高等數(shù)學(xué)課件：5-6反常積分

無窮限的反常積分無界函數(shù)的反常積分小結(jié)思考題作業(yè)第六節(jié)反常積分(廣義積分)improperintegral第五章定積分1常義積分積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限反常積分反常積分推廣2反常積分一、無窮限的反常積分一個(gè)固定的點(diǎn)電荷+q產(chǎn)生的電場(chǎng),當(dāng)單位正電荷從r=a沿徑向移到r=b處時(shí),(k是常數(shù)).單位正電荷從r=a移到無窮遠(yuǎn)時(shí),對(duì)場(chǎng)內(nèi)其它電荷有作用力,由庫倫定律知,距q為r單位的正電荷受到的電場(chǎng)力,其方向與徑向一致指向外,大小為電場(chǎng)力所作的功稱為該電場(chǎng)在這兩點(diǎn)處的電位差.電場(chǎng)力所需作的功稱為該電場(chǎng)在點(diǎn)a處的電位.3反常積分例試求a、b兩點(diǎn)的電位差及a點(diǎn)的電位.解a、b兩點(diǎn)的電位差令即得a點(diǎn)處的電位這里計(jì)算了一個(gè)類似的實(shí)例還有:無界域的面積,問題,上限無限增大的定積分的極限.第二宇宙速度電容器放電問題等等.4

定義1即當(dāng)極限存在時(shí),稱反常積分當(dāng)極限不存在時(shí),稱反常積分如果極限存在,反常積分則稱這個(gè)極限值反常積分,(1)收斂;發(fā)散.5即當(dāng)極限存在時(shí),稱反常積分當(dāng)極限不存在時(shí),稱反常積分存在,如果極限反常積分則稱這個(gè)極限值反常積分,(2)收斂;發(fā)散.6如果反常積分和都收斂,則稱上述兩反常積分之和為函數(shù)稱反常積分反常積分上的反常積分,即收斂;記作發(fā)散.否則稱反常積分(3)7注為了方便起見,規(guī)定:對(duì)反常積分可用如下的簡(jiǎn)記法使用N--L公式,這時(shí)反常積分的收斂與發(fā)散取決于和是否存在.反常積分8例計(jì)算反常積分解反常積分反常積分的積分值的幾何意義9例計(jì)算反常積分解反常積分10例

解考慮由于被積函數(shù)為奇函數(shù),積分區(qū)間又為對(duì)稱區(qū)間,由定義可知因而反常積分?只有上述兩個(gè)極限都存在時(shí),才能使反常但是上述兩個(gè)極限都不存在.故知積分收斂.11為對(duì)稱區(qū)間.其錯(cuò)誤的原因在于認(rèn)定不成立的.注對(duì)于反常積分來說,對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)反常積分各不相關(guān).12證反常積分例證明反常積分收斂,發(fā)散.13證因此收斂,其值為發(fā)散.{反常積分例證明反常積分*14并求其值.令反常積分例證明解15反常積分16反常積分練習(xí)1.計(jì)算

2002年考研數(shù)學(xué)(一)填空3分解2.位于曲線下方,x軸上方的無界圖形的面積是解

2002年考研數(shù)學(xué)(二)填空3分17定義2即當(dāng)極限不存在時(shí),稱廣義積分則稱此極限為仍然記為如極限存在,也稱廣義積分函數(shù)反常積分二、無界函數(shù)的反常積分(瑕積分)廣義積分,收斂;發(fā)散.瑕點(diǎn)(1)18否則,則定義如極限存在,反常積分(2)瑕點(diǎn),稱廣義積分發(fā)散.19如果則定義否則,就稱廣義積分發(fā)散.都收斂,反常積分(3)瑕點(diǎn),兩個(gè)廣義積分注如瑕點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部,分別討論各段廣義積分.通常用瑕點(diǎn)將區(qū)間分開,20例計(jì)算廣義積分解反常積分為瑕點(diǎn),這個(gè)反常積分值的直線x=0與x=a位于曲線x軸之上,之間的圖形面積.幾何意義之下,21注為了方便起見,反常積分由N—L公式,則反常積分規(guī)定:若存在，22例計(jì)算反常積分解故原反常積分發(fā)散.反常積分23證{反常積分收斂,其值為反常積分發(fā)散.反常積分例證明反常積分*24例求解反常積分發(fā)散.也發(fā)散.注錯(cuò)誤的做法:25例

解注此反常積分經(jīng)變量代換化成了定積分.反常積分26例

下面是練習(xí)發(fā)散無窮區(qū)間上無界函數(shù)的反常積分發(fā)散,發(fā)散.發(fā)散.反常積分27例

解試用分段函數(shù)表示反常積分28試用分段函數(shù)表示反常積分29無界函數(shù)的反常積分(瑕積分)無窮限的反常積分注意反常積分三、小結(jié)

1.不要與常義積分混淆;

2.不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn).