最新高中數(shù)學(xué)平面幾何拓展-數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)

高中數(shù)學(xué)平面幾何拓展第一大定理：共角定理〔鳥(niǎo)頭定理〕即在兩個(gè)三角形中，它們有一個(gè)角相等〔互補(bǔ)〕，那么它們就是共角三角形。它們的面積之比，就是對(duì)應(yīng)角〔相等角、互補(bǔ)角〕兩夾邊的乘積之比。內(nèi)容：假設(shè)兩三角形有一組對(duì)應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么它們的面積比等于對(duì)應(yīng)兩邊乘積的比。即：假設(shè)△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，那么S△ABC÷S△ADE=第二大定理：等積變換定理。1、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；2、兩個(gè)三角形〔底〕高相等，面積之比等于高〔底〕之比。3、在一組平行線之間的等積變形。如下圖，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，那么可知直線AB平行于CD。第三大定理：梯形蝴蝶定理。任意四邊形中，同樣也有蝴蝶定理。上述的梯形蝴蝶定理，就是因?yàn)锳D‖EC得來(lái)的第四大定理：相似三角形定理。1、相似三角形：形狀相同,大小不相等的兩個(gè)三角形相似；2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、相似三角形性質(zhì)：1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)邊〕的比等于相似比；②相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；③相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對(duì)平行線！圖形：第五大定理：燕尾定理。性質(zhì)：1.S△ABG：S△ACG=S△BGE：S△CGE=BE：CE2.S△BGA：S△BGC=S△GAF：S△GCF=AF：CF3.S△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD：BD這就是燕尾模型。其他幾何定理：塞瓦定理塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，那么(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。梅涅勞斯定理當(dāng)直線交三邊所在直線于點(diǎn)時(shí)，使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)根本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對(duì)偶定理是塞瓦定理。[2]它的逆定理也成立：假設(shè)有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，那么F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。托勒密定理定理內(nèi)容指圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積推論1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓清宮定理設(shè)P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于D、E、F，那么D、E、F在同一直線上射影定理射影定理，又稱“歐幾里得定理〞：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理。概述圖中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，那么有射影定理如下：BD2=AD·DCAB2=AC·ADBC2=CD·AC面積射影定理規(guī)定“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。(即COSθ=S射影/S原〕。〞(平面多邊形及其射影的面積分別是和,它們所在平面所成的二面角為)歐拉定理幾何定理內(nèi)容1)設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，那么d^2=R^2-2Rr．2)三角形ABC的垂心H，九點(diǎn)圓圓心V,重心G,外心O共線，稱為歐拉線拓?fù)涔絍+F-E=2，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)利用歐拉定理可解決一些實(shí)際問(wèn)題如：為什么正多面體只有5種？足球與C60的關(guān)系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等復(fù)變函數(shù)定理內(nèi)容e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成-x，得到：，然后采用兩式相加減的方法得到：，.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。上帝創(chuàng)造的公式將中的x取作π就得到：.這個(gè)等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見(jiàn)的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式〞，我們只能看它而不能理解它。蝴蝶定理蝴蝶定理〔ButterflyTheorem〕：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，那么M是XY的中點(diǎn)。去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理〞，不為中點(diǎn)時(shí)滿足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP在圓錐曲線中通過(guò)射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線〔包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況〕。圓錐曲線C上弦PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，那么M為XY之中點(diǎn)。１，橢圓的長(zhǎng)軸A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M〔o，r〕〔b＞r＞0〕。

〔Ⅰ〕寫(xiě)出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；

〔Ⅱ〕直線y=k1x交橢圓于兩點(diǎn)Ｃ〔x1,y1〕,D(x2，y2)〔y2＞０〕；直線y=k2x交橢圓于兩點(diǎn)Ｇ〔x3，y3〕，Ｈ〔x4，y4〕〔y４＞０〕。

求證：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

〔Ⅲ〕對(duì)于〔Ⅱ〕中的C，D，G，H，設(shè)CH交X軸于點(diǎn)P，GD交X軸于點(diǎn)Q。

求證：|OP|=|OQ|。

〔證明過(guò)程不考慮CH或GD垂直于X軸的情形〕

〔Ⅰ〕解：橢圓方程為x2/a2+(y-r)2/b2=1

焦點(diǎn)坐標(biāo)為x代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，

〔Ⅱ〕證明：將直線CD的方程y=k

整理，得

(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0

根據(jù)韋達(dá)定理，得

x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)，x1·x2=(a2r2-a2b2)/(b2+a2k12)，

所以x1x2/(x1+x2)=(r2-b2)/2k1r①

將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得

x3x4/(x3+x4)=(r2-b2)/2k2r②

由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)

所以結(jié)論成立。

〔Ⅲ〕證明：設(shè)點(diǎn)P〔p，o〕，點(diǎn)Q〔q，o〕。

由C，P，H共線，得

(x1-p)/(x4-p)=k1x1/k2x4

解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

由D，Q，G共線，同理可得

q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，變形得：

x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

所以|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。圓冪定理圓冪定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)的統(tǒng)一相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D，那么有PA·PB=PC·PD共邊定理設(shè)直線AB與PQ交于M，那么S△PAB/S△QAB=PM/QM西姆松定理過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，那么三垂足共線?！泊司€常稱為西姆松線〕。西姆松定理的逆定理為：假設(shè)一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，那么該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。九點(diǎn)圓三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)〔連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)〕九點(diǎn)共圓。通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓〔nine-pointcircle〕，或歐拉圓、費(fèi)爾巴哈圓。九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì)，例如：1.三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；2.九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上，且恰為