電路教案n專業(yè)知識講座市公開課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

5.5一階電路全響應(yīng)——三要素公式5.6一階電路階躍響應(yīng)一、階躍函數(shù)二、階躍響應(yīng)5.7二階電路分析一、零輸入響應(yīng)二、階躍響應(yīng)5.8正弦激勵(lì)下一階電路響應(yīng)5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解一、動(dòng)態(tài)電路方程建立二、微分方程經(jīng)典解法5.2電路初始值一、獨(dú)立初初始值二、非獨(dú)立初始值5.3一階電路零輸入響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)5.4一階電路零狀態(tài)響應(yīng)

第五章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)下一頁前一頁第5-1頁退出本章5.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其解下一頁前一頁第5-2頁返回本章目錄一、動(dòng)態(tài)電路方程的建立1、依據(jù)：元件VAR，KCL和KVL列寫方程；2、一階電路舉例：因?yàn)閯?dòng)態(tài)電路中電感電容VAR是微積分關(guān)系，能夠預(yù)料，動(dòng)態(tài)電路列出方程一定是微積分方程。若描述電路方程是一階微分方程，對應(yīng)電路稱為一階電路(firstordercircuit)。

例1：圖RC電路，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，討論t>0時(shí)電容電壓uC(t)。t>0時(shí)，依據(jù)KVL方程列出回路電壓方程為uR+uC–uS=0依據(jù)元件VAR，有代入上式，整理得令τ=RC，其單位是秒。因?yàn)閇RC]=[V/A][C/V]=[C/A]=[s]故τ稱為時(shí)間常數(shù)，簡稱時(shí)常數(shù)。例2：圖RL電路，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，討論t>0時(shí)電感電流iL(t)。下一頁前一頁第5-3頁返回本章目錄一、動(dòng)態(tài)電路方程的建立

5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解t>0時(shí)，依據(jù)KCL有iR+iL–iS=0依據(jù)元件VAR，有代入上式，整理得觀察上兩例列出方程，除變量不一樣外，均為經(jīng)典一階微分方程，所以均為一階電路。一階微分方程普通形式可寫為y’(t)+ay(t)=bf(t)，式中y(t)為響應(yīng)，f(t)為激勵(lì)。令τ=L/R，其單位是秒。因?yàn)閇L/R]=[Wb/A]/[V/A]=[Wb/V]=[s]故τ稱為時(shí)間常數(shù)，簡稱時(shí)常數(shù)。3、二階電路舉例：下一頁前一頁第5-4頁返回本章目錄例：圖RLC串聯(lián)電路，仍以電容電壓uC(t)作為電路響應(yīng)。依據(jù)KVL方程有uR+uL+uC–uS=0依據(jù)元件VAR，有代入上式，整理得這是二階微分方程，所以稱該電路為二階電路。二階微分方程普通形式可寫為y”(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b0f(t)一、動(dòng)態(tài)電路方程的建立

5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解4、建立動(dòng)態(tài)方程普通步驟下一頁前一頁第5-5頁返回本章目錄⑴、依據(jù)電路建立KCL或KVL方程，寫出個(gè)元件伏安關(guān)系；⑵、在以上方程中消去中間變量，得到所需變量微分方程。對于較復(fù)雜動(dòng)態(tài)電路，慣用拉普拉斯變換進(jìn)行分析。一、動(dòng)態(tài)電路方程的建立

5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解1、微分方程經(jīng)典解法下一頁前一頁第5-6頁返回本章目錄二、微分方程的經(jīng)典解法

5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解一階和二階微分方程普通形式為y’(t)+ay(t)=bf(t)（1），y”(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b0f(t)（2）對于線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路，上式中系數(shù)都是常數(shù)。高等數(shù)學(xué)學(xué)過，線性常系數(shù)微分方程解由兩部分組成：

y(t)=yh(t)+yp(t)即：完全解=齊次解（通解）+特解齊次解yh(t)：它函數(shù)形式取決于微分方程特征根。對于一階微分方程，其特征方程為s+a=0，特征根為s=-a，故yh(t)=Kest=Ke-at式中K為待定常數(shù)。對于二階微分方程，其特征方程為s2+a1s+a0=0，特征根為s1和s2，當(dāng)s1≠s2時(shí)，yh(t)=K1es1t+K2es2t

當(dāng)s1=s2=s時(shí)，yh(t)=(K1+K2t)est式中待定常數(shù)K1、K2將在完全解中由初始條件確定。特解yh(t)：特解含有與激勵(lì)f(t)相同函數(shù)形式。列表以下：(P99表3-2)下一頁前一頁第5-7頁返回本章目錄激勵(lì)f(t)函數(shù)形式特解yp(t)直流常數(shù)AtmAmtm+Am-1tm-1+…+A1t+A0eαtAeαt

當(dāng)α不是特征根時(shí)(A1t+A0)eαt

當(dāng)α是特征單根時(shí)(A2t2+A1t+A0)eαt

當(dāng)α是二階特征根(二階電路）cosβt或sinβtA1cosβt+A2sinβt當(dāng)特解yp(t)函數(shù)形式確定后，將其代入原微分方程中，來求待定常數(shù)Ai二、微分方程的經(jīng)典解法

5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解2、舉例下一頁前一頁第5-8頁返回本章目錄如圖RC電路，Us為直流電壓源，當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)閉合，電容初始電壓uC(0)=U0，求t≥0時(shí)uC(t)。解（1）建立電路方程。前面已得（2）求齊次解uCh(t)。特征方程為s+1/(RC)=0其特征根s=-1/(RC)，故（3）求特解uCp(t)?！呒?lì)Us為常數(shù)，∴特解也是常數(shù)。令uCp(t)=A，將它代入上面微分方程，得故得特解uCp(t)=A=Us（4）求完全解uC(t)。uC(t)=uCh(t)+uCp(t)=式中常數(shù)K由初試條件uC(0)=U0確定。將該條件代入上式，得uC(0)=K+Us=U0,解得K=U0

-Us，故二、微分方程的經(jīng)典解法

5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解3、結(jié)果分析：固有響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下一頁前一頁第5-9頁返回本章目錄在完全解中，其第一項(xiàng)（即齊次解）函數(shù)形式僅由特征根確定，而與激勵(lì)函數(shù)形式無關(guān)，稱為固有響應(yīng)或自由響應(yīng)。固有響應(yīng)式中第二項(xiàng)（即特解）與激勵(lì)含有相同函數(shù)形式，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。強(qiáng)迫響應(yīng)按電路工作情況，也常將完全響應(yīng)分為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上式中第一項(xiàng)按指數(shù)規(guī)律衰減，t→∞時(shí)，該項(xiàng)為0，稱為暫態(tài)響應(yīng)。第二項(xiàng)在任意時(shí)刻都保持穩(wěn)定，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。二、微分方程的經(jīng)典解法

5.1動(dòng)態(tài)電路方程及其解1、換路定律下一頁前一頁第5-10頁返回本章目錄5.2電路的初始值前面能夠看到，求解微分方程時(shí)，需要依據(jù)給定初始條件確定解答中待定常數(shù)K。因?yàn)殡娐讽憫?yīng)是指電壓和電流，故對應(yīng)初始條件為電壓或電流初始值，即在t=t0時(shí)刻值u(t0)、i(t0)。其中電容電壓uC和電感電流iL初始值uC(t0)、iL(t0)由電路初始儲能決定，稱為獨(dú)立初始值或初始狀態(tài)。其余電壓電流初始值稱為非獨(dú)立初始值，它們將由電路激勵(lì)和初始狀態(tài)來確定。（1）、換路現(xiàn)象*開關(guān)閉或開動(dòng)作；*元件參數(shù)突變；*電源數(shù)值突變；統(tǒng)稱為“換路”電路初始時(shí)刻普通認(rèn)為是換路時(shí)刻。設(shè)換路時(shí)刻為t=t0，則換路前瞬間為：換路后瞬間為：我們解微分方程所需要初始值實(shí)際上是指在t0+時(shí)刻值。一、獨(dú)立初始值（2）、換路定律(SwitchingLaw)下一頁前一頁第5-11頁返回本章目錄

5.2電路初始值若電容電流iC和電感電壓uL在t=t0時(shí)為有限值，則換路前后瞬間電容電壓uC和電感電流iL是連續(xù)（不發(fā)生躍變），即有

uC(t0+)=uC(t0-) iL(t0+)=iL(t0-)（3）、說明（1）強(qiáng)調(diào)指出：除電容電壓和電感電流外，其余各處電壓電流不受換路定律約束，換路前后可能發(fā)生躍變。（2）換路定律能夠從能量角度來了解：因?yàn)閣C(t)=0.5Cu2C(t)、wL(t)=0.5Li2L(t)，假如uC或iL發(fā)生躍變，則wC或wL也發(fā)生躍變，因?yàn)楣β蕄=dw/dt，所以能量躍變意味著功率為∞，這在實(shí)際電路中是不可能。只在一些極少理想情況下，有可能。（3）通常t0=0。此時(shí)uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)一、獨(dú)立初始值2、獨(dú)立初始值（初始狀態(tài)）求解下一頁前一頁第5-12頁返回本章目錄

首先依據(jù)換路前電路詳細(xì)情況，求出uC(0-)和iL(0-)。然后利用換路定律即可求得uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)。例：電路如圖所表示，已知t<0時(shí)，開關(guān)S是閉合，電路已處于穩(wěn)定。在t=0時(shí)，開關(guān)S打開，求初始值uC(0+)和iL(0+)。解：t<0時(shí)，電路在直流電源作用下并已處于穩(wěn)態(tài)，此時(shí)，電路各處電壓、電流均為直流。所以電容可視為開路，電感視為短路。得t=0-時(shí)等效電路如圖(b)。由圖(b)電路輕易求得：

iL(0-)=8/(2+6)=1A

uC(0-)=6iL(0-)=6V由換路定律得：

uC(0+)=uC(0-)=6ViL(0+)=iL(0-)=1A

5.2電路初始值一、獨(dú)立初始值1、非獨(dú)立初始值求解

基本思緒：先求出獨(dú)立初始值，然后再由獨(dú)立初始值求出非獨(dú)立初始值。下一頁前一頁第5-13頁返回本章目錄當(dāng)初始狀態(tài)求出后，依據(jù)置換定理，在t=0+時(shí)刻，將電容用電壓等于uC(0+)電壓源替換[若uC(0+)=0時(shí)用短路替換]，電感用電流等于iL(0+)電流源替換[若iL(0+)=0時(shí)用開路替換]，獨(dú)立源均取t=0+時(shí)刻值。此時(shí)得到電路是一個(gè)直流電源作用下電阻電路，稱為0+等效電路,如圖(b)。由該電路求得各電流、電壓就是非獨(dú)立初始值。

5.2電路初始值二、非獨(dú)立初始值下一頁前一頁第5-14頁返回本章目錄例：電路如圖(a)所表示，已知t<0時(shí)，開關(guān)S是處于位置1，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。在t=0時(shí)，開關(guān)S切換至位置2，求初始值iR(0+)、iC(0+)和uL(0+)。解(1)計(jì)算uC(0-)和iL(0-)。因?yàn)閠<0時(shí)電路已達(dá)直流穩(wěn)態(tài)，電容開路，電感短路，t=0-時(shí)等效電路如圖(b)?？傻胕L(0-)=2×10/(2+3)=4AuC(0-)=3iL(0-)=12V(2)依據(jù)換路定律得

uC(0+)=uC(0-)=12V，iL(0+)=iL(0-)=4A(3)計(jì)算非獨(dú)立初始值。開關(guān)切換至位置2，畫出0+等效電路，如圖(c)。iR(0+)=12/4=3AiC(0+)=-iR(0+)–4=-7AuL(0+)=12-3×4=0V

5.2電路初始值二、非獨(dú)立初始值2、初始值計(jì)算步驟總結(jié)：下一頁前一頁第5-15頁返回本章目錄（1）由t=0-時(shí)等效電路，求出uC(0-)和iL(0-)（尤其注意：直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，L相當(dāng)于短路，C相當(dāng)于開路）。（2）依據(jù)換路定律，確定初始狀態(tài)uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)。（3）畫出0+等效電路，利用電阻電路分析方法，求出各非獨(dú)立初始值。3、電容電壓、電感電流發(fā)生強(qiáng)迫躍變情況指出：換路定律僅在電容電流和電感電壓為有限值時(shí)才成立。在某些理想情況下，電容電流和電感電壓可認(rèn)為∞，uC和iL可能強(qiáng)迫躍變?？赡芮闆r：①換路后，電路中存在有全部由電容組成回路或由電容和理想電壓源組成回路，那么，電容電壓可能發(fā)生躍變。②換路后，電路中存在節(jié)點(diǎn)或閉合曲面，與它相連支路全部由含電感支路或理想電流源支路組成，那么，電感電流可能發(fā)生躍變。在發(fā)生強(qiáng)迫躍變情況下，可依據(jù)電荷守恒和磁鏈?zhǔn)睾阍泶_定相關(guān)初始值。q(0+)=q(0-),Ψ(0+)=Ψ(0-)

5.2電路初始值二、非獨(dú)立初始值1、零輸入響應(yīng)下一頁前一頁第5-16頁返回本章目錄5.3一階電路的零輸入響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)動(dòng)態(tài)電路能量起源于兩部分：一是外加激勵(lì)，另一是電路初始儲能(初始狀態(tài))。定義：外加激勵(lì)均為零時(shí)，僅由初始狀態(tài)所引發(fā)響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)，記為yzi(t)。例：電路如圖(a)所表示，已知t<0時(shí)，開關(guān)S是處于位置1，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。在t=0時(shí)，開關(guān)S切換至位置2，求t≥0時(shí)，電容電壓uC(t)(零輸入響應(yīng))。解：首先計(jì)算初始狀態(tài)，輕易得到t≥0時(shí)，開關(guān)切換至2，電路如圖(b)。由KVL列方程–uR+uC=0，其中uR=Ri,i=-CduC/dt，故有或?qū)憺槭街?，?RC為時(shí)常數(shù)。下一頁前一頁第5-17頁返回本章目錄將初始值uC(0+)代入，可得常數(shù)K=uC(0+)，最終得，t≥0波形如圖(c)、(d)?？梢姰?dāng)t→∞時(shí)，它們衰減到零，到達(dá)穩(wěn)態(tài)。這一改變過程稱為暫態(tài)過程或過渡過程。在換路前后，電容電壓是連續(xù)；而電流i(0-)=0，i(0+)=uC(0+)/R，發(fā)生躍變。零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)之間滿足齊次性。實(shí)際上，對二階以上電路，有多個(gè)初始狀態(tài)，零輸入響應(yīng)與各初始狀態(tài)間也滿足可加性。這種性質(zhì)稱為零輸入線性。物理過程：放電上面齊次微分方程特征方程為s+(1/τ)=0，特征根為s=-1/τ，故解為：5.3一階電路的零輸入響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)2、暫態(tài)過程與時(shí)常數(shù)τ之間關(guān)系下一頁前一頁第5-18頁返回本章目錄上述RC電路放電過程快慢取決于時(shí)常數(shù)τ，它越大，表示電壓電流暫態(tài)改變越慢，反之，越快。注意：僅與電路內(nèi)參數(shù)相關(guān)，與激勵(lì)和初始狀態(tài)無關(guān)。不一樣t值對應(yīng)響應(yīng)t0τ2τ3τ4τ5τ…∞y(t)=e-t/τe0=1e-1=0.368e-2=0.135e-3=0.05e-4=0.018e-5=0.007…0工程上，普通認(rèn)為，經(jīng)過3τ~5τ時(shí)間后，暫態(tài)響應(yīng)已基本結(jié)束。5.3一階電路的零輸入響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)3.一階電路零輸入響應(yīng)總結(jié)下一頁前一頁第5-19頁返回本章目錄

一.假如用yzi（t）表示電路中電壓或電流零輸入響應(yīng)，其初始值為yzi（t0＋），則一階電路零輸入響應(yīng)可統(tǒng)一表示為

均從初始值開始按指數(shù)規(guī)律衰減到零。5.3一階電路的零輸入響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)

二.零輸入響應(yīng)線性性質(zhì)零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)之間滿足齊次性。對二階以上電路，有多個(gè)初始狀態(tài)，零輸入響應(yīng)與各初始狀態(tài)間也滿足可加性。這種性質(zhì)稱為零輸入響應(yīng)線性性質(zhì)例：電路如圖所表示，已知R=4Ω，L=0.1H，US=24V，開關(guān)在t=0打開，求t≥0時(shí)電流iL，其中電壓表內(nèi)阻RV=10kΩ，量程為100V，問開關(guān)打開時(shí)，電壓表有沒有危險(xiǎn)？下一頁前一頁第5-20頁返回本章目錄解因t=0-時(shí)，電感相當(dāng)與短路，故u(0-)=0。而iL(0+)=iL(0-)=Us/R=24/4=6A換路后，等效電路如圖(b)。由KVL方程有

uL–u=0將uL=LdiL/dt和u=-RViL代入上式得令τ=L/RV=10-5s，方程變?yōu)楣孰妷罕頁Q路后瞬間要承受-60kV高壓，而其量程只有100V，所以電壓表馬上被打壞。u(t)=-RV

iL(t)=-10×103×=-60kV5.3一階電路的零輸入響應(yīng)與時(shí)間常數(shù)下一頁前一頁第5-21頁返回本章目錄定義：當(dāng)電路初始儲能為零(即初始狀態(tài)為零)時(shí)，僅由外加激勵(lì)所引發(fā)響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)，記為yzs(t)。例：電路如圖(a)所表示，已知t<0時(shí)，開關(guān)S是閉合，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。在t=0時(shí)，開關(guān)S斷開，求t≥0時(shí)，電容電壓uC(t)。解：t<0時(shí)開關(guān)閉合，uC(0+)=uC(0-)=0，故所求響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。t≥0時(shí)，依據(jù)KCL有iC+iR=Is因?yàn)閕C=CduC/dt，iR=uC/R，代入上式得或?qū)憺槭街笑?RC，初始值uC(0+)=0uC(t)=uCh(t)+uCp(t)對應(yīng)齊次解為5.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)其特解為常數(shù)，令uCp(t)=A，將其代入微分方程得下一頁前一頁第5-22頁返回本章目錄故得特解uCp(t)=RIS完全解為將初始狀態(tài)uC(0+)=0代入確定K，有uC(0+)=K+RIS，解得K=-RIS于是得電路零狀態(tài)響應(yīng)電容電流可見，當(dāng)開關(guān)斷開后，電容充電，uC按指數(shù)規(guī)律上升，當(dāng)t→∞時(shí)，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，其穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=RIs。而電容電流iC按指數(shù)規(guī)律衰減，當(dāng)?shù)竭_(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，iC(∞)=0。零狀態(tài)響應(yīng)滿足齊次性。若有多個(gè)激勵(lì)，零狀態(tài)響應(yīng)與各激勵(lì)之間也滿足可加性。這種性質(zhì)稱為零狀態(tài)線性。物理過程：充電5.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路零狀態(tài)響應(yīng)總結(jié)下一頁前一頁第5-23頁返回本章目錄

一.假如用yzs（t）表示電路中電容電壓或電感電流零狀態(tài)響應(yīng)，其穩(wěn)態(tài)值為，則一階電路電容電壓或電感電流零狀態(tài)響應(yīng)可表示為其它支路電壓或電流零狀態(tài)響應(yīng)能夠在求得電容電壓或電感電流零狀態(tài)響應(yīng)后，利用替換定理將電容或電感用電壓源或電流進(jìn)行替換后求出。

二.

零狀態(tài)響應(yīng)線性性質(zhì)零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)之間滿足齊次性。若有多個(gè)激勵(lì)，零狀態(tài)響應(yīng)與各激勵(lì)之間也滿足可加性。這種性質(zhì)稱為零狀態(tài)響應(yīng)線性性質(zhì)5.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)1、全響應(yīng)下一頁前一頁第5-24頁返回本章目錄定義：電路在外加激勵(lì)和初始狀態(tài)共同作用下所產(chǎn)生響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。我們能夠?qū)⒊跏紶顟B(tài)（初始儲能）看作電路內(nèi)部激勵(lì)。對于線性電路，依據(jù)疊加定理，全響應(yīng)又能夠分解為全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)，即y(t)=yzi(t)+yzs(t)所以，對于初始狀態(tài)不為零，外加激勵(lì)也不為零電路。初始狀態(tài)單獨(dú)作用時(shí)（獨(dú)立源置零）時(shí)產(chǎn)生響應(yīng)就是零輸入響應(yīng)分量；而外加激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)[即令uC(0+)=0]時(shí)求得響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)分量。5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式下一頁前一頁第5-25頁返回本章目錄前面求解一階電路時(shí)，都是先列出微分方程，再用經(jīng)典法求解，比較麻煩。本節(jié)介紹一個(gè)直流電源激勵(lì)下一階電路響應(yīng)簡便計(jì)算方法—三要素法。（1）、三要素公式推出因?yàn)橐浑A電路只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件，所以，換路后，可利用戴維南定理，將任何一階電路簡化為如圖(a)(b)兩種形式之一。依據(jù)基氏定律和元件VAR很輕易分別列出以電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為響應(yīng)方程，整理后有若用y(t)表示響應(yīng)uC或iL，用f(t)表示外加激勵(lì)uS，則可將上述方程統(tǒng)一表示為式中，b為常數(shù)；τ為時(shí)常數(shù)，對RC電路，τ=RC；對RL電路，τ=L/R。5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式2、三要素公式下一頁前一頁第5-26頁返回本章目錄y(t)=yh(t)+yp(t)因?yàn)槲⒎址匠烫卣鞲鵶=-1/τ，有yh(t)=Ke-t/τ，所以y(t)=Ke-t/τ+yp(t)設(shè)全響應(yīng)y(t)初始值為y(0+)，將它代入上式得y(0+)=K+yp(0+)，K=y(0+)-yp(0+)

得全響應(yīng)y(t)=[y(0+)-y

(∞)]e-t/τ

+y(∞)=y(0+)e-t/τ+y(∞)(1-e-t/τ

)，t≥0由上式可見，對于一階電路，只要設(shè)法求得初始值y(0+)、時(shí)常數(shù)τ和微分方程特解yp(t)，就可直接寫出電路響應(yīng)y(t)。當(dāng)激勵(lì)f(t)為直流時(shí)，yp(t)=A代入上式，有y(t)=[y(0+)-A]e-t/τ+A通常τ>0（稱電路為正τ電路），當(dāng)t→∞時(shí)，電路穩(wěn)態(tài)，A=y(∞)穩(wěn)態(tài)值。直流激勵(lì)時(shí)一階電路響應(yīng)為三要素公式y(tǒng)(t)=[y(0+)-yp

(0+)]e-t/τ

+yp

(t)5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式（2）、三要素公式說明下一頁前一頁第5-27頁返回本章目錄（1）適用范圍：直流激勵(lì)下一階電路中任意處電流和電壓；（2）三要素：

y(0+)表示該響應(yīng)（電壓或電流）初始值，y(∞)表示響應(yīng)穩(wěn)定值，τ表示電路時(shí)間常數(shù)。（3）三要素法不但能夠求全響應(yīng)，也能夠求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量。（4）τ<0時(shí)，電路不穩(wěn)定。但公式仍適用。只是y(∞)含義不是穩(wěn)態(tài)值，而是稱為平衡狀態(tài)值。（5）若初始時(shí)刻為t=t0，則三要素公式應(yīng)改為

y(t)=[y(t0+)-y

(∞)]e-(t-t0)/τ+y(∞)，t≥t05.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式（3）、三要素計(jì)算（歸納）下一頁前一頁第5-28頁返回本章目錄1、初始值y(0+)步驟（1）先計(jì)算uC(0-)和iL(0-)，然后由換路定律得

uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)（2）畫0+等效電路，求其它所求電壓、電流初始值。2、穩(wěn)態(tài)值y(∞)換路后t→∞時(shí)，電路進(jìn)入直流穩(wěn)態(tài)，此時(shí)，電容開路，電感短路。步驟：（1）換路后，電容開路，電感短路，畫出穩(wěn)態(tài)等效電阻電路。（2）求解該電路得穩(wěn)態(tài)(或平衡）值y(∞)。3、時(shí)常數(shù)τ對于一階RC電路，τ=R0C；對于一階RL電路，τ=L/R0；這里R0就是換路后從動(dòng)態(tài)元件C或L看進(jìn)去戴維南等效內(nèi)阻。5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式3、舉例下一頁前一頁第5-29頁返回本章目錄例1如圖(a)所表示電路，IS=3A，US=18V，R1=3Ω，R2=6Ω，L=2H，在t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)S閉合，求t≥0時(shí)iL(t)、uL(t)和i

(t)。解（1）求iL(0+)=iL(0-)=US/R1=6A（2）畫0+等效電路，如圖(b)。列節(jié)點(diǎn)方程得uL(0+)=6V，i(0+)=uL(0+)/6=1A（3）畫∞等效電路，如圖(c)。顯然有uL(∞)=0，

i(∞)=0，

iL(∞)=18/3+3=9A（4）計(jì)算時(shí)常數(shù)τ。R0=3//6=2Ωτ=2/2=1sτ=L/R0，5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式下一頁前一頁第5-30頁返回本章目錄（5）代入三要素公式得。5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式例2如圖6.5所表示電路，US=5V，IS=2A，R1=1Ω，R2=R3=4Ω，C=0.5F，在t<0時(shí)開關(guān)S位于“1”，電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)S由“1”閉合到“2”，經(jīng)過2s后，開關(guān)S又由“2”閉合到“3”。求t≥0時(shí)電壓uC(t)。

下一頁前一頁第5-31頁返回本章目錄解

(1)首先求出uC(0-

)。S接于1，電路直流穩(wěn)態(tài)。(2)當(dāng)0<t<2s時(shí)，開關(guān)S接于“2”，此時(shí)電路處于零輸入狀態(tài)，故穩(wěn)態(tài)值

uC(∞)=0；時(shí)常數(shù)τ1=R2C=4×0.5=2(s)，由換路定律，有

uC(0+)=uC(0-)=4V；代入三要素公式有uC(t)=4e-t/2(V)，0<t<2s,uC(2-)=4e-1=1.47(V)

(3)當(dāng)t>2s時(shí)，開關(guān)S閉合至“3”，由換路定律有

uC(2+)=uC(2-)=1.47V此時(shí)電路穩(wěn)態(tài)值

uC(∞)=(R2//R3)Is=2×2=4(V),時(shí)常數(shù)τ2=(R2//R3)C=1suC(t)=4-2.53e-(t-2)(V)，t≥2s5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式例3

如圖(a)所表示電路，R1=6Ω，R2=R4=6Ω，R3=3Ω，在t<0時(shí)開關(guān)S位于“1”，電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)S由“1”閉合到“2”。求t≥0時(shí)電流iL(t)和電壓u(t)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。下一頁前一頁第5-32頁返回本章目錄解

(1)首先求出iL(0-

)。S接于1，電路直流穩(wěn)態(tài)。電感短路，利用分流公式得：iL(0+)=

iL(0-)=3A(2)求解零狀態(tài)響應(yīng)iLZS(t)和uZS(t)。零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零，僅由獨(dú)立源所引發(fā)響應(yīng)；故iLZS(0+)=0，電感相當(dāng)于開路。畫出其0+等效電路，如圖(b)所表示，所以uZS(0+)=

uZS(∞)=iLZS(∞)=uf(∞)/R3=3/3=1(A)

R0=(Ω)

τ=L/R0=0.5s

iLZS(t)=1-e-2t(A)，uZS(t)=3+3e-2t(V)，t≥0

5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式下一頁前一頁第5-33頁返回本章目錄(3)求解零輸入響應(yīng)iLx(t)和ux(t)。零輸入響應(yīng)是令外加激勵(lì)均為零，僅由初始狀態(tài)所引發(fā)響應(yīng)；故iLSI(0+)=iL(0+)=3A，電壓源US短路，畫出其0+等效電路，如圖(c)所表示，uSI(0+)=-

(R2//R4)

iLx(0+)=-3×3=-9(V)

uZI(∞)=0，iLZI(∞)=0，時(shí)常數(shù)同前；

iLZI(t)=3e-2t(A)，uZI(t)=-9e-2t(V)，t≥0【評注】本題中，求u(t)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，也可利用以下方法：先用三要素法求出iL(t)全響應(yīng)，iL(t)=iL(0+)e-t/τ+iL(∞)（1-e-t/τ），其中iLZI(t)=iL(0+)e-t/τ，iLZS(t)=iL(∞)（1-e-t/τ），即若所求響應(yīng)為iL(t)或uC(t)時(shí)，可直接從全響應(yīng)三要素公式中把其零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分離出。之后，利用u(t)=R3iL(t)+=R3[iLx(t)+iLf(t)]+從而ux(t)=R3iLx(t)+，uf(t)=R3iLf(t)+5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式例4如圖(a)所表示電路，在t<0時(shí)開關(guān)S是斷開，電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)S閉合。求t≥0時(shí)電流i(t)。下一頁前一頁第5-34頁返回本章目錄解分析

開關(guān)S閉合后電路變?yōu)閮蓚€(gè)一階電路，先利用三要素法分別求出兩個(gè)一階電路電流i1(t)和i2(t)，然后利用KCL求得i(t)=i1(t)+i2(t)。

t=0-時(shí)開關(guān)S斷開，電路為直流穩(wěn)態(tài)，

iL(0+)=iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)

uC(0+)=uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL=2/(2//2+1)=1s

畫出換路后0+等效電路如圖(d)所表示。

i1(0+)=2A，i2(0+)=1A。

i1(∞)=0，i2(∞)=1.5A

i1(t)=2e-0.5t(A)，i2(t)=1.5-0.5e-t(A)，t≥0i(t)=i1(t)+i2(t)=2e-0.5t+1.5-0.5e-t(A)，t≥05.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式下一頁前一頁第5-35頁返回本章目錄例5如圖(a)所表示電路，在t<0時(shí)開關(guān)S位于b點(diǎn)，電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)S由b點(diǎn)切換至a點(diǎn)。求t≥0時(shí)電壓uC(t)和電流i(t)。解化簡電路。進(jìn)行戴維南等效。uC(0+)=uC(0-)=-5VuC(∞)=10VτC=R0C=1×0.1=0.1s利用三要素公式，得回到原電路計(jì)算電流i(t)。2i(t)+uC(t)–12=0。5.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式下一頁前一頁第5-36頁返回本章目錄此次課作業(yè)：

5－12，5－16，5－19，5－225.5一階電路的全響應(yīng)——三要素公式一、階躍函數(shù)下一頁前一頁第5-37頁返回本章目錄5.6一階電路的階躍響應(yīng)單位階躍函數(shù)用ε(t)表示，其定義為：該函數(shù)在t=0處發(fā)生單位躍變，波形如圖(a)。階躍函數(shù)應(yīng)用之一是描述一些情況下開關(guān)動(dòng)作。如圖(b)所表示開關(guān)動(dòng)作，表示在t=0時(shí)把電路接入1V直流源時(shí)u(t)值，即：u(t)=ε(t)V電路簡畫為圖(c)。若單位直流電源接入時(shí)刻為t0，則可用延遲單位階躍函數(shù)表示，其波形如圖(d)。階躍函數(shù)另一個(gè)主要應(yīng)用是能夠簡練地表示一些信號。下一頁前一頁第5-38頁返回本章目錄如圖(a)矩形脈沖信號，能夠看成是圖(b)和(c)兩個(gè)階躍信號之和。f(t)=Aε(t)-Aε(t–t0)f1(t)=2ε(t)-4ε(t–1)+2ε(t–2)f2(t)=2ε(t)+2ε(t–1)–2ε(t–2)–2ε(t–3)另外，還能夠用ε(t)表示任意函數(shù)作用區(qū)間。

f3(t)=t[ε(t)-ε(t–1)]，畫出波形。5.6一階電路的階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)下一頁前一頁第5-39頁返回本章目錄1、定義：當(dāng)激勵(lì)為單位階躍函數(shù)ε(t)時(shí)，電路零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用g(t)表示。單位階躍函數(shù)ε(t)作用于電路相當(dāng)于單位直流源(1V或1A)在t=0時(shí)接入電路，所以，一階電路階躍響應(yīng)仍可用三要素法求得。2、線性時(shí)不變電路性質(zhì)：（1）零狀態(tài)響應(yīng)與外加激勵(lì)之間滿足齊次性和疊加性(稱零狀態(tài)線性)。即，若f1