2022屆天津市和平區(qū)名校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則（）A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，當(dāng)陽馬體積的最大值為時，塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．4．等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：（1）四面體EBCD的體積有最大值和最小值；（2）存在某個位置，使得；（3）設(shè)二面角的平面角為，則；（4）AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓.其中，正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人6．秦九韶是我國南寧時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、，則輸出的值為（）A． B． C． D．7．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算最強8．第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務(wù)，要求每個人都要被派出去提供服務(wù)，且每個場地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．9．在中，點為中點，過點的直線與，所在直線分別交于點，，若，，則的最小值為（）A． B．2 C．3 D．10．函數(shù)，，則“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．函數(shù)在上為增函數(shù)，則的值可以是()A．0 B． C． D．12．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒有零點；④在上只有一個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率________.14．古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)15．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為__________．16．已知，滿足約束條件則的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中，依據(jù)評分細則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀合格總計男生6女生18合計60已知在該班隨機抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測評結(jié)果有關(guān)系？（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡單隨機抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析，請你選擇一個合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02418．（12分）已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個值，當(dāng)時，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）設(shè)，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)函數(shù).①若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點；②求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）點是曲線上的一點，試判斷點與曲線的位置關(guān)系．21．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)拋物線過點.（1）求拋物線C的方程；（2）F是拋物線C的焦點，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，將化簡為關(guān)于的形式，結(jié)合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因為，且，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結(jié)果；（2）將變形為，利用的值求出結(jié)果.3．B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng).4．C【解析】

解：對于（1），當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方時，E到平面BCD的距離最大，當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方時，E到平面BCD的距離最小，∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值，故（1）正確；對于（2），連接DE，若存在某個位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，則AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，進一步可得AE＝DE，此時E﹣ABD為正三棱錐，故（2）正確；對于（3），取AB中點O，連接DO，EO，則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角，為θ，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正確；對于（4）AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，P到BC的距離為：dP﹣BC，因為＜1，所以點P的軌跡為橢圓．（4）正確．故選：C．點睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析，得到結(jié)果，注意對知識點的靈活運用.5．D【解析】

先求得名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

列出循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得：輸入，，，；第一次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第三次循環(huán)，，，，跳出循環(huán)；輸出.故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)算法框圖計算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算為80分，不是最強的，故D錯誤；故選：D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

由，，三點共線，可得，轉(zhuǎn)化，利用均值不等式，即得解.【詳解】因為點為中點，所以，又因為，，所以．因為，，三點共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為1．故選：B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.10．B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】設(shè)，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對稱”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“的圖象關(guān)于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.11．D【解析】

依次將選項中的代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，在上不單調(diào)，故A不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故B不正確；當(dāng)時，在上不單調(diào)，故C不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.12．A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點情況得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，且，所以在上只有一個零點.所以正確結(jié)論的編號②④故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出拋物線焦點坐標(biāo)，由，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算得，直線方程為，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得，，從而可求得，得斜率．【詳解】由得，即聯(lián)立得解得或，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線與拋物線相交，考查向量的線性運算的坐標(biāo)表示．直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元，應(yīng)用韋達定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法．14．1．【解析】試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1．考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題．點評：本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景，利用分步原理正確計數(shù)，本題較抽象，計數(shù)時要考慮周詳．15．16.【解析】由題意可知拋物線的焦點，準(zhǔn)線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設(shè)點由跟與系數(shù)的關(guān)系得，同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離∴，同理∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為16點睛：（1）與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以使運算化繁為簡．“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．16．【解析】

畫出可行域，通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知：可行域是由三點，，構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，當(dāng)直線過點時，取得最小值.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”（3）見解析.【解析】

（1）由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20，這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表計算，比較后可得；（3）由于性別對結(jié)果有影響，因此用分層抽樣法．【詳解】解：（1）優(yōu)秀合格總計男生62228女生141832合計204060（2）由于，因此在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”.（3）由（2）可知性別有可能對是否優(yōu)秀有影響，所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生，這樣得到的結(jié)果對學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會比較符合實際情況.【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查分層抽樣的性質(zhì)．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．屬于中檔題．18．（1）（2）【解析】

（1）求解不等式，結(jié)合整數(shù)解有且僅有一個值，可得，分類討論，求解不等式，即得解；（2）轉(zhuǎn)化，使得成立為，利用不等式性質(zhì)，求解二次函數(shù)最小值，代入解不等式即可.【詳解】（1）不等式，即，所以，由，解得．因為，所以，當(dāng)時，，不等式等價于或或即或或，故，故不等式的解集為．（2）因為，由，可得，又由，使得成立，則，解得或．故實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解和恒成立問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.19．（1）①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明見解析；（2）且；【解析】

（1）①令，結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可；②設(shè)切點橫坐標(biāo)為，求出切線方程，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）求出的解析式，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）①當(dāng)時，函數(shù)，令，，則，，故，又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線，故函數(shù)在區(qū)間上有零點，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明：假設(shè)存在，使得直線是曲線的切線，切點橫坐標(biāo)為，且，則切線在點切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，又函數(shù)在時，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，，，令，則，，當(dāng)時，遞減，故當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，故在處取得極大值，不合題意；時，則在遞減，在，遞增，①當(dāng)時，，故在遞減，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，，易證，令，，令，故，則，故在遞增，則，即時，，故在，內(nèi)存在，使得，故在，上遞減，在，遞增，故在處取得極小值．②由（1）知，，故在遞減，在遞增，故時，，遞增，不合題意；③當(dāng)時，，當(dāng)，時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，故在處取極小值，符合題意，綜上，實數(shù)的范圍是且．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．20．（1）（2）點在曲線外．【解析】

（1）先消參化曲線的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標(biāo)方程；（2）由點是曲線上的一點,