第15講 狹義相對論的時空觀 物理 學(xué)院 電動力學(xué) 課件

《電動力學(xué)》第15講第3章狹義相對論(2)§3.2相對論時空觀(上)

《電動力學(xué)》第15講1教學(xué)體系教學(xué)體系2相對論的基本原理

在總結(jié)新的實驗事實之后，愛因斯坦（Einstein）提出了兩條相對論的基本假設(shè)：

（1）相對性原理所有慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運(yùn)動”。（2）光速不變原理真空中的光速相對于任何慣性系沿任意方向恒為c，并與光源運(yùn)動無關(guān)。相對論的基本原理在總結(jié)新的實驗事實之后，愛因斯坦（Eins3相對論的基本原理

伽利略（Galileo）變換

相對論的基本假設(shè)是和舊時空概念矛盾的。舊時空概念是從低速力學(xué)現(xiàn)象抽象出來的，集中反映在關(guān)于慣性坐標(biāo)系的伽利略（Galileo）變換中。設(shè)慣性系Σ'相對于Σ以速度υ運(yùn)動，并選x和x'軸沿運(yùn)動方向，伽利略變化式為

相對論的基本原理伽利略（Galileo）變換4洛倫茲變換洛倫茲變換洛倫茲變換洛倫茲變換5洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性事件(x,y,z,t)和事件(0,0,0,0)之間的間隔，用s2表示，

洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性6洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性7洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性事件2(x2,y2,z2,t2)和事件1(x1,y1,z1,t1)之間的間隔，用Δs2表示，

洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性8洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)為簡單起見，以第一事件為空時原點(0,0,0,0)，設(shè)第二事件的空時坐標(biāo)為(x,y,z,t)。這兩事件的間隔定義為S2=c2t2-x2-y2-z2=c2t2-r2式中r=sqrt(x2+y2+z2)為兩事件的空間距離。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)9洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。我們區(qū)別三種情況：（1）若兩事件可以用光波聯(lián)系，有r=ct，因而s2=0；（2）若兩事件可以用低于光速的作用來聯(lián)系，有r<ct，因而s2>0；（3）若兩事件的空間距離超過光速在時間t所能傳播的距離，有r>ct，因而s2<0。由于從一個慣性系到另一個慣性系的變換中，間隔s2保持不變，因此上述三種間隔的劃分是絕對的，不因參考系的改變而改變。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)10洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)對應(yīng)于上述三種情況，事件P點屬于三個不同區(qū)域：（1）若事件P與事件O的間隔s2=0，則r=ct，因而P點在一個以O(shè)為頂點的錐面上。這個錐面稱為光錐。凡在光錐上的點，都可以和O點用光波聯(lián)系。類光間隔。（2）若事件P與事件O的間隔s2>0，則r<ct，因而P點在光錐之內(nèi)，這類型的間隔稱為類時間隔。（3）若P與O的間隔s2<0，則r>ct，P點在光錐外。P點不可能與O點用光波或低于光速的作用相聯(lián)系。這類型的間隔稱為類空間隔。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)11洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)類時間隔，絕對未來類光間隔類空間隔類時間隔，絕對過去洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)類時間隔，絕對未來12洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)間隔的這種劃分是絕對的，不因參考系而轉(zhuǎn)變。若對某參考系事件P在事件O的光錐內(nèi)，當(dāng)變到另一參考系時，雖然P的空時坐標(biāo)都改變，但s2不變，因此事件P保持在O的光錐內(nèi)。同樣，若對某參考系P在O的光錐外，則對所有參考系事件P都在事件O的光錐外。類時區(qū)域還可在分為兩部分。如圖6-5，光錐的上下兩半只有公共點O，而洛輪茲變換保持時間正向不變，因此光錐的上半部分和下半部分不能互相變換。若事件P在O的上半光錐內(nèi)，則在其他參考系中它保持在上半光錐內(nèi)。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)13洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)概括起來，事件P相對與事件O的實空關(guān)系可作如下的絕對分類：（1）類光間隔

s2=0，（2）類時間隔

s2>0，

（a）絕對未來，即P在O的上半光錐內(nèi)；

（b）絕對過去，即P在O的下半光錐內(nèi)；（3）類空間隔s2<0，P與O絕對異地。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)14洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度若事件P在O上半光錐內(nèi)（包括錐面），則對任何慣性系P保持在O得上半光錐內(nèi)，即P為O的絕對未來。這種間隔的特點是P與O可用光波或低于光速的作用相聯(lián)系。因此，如果不存在超光速的相互作用，則兩事件P與O發(fā)生因果關(guān)系的必要條件是P處于O的光錐內(nèi)，這樣O與P的先后次序在各參考系中相同，因而因果關(guān)系是絕對的。洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度15洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度16洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度17洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度若u<c,υ<c

則事件的因果關(guān)系就保證有絕對意義。根據(jù)現(xiàn)有大量實驗事實，我們知道真空中的光速c是物質(zhì)運(yùn)動的最大速度，也是一切相互作用傳播的極限速度。在這前提下，相對論時空觀完全符合因果律的要求。洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度18洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度注意：相互作用的最大傳播速度不得大于光速，并不否認(rèn)大于光速的現(xiàn)象存在，例如：1、視在速度2、第3者觀察到的兩物體的相對運(yùn)動速度洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度19洛倫茲變換3.同時相對性上面研究了類時間隔的性質(zhì)，現(xiàn)在轉(zhuǎn)到類空間隔。由于類空間隔有r>ct，而相互作用傳播速度不超過c，因此具有類空間隔的兩事件不可能用任何方式聯(lián)系，它們之間沒有因果聯(lián)系，其先后次序也就失去絕對意義。洛倫茲變換3.同時相對性20洛倫茲變換3.同時相對性洛倫茲變換3.同時相對性21洛倫茲變換3.同時相對性具有類空間隔的兩事件，由于不可能發(fā)生因果關(guān)系，其事件次序的先后或者同時，都沒有絕對意義，因不同參考系而不同。在不同地點同時發(fā)生的兩事件不可能有因果關(guān)系，因此同時概念必然是相對的。若兩事件對Σ同時，即t2=t1，則一般而言，t2'≠t1'，即對Σ'不同時。洛倫茲變換3.同時相對性22洛倫茲變換3.同時相對性由同時相對性，可能產(chǎn)生如何對準(zhǔn)兩不同地點的時鐘的問題。應(yīng)該指出，在一定參考系內(nèi)，這問題用經(jīng)典方法已經(jīng)可以解決。例如把某地點的一個鐘緩慢移至另一地點，就可以和該點上的鐘對準(zhǔn)，從而核對兩地點的計時。只要鐘移動的足夠慢，相對論效應(yīng)就可忽略。因此，在相對論中不產(chǎn)生另外定義同時的問題。洛倫茲變換3.同時相對性23洛倫茲變換3.同時相對性當(dāng)然，在實際測量中，最方便的方法是用光訊號來核對，只要對光傳播時間作了修正，就可以核對兩地點的時鐘。因此，在同一參考系上，相對論的同時概念和我們通常所得同時概念一致的。在另一參考系Σ‘上，觀察者也可以用相同方法來對準(zhǔn)Σ‘上各點上的時鐘。相對論效應(yīng)在于，在一參考系中不同地點上對準(zhǔn)了的時鐘，在另一參考系上觀察起來會變?yōu)椴粚?zhǔn)的。這就是同時相對性的意義。洛倫茲變換3.同時相對性24洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

現(xiàn)代測量長度也采用自然基準(zhǔn)。目前使用的基準(zhǔn)是：光在真空中于1/299792458秒時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑的長度，定義為1米。在不同參考系上，都可以用這自然尺度來測量長度，這樣我們就可以比較不同參考系上測得同一物體的長度。

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短25洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短26洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

現(xiàn)在我們用洛倫茲變換式求運(yùn)動物體長度于該物體靜止長度的關(guān)系。如圖，設(shè)物體沿x軸方向運(yùn)動，一固定于物體上的參考系為Σ’。若物體后段經(jīng)過P1點（第一事件）與前端經(jīng)過P2點（第二事件）相對于Σ同時，則P1P2定義為Σ上測得的物體長度。

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短27洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

物體兩端在Σ'上的坐標(biāo)設(shè)為x1'和x2'。在Σ上P1點的坐標(biāo)為x1，P2點的坐標(biāo)為x2，兩端分別經(jīng)過P1和P2的時刻為t1=t2。對這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變化式得

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短28洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

兩式相減，計及t1=t2，有式中x2?x1為Σ上測得的物體長度l（因為坐標(biāo)x1和x2時在Σ上同時測定的）,x2'?x1'為Σ'上測得的物體靜止長度l0。由于物體對Σ'靜止，所以對測量時刻t1'和t2'沒有任何限制。洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短29洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

即運(yùn)動物體長度縮短了。和運(yùn)動時鐘延緩效應(yīng)一樣，運(yùn)動尺度縮短也是時空的基本屬性，與物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)無關(guān)。長度縮短效應(yīng)是相對的。以上我們證明了在Σ上觀察固定與Σ'上的物體長度縮短了。同樣，在Σ'上觀察固定與Σ上的物體長度也是縮短的。這時要求在Σ'上同時測定該物體兩端的坐標(biāo)，即要求t1'=t2'。洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短30洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

運(yùn)動物體長度縮短了。靜止坐標(biāo)系中，測量運(yùn)動物體時，運(yùn)動物體長度縮短了。靜止坐標(biāo)系中，同時測量運(yùn)動物體的兩端，如何實現(xiàn)？運(yùn)動坐標(biāo)系中的觀察者認(rèn)為，靜止坐標(biāo)系的測量者不是同時測量運(yùn)動物體的兩端，而是先測量運(yùn)動物體的前端，然后測量運(yùn)動物體的后端，在測量過程中，運(yùn)動物體已經(jīng)向前移動了一段距離，所以他測量的長度小于實際長度。洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短31洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩自然界中存在許多物理過程可以作為計時的基準(zhǔn)，如分子振動或原子譜線的周期，粒子的衰變壽命等，都是計時的自然基準(zhǔn)。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)都采用自然基準(zhǔn)，它們可以一般稱為時鐘。在不同參考系上可以用同一種物理過程作為計時基準(zhǔn)，這樣就可以比較不同參考系上的時間。現(xiàn)在的問題是，在不同參考系上觀察同一個物理過程，其時間有什么關(guān)系？洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩32洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)某物體內(nèi)部相繼發(fā)生兩事件（例如分子振動一個周期的始點和終點）。設(shè)Σ'為該物體的靜止坐標(biāo)系，在這參考系上觀察到兩事件發(fā)生的時刻為t1'和t2'，其時間間隔Δτ=t2'?t1'。由于兩事件發(fā)生在同一地點x'，因此兩事件的間隔為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩33洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在另一參考系Σ上觀察，該物體以速度υ運(yùn)動，因此第一事件發(fā)生的地點x1不同于第二事件發(fā)生的地點x2。設(shè)Σ上觀察到兩事件的空時坐標(biāo)為（x1，t1）和（x2，t2）則兩事件的間隔為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩34洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩由間隔不變性有洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩35洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩式中Δτ為該物體的靜止坐標(biāo)系測出的時間，稱為該物理過程的固有時，而Δt為在另一參考系Σ上測得同一物理過程的時間。在Σ上看到物體以速度υ運(yùn)動，Δt>Δτ，表示運(yùn)動物體上發(fā)生的自然過程比起靜止物體的同樣過程延緩了。物體運(yùn)動速度愈大，所觀察到的它的內(nèi)部物理過程進(jìn)行得愈緩慢。這就是時間延緩效應(yīng)。這種效應(yīng)是時空的基本屬性引起的，與鐘的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩36洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩當(dāng)局限于勻速運(yùn)動時，時間延緩效應(yīng)是相對效應(yīng)。參考系Σ上看到固定于Σ‘上的時鐘變慢；同樣，參考系Σ’上也看到固定于Σ上的時鐘變慢。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩37洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩時間延緩與長度縮短是相關(guān)的。例如宇宙中含有許多能量極高的μ子，這些μ子是在大氣層上部產(chǎn)生的。靜止μ子的平均壽命只有2.197×10?6s，如果不是由于相對論效應(yīng)，這些μ子以接近光速時只能飛躍約660m。但實際上很大部分μ子壽命延長效應(yīng)。但在固定與μ子的參考系看來，它的壽命并沒有延長，而是由于它觀察到大氣層相對于它作高速運(yùn)動，因而大氣層的厚度縮小了，因此在μ子壽命以內(nèi)可以飛越大氣層。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩38洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩也可以從洛倫茲變換推導(dǎo)出運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)Σ系靜止，Σ’系沿Σ系X軸正方向以速度v勻速運(yùn)動，有一時鐘固定在Σ’系的坐標(biāo)原點上，且t=t’=0時，兩坐標(biāo)系原點重合。對Σ’系中靜止的時鐘：洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩39洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)Σ’系固定時鐘的時間為Δτ，Σ系固定時鐘的時間為Δt，則洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩40洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在Σ系上相距為l的兩點上有對準(zhǔn)了的時鐘C1和C2，在Σ系上觀察以速度υ運(yùn)動的時鐘C‘。設(shè)當(dāng)C’經(jīng)過C1時，各鐘都指著時刻0。當(dāng)C‘經(jīng)過C2時，Σ系上的鐘都指著時刻l/v，但Σ上看到C'指著τ<l/v

。由于τ為固有時，

有

τ<l/v說明在Σ系上看到運(yùn)動時鐘C‘變慢。

洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在Σ系上相距為l的兩點上有對41洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩當(dāng)C2指l/v

時，C'指τ<l/v。這時兩鐘C2和C'在同一地點，因而可以直接比較。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩42洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Σ'上看到C2所指得的讀數(shù)l/v大于固定在自己參考系上的時鐘C'所指的讀數(shù)τ，這是否意味著Σ'上看到Σ系上的時鐘變快了呢？答案是否定的，下面說明這一點。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩43洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Σ'上所看到的情況。開始時C'和C1同時指著時刻0。但由于同時的相對性，原來在Σ系上對準(zhǔn)了的時鐘C1和C2在Σ'系上看來不是對準(zhǔn)的。在Σ'上認(rèn)為C1指0時，C2指δ。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩44洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩δ可由洛倫茲變換求出。C2指δ這事件在Σ上的坐標(biāo)為x=l，t=δ，由洛倫茲變換得洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩45洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在Σ‘上看到C2經(jīng)過C’時，C‘指τ，C2指l/v,但由于C2是從δ開始，因此Σ’上看到C2所示的經(jīng)過時間為即Σ'上看到C2同樣是變慢的。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩46洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Σ‘上看到開始時C’和C1同時指著時刻0。原來在Σ系上對準(zhǔn)了的時鐘C1和C2在Σ‘系上看來不是對準(zhǔn)的。在Σ’上認(rèn)為C1指0時，C2指δ。是否意味著運(yùn)動的坐標(biāo)系Σ‘可以預(yù)言坐標(biāo)系Σ中的未來？答案是否定的！因為坐標(biāo)系Σ中事件(0,0)與事件(l,δ)的處于類空間隔中。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩47洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在有加速運(yùn)動情形，時間延緩導(dǎo)致絕對的物理效應(yīng)。當(dāng)一個時鐘饒閉合路徑作加速運(yùn)動最后返回原地時，它所經(jīng)歷的總時間小于在原地點靜止時鐘所經(jīng)歷的時間。這效應(yīng)通常稱為雙生子佯謬。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩48洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)時鐘C固定于慣性參考系Σ上，C'相對于Σ作加速度的運(yùn)動。設(shè)在某時刻t'，C'相對于Σ的運(yùn)動速度為υ(t')。若C'經(jīng)歷時間dt'，則在Σ上測得的時間為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩49洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩由于時間延緩效應(yīng)只依賴于速度而不依賴于加速度，上式就表示該瞬間的時間延緩效應(yīng)。當(dāng)C'繞閉合路徑一周回到原地時，Σ上測得的總時間為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩50洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Δt為C所示的時間，Δt'為C'所示的時間。因此，當(dāng)時鐘C'回到原地直接與C比較時，C'絕對的變慢了。這效應(yīng)不是相對的。因為固定在C'上的參考系Σ'不是慣性系，因此不能在Σ'上應(yīng)用狹義相對論的公式反過來推論Δt<Δt'。在Σ'上，應(yīng)該用廣義相對論的理論才能討論這一問題。這點已超出本課程的范圍?？梢灾赋?，用廣義相對論的坐標(biāo)變換，在Σ'上同樣導(dǎo)出Δt'<Δt的結(jié)果，與上式相符。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩51洛倫茲變換6.速度變換公式由洛倫茲變換式可以推出相對論的速度變換公式，設(shè)物體相對于Σ的速度洛倫茲變換6.速度變換公式52洛倫茲變換6.速度變換公式設(shè)Σ'相對于Σ沿x軸方向以速度υ運(yùn)動。用洛倫茲變換式洛倫茲變換6.速度變換公式53洛倫茲變換6.速度變換公式取兩式微分，洛倫茲變換6.速度變換公式54洛倫茲變換6.速度變換公式兩式相除得洛倫茲變換6.速度變換公式55洛倫茲變換6.速度變換公式反變換式為洛倫茲變換6.速度變換公式56洛倫茲變換6.速度變換公式反變換式為若ux’=c，或者v=c,則ux=c若ux’<c，且v<c,則ux<c洛倫茲變換6.速度變換公式57洛倫茲變換6.速度變換公式例求勻速運(yùn)動介質(zhì)中的光速解設(shè)介質(zhì)沿x軸方向以速度υ運(yùn)動。選參考系Σ‘固定在介質(zhì)上。在Σ’上觀察，介質(zhì)中的光速沿各方向都等于c/n，其中n為折射率。洛倫茲變換6.速度變換公式58洛倫茲變換6.速度變換公式沿介質(zhì)運(yùn)動方向的光速若υ<<c，有洛倫茲變換6.速度變換公式59洛倫茲變換6.速度變換公式逆介質(zhì)運(yùn)動方向傳播的光速為若υ<<c，有洛倫茲變換6.速度變換公式60洛倫茲變換6.速度變換公式沿與介質(zhì)運(yùn)動方向垂直傳播的光速為洛倫茲變換6.速度變換公式61洛倫茲變換6.速度變換公式沿與介質(zhì)運(yùn)動方向垂直傳播的光速為洛倫茲變換6.速度變換公式62課下作業(yè)課下作業(yè)：教材第235-236頁，第2，3，4，5，6，7，8題。

課下作業(yè)課下作業(yè)：63思考題一列火車，在靜止時與站臺長度相等，都是48光分（0.8光時）。在火車前端B’和尾端A’，以及站臺的起點A和終點B各有一個時鐘，且都在各自的參考系中對準(zhǔn)。當(dāng)火車以v=0.8c的速度進(jìn)站，車前端B’與站臺起點A對齊時，車前端B’與站臺起點A的時鐘都指著00:00:00。問：

思考題一列火車，在靜止時與站臺長度相等，都是48光分（0.864思考題（1）在車前端B’與站臺起點A對齊時，站臺上的人測到的4個時鐘各指什么時刻？車上的人測到的4個時鐘各指什么時刻？（2）在火車前端B’和尾端A’，以及站臺的起點A和終點B處的人員看到車前端B’與站臺起點A對齊時，4個時鐘各指什么時刻？（3）站臺上測到火車尾部A’與站臺起點A對齊時，4個時鐘各指什么時刻？車上的人測到的4個時鐘各指什么時刻？（4）在火車前端B’和尾端A’，以及站臺的起點A和終點B處的人員看到火車尾部A’與站臺起點A對齊時，4個時鐘各指什么時刻？思考題（1）在車前端B’與站臺起點A對齊時，站臺上的人測到的65思考題（5）站臺上測到火車頭部B’與站臺終點B對齊時，4個時鐘各指什么時刻？車上的人測到的4個時鐘各指什么時刻？（6）在火車前端B’和尾端A’，以及站臺的起點A和終點B處的人員看到火車頭部B’與站臺終點B對齊時，4個時鐘各指什么時刻？

（7）站臺上測到火車尾部A’與站臺終點B對齊時，4個時鐘各指什么時刻？車上的人測到的4個時鐘各指什么時刻？（8）在火車前端B’和尾端A’，以及站臺的起點A和終點B處的人員看到火車尾部A’與站臺終點B對齊時，4個時鐘各指什么時刻？思考題（5）站臺上測到火車頭部B’與站臺終點B對齊時，4個時66思考題1．

相對論的時空結(jié)構(gòu)是如何劃分的（類光間隔、類時間隔、類空間隔各有什么特點）？2．

試證明具有類空間隔的兩個事件的先后次序隨慣性系的選擇不同而不同，其時間次序的先后或同時，都沒有絕對意義。3．

試證明，按狹義相對論理論，運(yùn)動物體上發(fā)生的自然過程比起靜止物體的同樣過程時間延緩了。物體運(yùn)動速度愈大，所觀察到的它的內(nèi)部過程進(jìn)行的愈緩慢。思考題1．

相對論的時空結(jié)構(gòu)是如何劃分的（類光間隔、類時間67思考題4．

試證明，按狹義相對論理論，當(dāng)局限于勻速運(yùn)動時，時間延緩效應(yīng)是相對的。Σ參考系上看固定于Σ’上的時鐘變慢；同樣，參考系Σ’上也看到固定于Σ上的時鐘變慢。5．

試證明，按狹義相對論理論，運(yùn)動物體沿運(yùn)動方向長度縮短了。6．

試證明，按狹義相對論理論，長度縮短效應(yīng)是相對的，在Σ上觀察固定于Σ’上的物體長度縮短了；同樣，在Σ’上觀察固定于Σ上的物體長度也是縮短了的。7．

由洛倫茲變換公式推導(dǎo)出相對論的速度變換公式。并證明，若你站在光子上，看任何物體它都以光速運(yùn)動。思考題4．

試證明，按狹義相對論理論，當(dāng)局限于勻速運(yùn)動時，68謝謝大家！謝謝大家！69《電動力學(xué)》第15講第3章狹義相對論(2)§3.2相對論時空觀(上)

《電動力學(xué)》第15講70教學(xué)體系教學(xué)體系71相對論的基本原理

在總結(jié)新的實驗事實之后，愛因斯坦（Einstein）提出了兩條相對論的基本假設(shè)：

（1）相對性原理所有慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運(yùn)動”。（2）光速不變原理真空中的光速相對于任何慣性系沿任意方向恒為c，并與光源運(yùn)動無關(guān)。相對論的基本原理在總結(jié)新的實驗事實之后，愛因斯坦（Eins72相對論的基本原理

伽利略（Galileo）變換

相對論的基本假設(shè)是和舊時空概念矛盾的。舊時空概念是從低速力學(xué)現(xiàn)象抽象出來的，集中反映在關(guān)于慣性坐標(biāo)系的伽利略（Galileo）變換中。設(shè)慣性系Σ'相對于Σ以速度υ運(yùn)動，并選x和x'軸沿運(yùn)動方向，伽利略變化式為

相對論的基本原理伽利略（Galileo）變換73洛倫茲變換洛倫茲變換洛倫茲變換洛倫茲變換74洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性事件(x,y,z,t)和事件(0,0,0,0)之間的間隔，用s2表示，

洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性75洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性76洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性事件2(x2,y2,z2,t2)和事件1(x1,y1,z1,t1)之間的間隔，用Δs2表示，

洛倫茲變換洛倫茲變換下間隔不變性77洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)為簡單起見，以第一事件為空時原點(0,0,0,0)，設(shè)第二事件的空時坐標(biāo)為(x,y,z,t)。這兩事件的間隔定義為S2=c2t2-x2-y2-z2=c2t2-r2式中r=sqrt(x2+y2+z2)為兩事件的空間距離。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)78洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。我們區(qū)別三種情況：（1）若兩事件可以用光波聯(lián)系，有r=ct，因而s2=0；（2）若兩事件可以用低于光速的作用來聯(lián)系，有r<ct，因而s2>0；（3）若兩事件的空間距離超過光速在時間t所能傳播的距離，有r>ct，因而s2<0。由于從一個慣性系到另一個慣性系的變換中，間隔s2保持不變，因此上述三種間隔的劃分是絕對的，不因參考系的改變而改變。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)79洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)對應(yīng)于上述三種情況，事件P點屬于三個不同區(qū)域：（1）若事件P與事件O的間隔s2=0，則r=ct，因而P點在一個以O(shè)為頂點的錐面上。這個錐面稱為光錐。凡在光錐上的點，都可以和O點用光波聯(lián)系。類光間隔。（2）若事件P與事件O的間隔s2>0，則r<ct，因而P點在光錐之內(nèi)，這類型的間隔稱為類時間隔。（3）若P與O的間隔s2<0，則r>ct，P點在光錐外。P點不可能與O點用光波或低于光速的作用相聯(lián)系。這類型的間隔稱為類空間隔。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)80洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)類時間隔，絕對未來類光間隔類空間隔類時間隔，絕對過去洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)類時間隔，絕對未來81洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)間隔的這種劃分是絕對的，不因參考系而轉(zhuǎn)變。若對某參考系事件P在事件O的光錐內(nèi)，當(dāng)變到另一參考系時，雖然P的空時坐標(biāo)都改變，但s2不變，因此事件P保持在O的光錐內(nèi)。同樣，若對某參考系P在O的光錐外，則對所有參考系事件P都在事件O的光錐外。類時區(qū)域還可在分為兩部分。如圖6-5，光錐的上下兩半只有公共點O，而洛輪茲變換保持時間正向不變，因此光錐的上半部分和下半部分不能互相變換。若事件P在O的上半光錐內(nèi)，則在其他參考系中它保持在上半光錐內(nèi)。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)82洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)概括起來，事件P相對與事件O的實空關(guān)系可作如下的絕對分類：（1）類光間隔

s2=0，（2）類時間隔

s2>0，

（a）絕對未來，即P在O的上半光錐內(nèi)；

（b）絕對過去，即P在O的下半光錐內(nèi)；（3）類空間隔s2<0，P與O絕對異地。洛倫茲變換1相對論的時空結(jié)構(gòu)83洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度若事件P在O上半光錐內(nèi)（包括錐面），則對任何慣性系P保持在O得上半光錐內(nèi)，即P為O的絕對未來。這種間隔的特點是P與O可用光波或低于光速的作用相聯(lián)系。因此，如果不存在超光速的相互作用，則兩事件P與O發(fā)生因果關(guān)系的必要條件是P處于O的光錐內(nèi)，這樣O與P的先后次序在各參考系中相同，因而因果關(guān)系是絕對的。洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度84洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度85洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度86洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度若u<c,υ<c

則事件的因果關(guān)系就保證有絕對意義。根據(jù)現(xiàn)有大量實驗事實，我們知道真空中的光速c是物質(zhì)運(yùn)動的最大速度，也是一切相互作用傳播的極限速度。在這前提下，相對論時空觀完全符合因果律的要求。洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度87洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度注意：相互作用的最大傳播速度不得大于光速，并不否認(rèn)大于光速的現(xiàn)象存在，例如：1、視在速度2、第3者觀察到的兩物體的相對運(yùn)動速度洛倫茲變換2.因果律和相互作用的最大傳播速度88洛倫茲變換3.同時相對性上面研究了類時間隔的性質(zhì)，現(xiàn)在轉(zhuǎn)到類空間隔。由于類空間隔有r>ct，而相互作用傳播速度不超過c，因此具有類空間隔的兩事件不可能用任何方式聯(lián)系，它們之間沒有因果聯(lián)系，其先后次序也就失去絕對意義。洛倫茲變換3.同時相對性89洛倫茲變換3.同時相對性洛倫茲變換3.同時相對性90洛倫茲變換3.同時相對性具有類空間隔的兩事件，由于不可能發(fā)生因果關(guān)系，其事件次序的先后或者同時，都沒有絕對意義，因不同參考系而不同。在不同地點同時發(fā)生的兩事件不可能有因果關(guān)系，因此同時概念必然是相對的。若兩事件對Σ同時，即t2=t1，則一般而言，t2'≠t1'，即對Σ'不同時。洛倫茲變換3.同時相對性91洛倫茲變換3.同時相對性由同時相對性，可能產(chǎn)生如何對準(zhǔn)兩不同地點的時鐘的問題。應(yīng)該指出，在一定參考系內(nèi)，這問題用經(jīng)典方法已經(jīng)可以解決。例如把某地點的一個鐘緩慢移至另一地點，就可以和該點上的鐘對準(zhǔn)，從而核對兩地點的計時。只要鐘移動的足夠慢，相對論效應(yīng)就可忽略。因此，在相對論中不產(chǎn)生另外定義同時的問題。洛倫茲變換3.同時相對性92洛倫茲變換3.同時相對性當(dāng)然，在實際測量中，最方便的方法是用光訊號來核對，只要對光傳播時間作了修正，就可以核對兩地點的時鐘。因此，在同一參考系上，相對論的同時概念和我們通常所得同時概念一致的。在另一參考系Σ‘上，觀察者也可以用相同方法來對準(zhǔn)Σ‘上各點上的時鐘。相對論效應(yīng)在于，在一參考系中不同地點上對準(zhǔn)了的時鐘，在另一參考系上觀察起來會變?yōu)椴粚?zhǔn)的。這就是同時相對性的意義。洛倫茲變換3.同時相對性93洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

現(xiàn)代測量長度也采用自然基準(zhǔn)。目前使用的基準(zhǔn)是：光在真空中于1/299792458秒時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑的長度，定義為1米。在不同參考系上，都可以用這自然尺度來測量長度，這樣我們就可以比較不同參考系上測得同一物體的長度。

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短94洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短95洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

現(xiàn)在我們用洛倫茲變換式求運(yùn)動物體長度于該物體靜止長度的關(guān)系。如圖，設(shè)物體沿x軸方向運(yùn)動，一固定于物體上的參考系為Σ’。若物體后段經(jīng)過P1點（第一事件）與前端經(jīng)過P2點（第二事件）相對于Σ同時，則P1P2定義為Σ上測得的物體長度。

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短96洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

物體兩端在Σ'上的坐標(biāo)設(shè)為x1'和x2'。在Σ上P1點的坐標(biāo)為x1，P2點的坐標(biāo)為x2，兩端分別經(jīng)過P1和P2的時刻為t1=t2。對這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變化式得

洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短97洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

兩式相減，計及t1=t2，有式中x2?x1為Σ上測得的物體長度l（因為坐標(biāo)x1和x2時在Σ上同時測定的）,x2'?x1'為Σ'上測得的物體靜止長度l0。由于物體對Σ'靜止，所以對測量時刻t1'和t2'沒有任何限制。洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短98洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

即運(yùn)動物體長度縮短了。和運(yùn)動時鐘延緩效應(yīng)一樣，運(yùn)動尺度縮短也是時空的基本屬性，與物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)無關(guān)。長度縮短效應(yīng)是相對的。以上我們證明了在Σ上觀察固定與Σ'上的物體長度縮短了。同樣，在Σ'上觀察固定與Σ上的物體長度也是縮短的。這時要求在Σ'上同時測定該物體兩端的坐標(biāo)，即要求t1'=t2'。洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短99洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短

運(yùn)動物體長度縮短了。靜止坐標(biāo)系中，測量運(yùn)動物體時，運(yùn)動物體長度縮短了。靜止坐標(biāo)系中，同時測量運(yùn)動物體的兩端，如何實現(xiàn)？運(yùn)動坐標(biāo)系中的觀察者認(rèn)為，靜止坐標(biāo)系的測量者不是同時測量運(yùn)動物體的兩端，而是先測量運(yùn)動物體的前端，然后測量運(yùn)動物體的后端，在測量過程中，運(yùn)動物體已經(jīng)向前移動了一段距離，所以他測量的長度小于實際長度。洛倫茲變換4.運(yùn)動尺度的縮短100洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩自然界中存在許多物理過程可以作為計時的基準(zhǔn)，如分子振動或原子譜線的周期，粒子的衰變壽命等，都是計時的自然基準(zhǔn)。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)都采用自然基準(zhǔn)，它們可以一般稱為時鐘。在不同參考系上可以用同一種物理過程作為計時基準(zhǔn)，這樣就可以比較不同參考系上的時間?，F(xiàn)在的問題是，在不同參考系上觀察同一個物理過程，其時間有什么關(guān)系？洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩101洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)某物體內(nèi)部相繼發(fā)生兩事件（例如分子振動一個周期的始點和終點）。設(shè)Σ'為該物體的靜止坐標(biāo)系，在這參考系上觀察到兩事件發(fā)生的時刻為t1'和t2'，其時間間隔Δτ=t2'?t1'。由于兩事件發(fā)生在同一地點x'，因此兩事件的間隔為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩102洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在另一參考系Σ上觀察，該物體以速度υ運(yùn)動，因此第一事件發(fā)生的地點x1不同于第二事件發(fā)生的地點x2。設(shè)Σ上觀察到兩事件的空時坐標(biāo)為（x1，t1）和（x2，t2）則兩事件的間隔為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩103洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩由間隔不變性有洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩104洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩式中Δτ為該物體的靜止坐標(biāo)系測出的時間，稱為該物理過程的固有時，而Δt為在另一參考系Σ上測得同一物理過程的時間。在Σ上看到物體以速度υ運(yùn)動，Δt>Δτ，表示運(yùn)動物體上發(fā)生的自然過程比起靜止物體的同樣過程延緩了。物體運(yùn)動速度愈大，所觀察到的它的內(nèi)部物理過程進(jìn)行得愈緩慢。這就是時間延緩效應(yīng)。這種效應(yīng)是時空的基本屬性引起的，與鐘的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩105洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩當(dāng)局限于勻速運(yùn)動時，時間延緩效應(yīng)是相對效應(yīng)。參考系Σ上看到固定于Σ‘上的時鐘變慢；同樣，參考系Σ’上也看到固定于Σ上的時鐘變慢。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩106洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩時間延緩與長度縮短是相關(guān)的。例如宇宙中含有許多能量極高的μ子，這些μ子是在大氣層上部產(chǎn)生的。靜止μ子的平均壽命只有2.197×10?6s，如果不是由于相對論效應(yīng)，這些μ子以接近光速時只能飛躍約660m。但實際上很大部分μ子壽命延長效應(yīng)。但在固定與μ子的參考系看來，它的壽命并沒有延長，而是由于它觀察到大氣層相對于它作高速運(yùn)動，因而大氣層的厚度縮小了，因此在μ子壽命以內(nèi)可以飛越大氣層。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩107洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩也可以從洛倫茲變換推導(dǎo)出運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)Σ系靜止，Σ’系沿Σ系X軸正方向以速度v勻速運(yùn)動，有一時鐘固定在Σ’系的坐標(biāo)原點上，且t=t’=0時，兩坐標(biāo)系原點重合。對Σ’系中靜止的時鐘：洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩108洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)Σ’系固定時鐘的時間為Δτ，Σ系固定時鐘的時間為Δt，則洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩109洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在Σ系上相距為l的兩點上有對準(zhǔn)了的時鐘C1和C2，在Σ系上觀察以速度υ運(yùn)動的時鐘C‘。設(shè)當(dāng)C’經(jīng)過C1時，各鐘都指著時刻0。當(dāng)C‘經(jīng)過C2時，Σ系上的鐘都指著時刻l/v，但Σ上看到C'指著τ<l/v

。由于τ為固有時，

有

τ<l/v說明在Σ系上看到運(yùn)動時鐘C‘變慢。

洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在Σ系上相距為l的兩點上有對110洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩當(dāng)C2指l/v

時，C'指τ<l/v。這時兩鐘C2和C'在同一地點，因而可以直接比較。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩111洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Σ'上看到C2所指得的讀數(shù)l/v大于固定在自己參考系上的時鐘C'所指的讀數(shù)τ，這是否意味著Σ'上看到Σ系上的時鐘變快了呢？答案是否定的，下面說明這一點。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩112洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Σ'上所看到的情況。開始時C'和C1同時指著時刻0。但由于同時的相對性，原來在Σ系上對準(zhǔn)了的時鐘C1和C2在Σ'系上看來不是對準(zhǔn)的。在Σ'上認(rèn)為C1指0時，C2指δ。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩113洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩δ可由洛倫茲變換求出。C2指δ這事件在Σ上的坐標(biāo)為x=l，t=δ，由洛倫茲變換得洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩114洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在Σ‘上看到C2經(jīng)過C’時，C‘指τ，C2指l/v,但由于C2是從δ開始，因此Σ’上看到C2所示的經(jīng)過時間為即Σ'上看到C2同樣是變慢的。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩115洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Σ‘上看到開始時C’和C1同時指著時刻0。原來在Σ系上對準(zhǔn)了的時鐘C1和C2在Σ‘系上看來不是對準(zhǔn)的。在Σ’上認(rèn)為C1指0時，C2指δ。是否意味著運(yùn)動的坐標(biāo)系Σ‘可以預(yù)言坐標(biāo)系Σ中的未來？答案是否定的！因為坐標(biāo)系Σ中事件(0,0)與事件(l,δ)的處于類空間隔中。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩116洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩在有加速運(yùn)動情形，時間延緩導(dǎo)致絕對的物理效應(yīng)。當(dāng)一個時鐘饒閉合路徑作加速運(yùn)動最后返回原地時，它所經(jīng)歷的總時間小于在原地點靜止時鐘所經(jīng)歷的時間。這效應(yīng)通常稱為雙生子佯謬。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩117洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩設(shè)時鐘C固定于慣性參考系Σ上，C'相對于Σ作加速度的運(yùn)動。設(shè)在某時刻t'，C'相對于Σ的運(yùn)動速度為υ(t')。若C'經(jīng)歷時間dt'，則在Σ上測得的時間為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩118洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩由于時間延緩效應(yīng)只依賴于速度而不依賴于加速度，上式就表示該瞬間的時間延緩效應(yīng)。當(dāng)C'繞閉合路徑一周回到原地時，Σ上測得的總時間為洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩119洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩Δt為C所示的時間，Δt'為C'所示的時間。因此，當(dāng)時鐘C'回到原地直接與C比較時，C'絕對的變慢了。這效應(yīng)不是相對的。因為固定在C'上的參考系Σ'不是慣性系，因此不能在Σ'上應(yīng)用狹義相對論的公式反過來推論Δt<Δt'。在Σ'上，應(yīng)該用廣義相對論的理論才能討論這一問題。這點已超出本課程的范圍?？梢灾赋?，用廣義相對論的坐標(biāo)變換，在Σ'上同樣導(dǎo)出Δt'<Δt的結(jié)果，與上式相符。洛倫茲變換5.運(yùn)動時鐘的延緩120洛倫茲變換6.速度變換公式由洛倫茲變換式可以推出相對論的速度變換公式，設(shè)物體相對于Σ的速度洛倫茲變換6.速度變換公式121洛倫茲變換6.速度變換公式設(shè)Σ'相對于Σ沿x軸方向以速度υ運(yùn)動。用洛倫茲變換式洛倫茲變換6.速度變換公式122洛倫茲變換6.速度變換公式取兩式微分，洛倫茲變換6.速度變換公式123洛倫茲變換6.速度變換公式兩式