中考數學相似三角形專題復習

2020年中考數學相像三角形專題復習2020年中考數學相像三角形專題復習19/19蒄PAGE19螀螀蒁莄蕆螄薄羈膁聿衿羃膆蚄薄艿薂蟻2020年中考數學相像三角形專題復習2020年中考數學相像三角形專題復習

選擇題

如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點，DE∥BC，點F

為BC邊上一點，連接AF交DE于點G，則以下結論中必然正確的選項是

（C）。

ADAEAGAEBDCEAGACAAB=ECB.GF=BDC.AD=AEDAF=EC2.如圖，△ABC中，AD是中線，BC=8,∠B=∠DAC,則線段AC的長為（B）

A.4B42C6D43

如圖，把△ABC沿著BC的方向平移到△DEF的地址，它們重疊部分的面積是△ABC面積的一半，若BC=3，則△ABC搬動的距離是（D）A

3

2

B

3

3

C

6D3-622

如圖，在□ABCDK中，AC，BD訂交于點O，點E是OA的中點，連

接BE并延長交AD于點F，已知S△AEF=4,則以下結論：①AF

FD

1=2;

②

S△BCE=36;

③

S△AEB=12;

④△AEF∽△ACD其中正確的

是（D）

A①②③④

B①④

C②③④

D①②③

如圖，已知在△ABC，P為AB上一點，連接CP，以下各條件中不

能判斷△

ACP∽△ABC的是（

D

）

A.∠ACP=∠BB.

∠ACB=∠APCC.

AC

=AB

D.

AC

=CP

AP

AC

AB

BC

如圖，若A、B、C、D、E、F、G、H、O都是5×7方格紙中的格點，為使△DME∽△ABC,則點M應是F、G、H、O四點中的（C）

6.如圖，P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線

截△ABC，使截得的三角形與△ABC相像，滿足這樣的條件的直線共

有（C）

條條條條

7.如圖，Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4,P是BC邊上一點，作PE

AB，于E，PD⊥AC于D，設PB=x，則PD+PE=()

A.X+3xC.7D.12x-12x2552525

8.在同一時辰，身高

米的小強在陽光下的影長為

米，一棵大

樹的影長為

米，則樹高為（

C）

米

B.

米

C.米

D.10

米

如圖，每個小正方形邊長均為1，則以下列圖中三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相像的是（B）

9.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊的中點，

若BC=6，則DE等于（C）

B.4C.3D.2

10.如圖，小東用長為米的竹竿做測量工具測量學校旗桿的高度，

搬動竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時，

竹竿與這一點相距8米，與旗桿相距22

米，則旗桿的高為（B）

C.8mD.7m

填空題

1.如圖，DE∥BC,AD:DB=2:3,則△ADE與△ABC的周長之比為_2:5___;

面積之比為___4:25___.

2.在△ABC中,AB=6,AC=5,點D在邊AB上,且AD=2,點E在邊AC上,當AE=_12_或_15時,以A,D,E為極點的三角形與△ABC相像.53

3.如圖,直線a∥b∥c,直線l1,l2與這三條平行線分別交于A,B,C和點D,E,F若

AB:BC=1:2,DE=3,則EF

的長為

4.如圖,△ABC中,A,B兩個極點在x

軸的上方,點C的坐標是(-1,0),以點C為位似中心,在x軸下方作△

ABC的位似圖形△A`B`C`,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點

B的對應點B`的橫坐標是2,則點B的橫坐標是

05.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=15,AC=20,點D在邊AC上,AD=5,DE⊥BC于點E,連接AE,則△ABE的面積等于___78

在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，△DOE的面積是2，△D0A

的面積___4__

7.如圖，已知△ABC的面積是3的等邊三角形，△ABC~△ADE，AB=2AD,

0與DE訂交于點F，則△AEF的面積∠BAD=45,AC等于____3-3__（結果保留根號）4

如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請增加一個適

當的條件，使△ABC~△ACD,____∠ACD=∠ABD____

在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使⊿CBF∽⊿CDE，則BF的長為

15.在直角坐標中,已知點A(-2,0),B(0,4),C(0,3),過點C的直線交x

軸于點D,使得以D,O,C為極點的三角形與∽⊿AOB相像,這樣的直線

最多可以作___4_條.

三.解答題

如圖，在銳角三角形ABC中，點D分別在邊AC,AB上，AG⊥DE于

點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.

求證：△ADE≌△ABC;

若AD=3,AB=5,求AF的值。AG

解：(1)∵AG⊥DE，AF⊥DE，

0∴∠AFE=∠AGC=90

∵∠EAF=∠GAC,

∴∠AED=∠ACB,

∵∠EAD=∠BAC,

∴△ADE∽△ABC

由(1)可知△ADE∽△ABC，

AD=AE=3,ABAC5

0由(1)知∴∠AFE=∠AGC=90

∴∠EAF=∠CAG,

∴△EAF∽△CAG,AF=AE,∴AF=3AGACAG5

如圖，在邊長為1的正方形網格中建立平面直角坐標系，已知△ABC

三個極點分別為A(-1,2),B(2,1),

C(4,5).

畫出△ABC關于軸對稱的△A1B1C1;

以原點O為位似中心，在軸的上方畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC

位似且位似比為2,并求出△A2B2C2的面積.

解：(1)以下列圖，△A1B1C1就是所求三角形；

以下列圖，△A2B2C2就是所求三角形，

A(-1,2),B(2,1),C(4,5)，△A2B2C2與△ABC位似且位似比為2,

A2(-2,4),B2(4,2),C2(8,10).

S△A2B2C2=8×10-1×6×2-1×4×8-1×6×10=28222

如圖，在□ABCD中過點A作AE⊥DC,垂足為E,連接BE,F為上一點,

且∠AFE=∠D.

求證:△ABF∽△BEC

若AD=5,AB=8,sin∠D=45,求AF的長.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,

0∴∠D+∠C=180,∠ABF=∠BEC,

0∵∠AFB+∠AFE=180,

∴∠C=∠AFB,

∴△ABF∽△BEC.

(2)解：∵AG⊥DE，AB∥CD,

0∴∠AED=∠BAE=90。

在Rt△ABE中，依照勾股定理得：BE=AB2+AE2=42+82=45.

在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠D=5×4=4，5

BC=AD=5,

由(1)得：△ABF∽△BEC，

∴AF=AB,即AF=8,BCBE545解得：AF=520,4.在Rt△ABC中,∠ACB=90點D與點B在AC同側,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,過點B作BE∥DA交DC于點E,M為AB的中點,連接MD,ME.

0(1)如圖1,當∠ADC=90時，線段MD與ME的數量關系是__MD=ME___;

0(2)如圖2,當∠ADC=60時，試試究線段MD與ME的數量關系,并證明你的結論;

ME(3)如圖3,當∠ADC=α時,求MD的值.

解：（1）如圖1，延長EM交AD于F,

BE∥DA,∴∠FAM=∠EBM,

AM=BM,∠AMF=∠BME,

∴△AMF≌△BME,

AF=BE,MF=ME,

0∵DA=DC,∠ADC=90,0∴∠BED=∠ADC=90,

0∠ACD=45,

0∵∠ACB=90,0∴∠ECB=45,

0∴∠EBC=∠BED-∠ECB=45=∠ECB,

EC=BE,

AF=CE,

DA=DC,

DF=DE,

DM⊥EF,DM均分∠ADC,

0∴∠MDE=45,

MD=ME.

(2)MD=3ME,原由：

如圖2，延長EM交AD于F，

BE∥DA,

∴∠FAM=∠EBM,

AM=BM,∠AMF=∠BME,

∴△AMF≌△BME,∴AF=BE,MF=ME,

0∵DA=DC,∠ADC=60,

00∴∠BED=∠ADC=60,∠ACD=60,0∵∠ACB=90,00∴∠ECB=30,∴∠EBC=∠BED-∠ECB=30=∠ECB,∴EC=BE,∴AF=CE,∵DA=DC,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM均分∠ADC,0∴∠MDE=30,ME3在Rt△MDE中，tan∠MDE==MD3∴MD=3ME.

(3)如圖3，延長EM交AD于F，

∵BE∥DA,

∴∠FAM=∠EBM,

∵AM=BM,∠AMF=∠BME,

∴△AMF≌△BME,

∴AF=BE,MF=ME,

延長BE交AC于點N，

∴∠BNC=∠DAC,

∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC,

0∵∠ACB=90,∴∠ECB=∠EBC,∴EC=BE,∴AF=CE,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM均分∠ADC,∴∠MDE=α,∴∠MDE=α2MEα在Rt△MDE中，tan∠MDE==tanMD2∴ME=tanαMD.2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段

AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰幸好同素來線上，此時作P′E⊥AC于點E．

1）求證：∠CBP=∠ABP；

2）求證：AE=CP；

3）當，BP′=5時，求線段AB的長．

解：（1）證明：∵AP′是AP旋轉獲取，

AP=AP′，

∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），∴∠CBP=∠ABP；

（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB

于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，

∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE=DP，

，

AE=CP；

（3）解：∵=，

∴設CP=3k，PE=2k，

則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E==4k，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），∴∠CBP=∠EP′P，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，

∴△ABP′∽△EPP′，

∴=，

即=，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，AB2′22′，+PA=BP即AB2+AB2=（5）2，

解得AB=10．

如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=

BAC．

1）求證：PA為⊙O的切線；

2）若OB=5，OP=，求AC的長．

解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°．

又∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠B，

∴∠BAC+∠AOP=90°．

∵∠P=∠BAC．

∴∠P+∠AOP=90°，

∴由三角形內角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．

又∵OA是的⊙O的半徑，

∴PA為⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，

∴OA=OB=5．

又∵OP=，

∴在直角△APO中，依照勾股定理知PA=

由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．

∵∠BAC=∠P，

∴△ABC∽△POA，

=，

=．

=，

解得AC=8．即AC的長度為8．

7.在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．

1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．

2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

解：（1）證明：如圖1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．

AC：AB=1：2，∴AB=2AC，

點E為AB的中點，∴AB=2BE，∴AC=BE．

在△ACD與△BEF中，

，

∴△ACD≌△BEF，

CD=EF，即EF=CD；

2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四邊形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

sin∠B==，

EQ=BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

cos∠AEH==，

EH=AE．

∵點E為AB的中點，∴BE=AE，

EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．

8.如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側，∠A=∠C=90°，

BD⊥BE，AD=BC．

1）求證：AC=AD+CE；

2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接