器的系數(shù)偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。最后有：相位所以，只要保證濾波器的系數(shù)偶對932.為偶數(shù)令：則：2.為偶數(shù)令：則：94第二類FIR系統(tǒng)：3.為奇數(shù)第二類FIR系統(tǒng)：3.為奇數(shù)954.為偶數(shù)請掌握四種情況下線性相位表達式的推導(dǎo)方法。4.為偶數(shù)請掌握四種情況下線性相位表達式的推導(dǎo)方法96的線性組合，在時，易取得最大值，因此這一類濾波器易體現(xiàn)低通特性，且是偶函數(shù)。通過頻率移位，又可體現(xiàn)高通、帶通、帶阻特性。所以，經(jīng)典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的都是偶對稱的。說明：第一類FIR系統(tǒng)是的線性組合，在時，97的線性組合，在時，的值為零，且是奇函數(shù)。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如Hilbert變換器、差分器等。第二類FIR系統(tǒng)是最好取為奇數(shù)，以便以中心點為對稱。思考：四類濾波器的對稱點在何處？的線性組合，在時，985.3具有線性相位系統(tǒng)的零點分布所以，的零點也是的零點,反之亦然令：則：5.3具有線性相位系統(tǒng)的零點分布所以，的零99的零點分布:零點分布可能有四種情況：不在實軸也不在圓上，應(yīng)是一對共軛零點，模<1;不在實軸，但在圓上，也是一對共軛零點；模＝1；在實軸但不在圓上，無共軛，角度＝0，模<1;在實軸，但在圓上，無共軛，角度＝0，模＝1;的零點分布:零點分布可能100

四個零點同時存在,構(gòu)成四階系統(tǒng).在單位圓內(nèi)把該式展開，其系數(shù)也是對稱的，是具有線性相位的子系統(tǒng)。四個零點同時存在,構(gòu)成四階系統(tǒng).在單位圓內(nèi)把該式展開101無共軛零點,有鏡象零點無鏡象對稱零點,有共軛零點.無共軛零點,有鏡象零點無鏡象對稱零點,有共軛零點.102一個具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四類FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)，即：很容易證明，每一個子系統(tǒng)的系數(shù)都是對稱的，因此它們都具有線性相位。無鏡象零點,也無共軛零點.一個具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四類1035.4全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)對所有的頻率都等于1(或一個常數(shù)),即則稱系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。最簡單的全通系統(tǒng)，純延遲全通系統(tǒng)5.4全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)104一階全通系統(tǒng)：鏡像對稱一階全通系統(tǒng)：鏡像對稱105二階全通系統(tǒng)：一對位于單位圓內(nèi)的共軛極點，一對共軛零點和極點以單位圓為鏡像對稱。高階全通系統(tǒng)：二階全通系統(tǒng)：一對位于單位圓內(nèi)的共軛極點，一對共軛零點和極106高階全通系統(tǒng)的另一種表示形式：即：對該全通系統(tǒng)，請自己證明：高階全通系統(tǒng)的另一種表示形式：即：對該全通系統(tǒng)，請自己證明：1071.

是IIR系統(tǒng)(不考慮純延遲形式）；2.極點數(shù)和零點數(shù)相等；3.極點和零點是以單位圓鏡像對稱的；4.極點都在單位圓內(nèi),零點都在單位圓外；5.全通系統(tǒng)的群延遲始終為正值。全通系統(tǒng)的特點：1.

是IIR系統(tǒng)(不考慮純延遲形式）；全通系統(tǒng)的108IIR系統(tǒng)的無限長，無法對稱，即無法作到線性相位。在實際中，可以用一個全通系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)相級聯(lián)，在不改變幅頻響應(yīng)的情況下對相頻響應(yīng)做矯正，使其接近線性相位。全通系統(tǒng)的應(yīng)用：全通系統(tǒng)還廣泛應(yīng)用在系統(tǒng)分析及一些特殊濾波器的設(shè)計方面（如功率互補IIR濾波器組）IIR系統(tǒng)的無限長，無法對稱，即無法作全109一階全通系統(tǒng)極－零圖幅頻相頻抽樣響應(yīng)一階全通系統(tǒng)極－零圖幅頻相頻110三階全通系統(tǒng)三階全通系統(tǒng)111一個離散系統(tǒng)，其極點必須在單位圓內(nèi)，但對零點沒有限制，如果：所有的零點都在單位圓內(nèi)：最小相位系統(tǒng)；2.所有的零點都在單位圓外：最大相位系統(tǒng)；3.單位圓內(nèi)、外都有零點：混合相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)一個離散系統(tǒng)，其極點必須在單位圓內(nèi)，所有的零112在具有相同幅頻響應(yīng)的因果的穩(wěn)定的濾波器集合中,最小相位濾波器具有最小的相位偏移；最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)：例：作為作業(yè)，請證明如下兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)：那一個是最小相位系統(tǒng)？在具有相同幅頻響應(yīng)的因果的穩(wěn)定的濾波器最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)：例113幅頻相頻幅頻相頻114在所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散系統(tǒng)中,最小相位系統(tǒng)的具有最小的延遲；令：累計能量有：所以，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)又稱最小延遲序列。思考：具有線性相位的FIR系統(tǒng)是否是最小相位系統(tǒng)？在所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散系統(tǒng)中,最令：累計能量有：所以115例.三個系統(tǒng)：它們具有相同的幅頻響應(yīng)，試判斷，那一個是最小相位系統(tǒng)？最大相位系統(tǒng)？混合相位系統(tǒng)？請注意：為保證系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)（相同的定標(biāo)），的表達式。例.三個系統(tǒng)：它們具有相同的幅頻響應(yīng)，試判斷，那一個是最116ch05_DT系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)信號處理課件1173.設(shè)為最小相位系統(tǒng)令：構(gòu)成一對Hilbert變換則：和復(fù)倒譜：Cepstrum3.設(shè)為最小相位系統(tǒng)令：構(gòu)成一對H118對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)其是最小相位系統(tǒng)時,該系統(tǒng)才有逆系統(tǒng)（InverseSystem)。令：記：的逆系統(tǒng)Deconvolution(反卷積）Systemidentification(系統(tǒng)辨識）對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)其是最小相位令：記：1195.任一非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可由一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)級聯(lián)而成,即：由于最小相位系統(tǒng)有著以上特殊的性質(zhì)，因此有著廣泛的應(yīng)用，特別是在信號的建模與系統(tǒng)辨識方面。要理解，具有相同幅頻響應(yīng)的系統(tǒng)，它們所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)可以是不相同的，區(qū)別就在于相位（或零點的位置）。那么，如何由一個最小相位系統(tǒng)得到具有相同幅頻響應(yīng)的最大相位、混合相位系統(tǒng)？5.任一非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可由一個最小相位1205.5譜分解（Spectralfactorization)令：顯然，具有線性相位。將一個轉(zhuǎn)移函數(shù)的極－零點重新分配，得到兩個轉(zhuǎn)移函數(shù)，這一過程（或方法）就稱為“譜分解”。最常用的是將具有線性相位系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)作分解，并且往往是分解成兩個具有相同幅頻響應(yīng)的子系統(tǒng)。5.5譜分解（Spectralfactorizatio121={1.0000，4.0500，8.1000，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，14.9956，8.1000，4.0500，1.0000}例.令顯然，該系統(tǒng)具有線性相位，共有12個零點：={1.0000，4.0500，8.1000，14.99122下圖是對作譜分解的結(jié)果，可以看出，分解后的兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)。譜分解的目的是想得到因果的、符合某種要求的系統(tǒng)，這在信號建模、特殊濾波器的設(shè)計中經(jīng)常要用到。分解的一般方法是：令一個系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)；則另一個系統(tǒng)必然是最大相位系統(tǒng)。這樣，兩個系統(tǒng)都有著相同的幅頻響應(yīng)。另外一種分解方法是得到兩個混合系統(tǒng)，目的是保證它們都具有線性相位。下圖是對作譜分解的結(jié)果，可123ch05_DT系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)信號處理課件1245.6FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)直接實現(xiàn):一、直接實現(xiàn)和級聯(lián)實現(xiàn)5.6FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)直接實現(xiàn):一、直接實現(xiàn)和級聯(lián)實125級聯(lián)實現(xiàn):級聯(lián)實現(xiàn):126乘法量減少一半二、具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)乘法量減少一半二、具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)127FIR系統(tǒng)該系統(tǒng)實際上是一個N點平均器。IIR系統(tǒng)？三、FIR系統(tǒng)的遞歸實現(xiàn)及梳狀濾波器FIR系統(tǒng)該系統(tǒng)實際上是一個N點平均器。IIR系統(tǒng)？三、128該系統(tǒng)可由一FIR系統(tǒng)和一個一階IIR系統(tǒng)級聯(lián)而成，極－零點抵消后，仍是一FIR系統(tǒng)。令I(lǐng)IR實現(xiàn)該系統(tǒng)可由一FIR系統(tǒng)和一個一階IIR系統(tǒng)級聯(lián)而成，極－零點129梳狀濾波器N點平均器梳狀濾波器N點平均器130思路：用DFT系數(shù)表示系統(tǒng)函數(shù)四、頻率抽樣實現(xiàn)思路：用DFT系數(shù)表示系統(tǒng)函數(shù)四、頻率131令：梳狀濾波器N個一階IIR系統(tǒng)則：可按上述級聯(lián)方式得到系統(tǒng)的信號流圖：令：梳狀濾波器N個一階IIR系統(tǒng)則：可按上述級聯(lián)方式得到系統(tǒng)132該結(jié)構(gòu)一方面反映了Z變換、DTFT、DFT之間的關(guān)系，另一方面，給出了FIR濾波器設(shè)計的一種有效方法。該結(jié)構(gòu)一方面反映了Z變換、DTFT、DFT之間的關(guān)系，另1335.7離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)Lattice結(jié)構(gòu)又稱“格形”結(jié)構(gòu)，是一種非常新穎、有特色的結(jié)構(gòu)，在基于模型的功率譜估計、語音信號處理、自適應(yīng)濾波方面有著重要的應(yīng)用。對一個FIR系統(tǒng)，其Lattice結(jié)構(gòu)是：5.7離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)Lattice134反射系數(shù)Lattice結(jié)構(gòu)的基本單元1.全零點系統(tǒng)(FIR)的Lattice結(jié)構(gòu)反射系數(shù)Lattice結(jié)構(gòu)的基本單元1.全零點系統(tǒng)(FI135如何實現(xiàn)濾波器系數(shù)和的相互轉(zhuǎn)換？定義：Lattice結(jié)構(gòu)中的基本關(guān)系如何實現(xiàn)濾波器系數(shù)和的相互轉(zhuǎn)換？定義：Lat136：是Lattice結(jié)構(gòu)中第m個上、下結(jié)點相對輸入端的轉(zhuǎn)移函數(shù)。得到由低階倒高階，或由高到低的遞推關(guān)系。：是Lattice結(jié)構(gòu)中第m個上、下結(jié)點相對輸入端的轉(zhuǎn)137得到時域遞推關(guān)系：低到高階高到低階MATLAB中有相應(yīng)的m文件。得到時域遞推關(guān)系：低到高階高到低階MATLAB中有相應(yīng)的m138例：例：139看作是FIR系統(tǒng)的逆形式。2.全極點系統(tǒng)(IIR)的Lattice結(jié)構(gòu)看作是FIR系統(tǒng)的逆形式。2.全極點系統(tǒng)(IIR)的Lat140基本單元逆形式基本單元逆形式141的求解方式同F(xiàn)IR系統(tǒng)Lattice結(jié)構(gòu)的計算方法,只是將多項式的系數(shù)換成.

系數(shù)及注意：在遞推求解的過程中，反射系數(shù)有關(guān)反射系數(shù)的更多討論見第12章信號建模。的求解方式同F(xiàn)IR系統(tǒng)Lattice結(jié)構(gòu)的計算方系數(shù)及注意：1423.極－零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)3.極－零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)143上半部對應(yīng)全極系統(tǒng)下半部對應(yīng)全零系統(tǒng)兩組Lattice系數(shù)求出同全極系統(tǒng)；遞推求解上半部對應(yīng)全極系統(tǒng)兩組Lattice系數(shù)求出同全極系統(tǒng)；遞推1445.8離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述描述：差分方程、轉(zhuǎn)移函數(shù)、線性卷積1.LSI系統(tǒng)的狀態(tài)變量與狀態(tài)方程5.8離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述描述：差分方程、轉(zhuǎn)移函數(shù)、線145轉(zhuǎn)移函數(shù)、差分方程、中間變量的關(guān)系轉(zhuǎn)移函數(shù)、差分方程、中間變量的關(guān)系146狀態(tài)變量描述法的特點:“狀態(tài)”指系統(tǒng)內(nèi)一組變量,它包含了系統(tǒng)全部過去的信息,由這一組變量和現(xiàn)在與將來的輸入，可求出現(xiàn)系統(tǒng)現(xiàn)在和將來的全部輸出；2.可用于分析多輸入、多輸出系統(tǒng)；如何選擇狀態(tài)變量？有著不同的方法。方法之一是選擇作為系統(tǒng)的狀態(tài)。狀態(tài)變量描述法的特點:“狀態(tài)”指系統(tǒng)內(nèi)一組變量,它包含了系147定義一組新的變量相互關(guān)系狀態(tài)方程定義一組新的變量相互關(guān)系狀態(tài)方程