動(dòng)點(diǎn)軌跡求法(六部分全)

.z.動(dòng)點(diǎn)軌跡求法一考點(diǎn)分析解析幾何的主要考點(diǎn)是：〔1〕直線與方程，重點(diǎn)是直線的斜率、直線方程的各種形式、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等；〔2〕圓與方程，重點(diǎn)是確定圓的幾何要素、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、直線與圓和圓與圓的位置關(guān)系，以及坐標(biāo)法思想的初步應(yīng)用；〔3〕圓錐曲線與方程，重點(diǎn)是橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，曲線與方程的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法等．二命題趨勢(shì)解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，其核心內(nèi)容是直線和圓以及圓錐曲線．由于平面向量可以用坐標(biāo)表示，因此以坐標(biāo)為橋梁，可以使向量的有關(guān)運(yùn)算與解析幾何中的坐標(biāo)運(yùn)算產(chǎn)生聯(lián)系，平面向量的引入為高考中解析幾何試題的命制開拓了新的思路，為實(shí)現(xiàn)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題提供了良好的素材．解析幾何問題著重考察解析幾何的根本思想，利用代數(shù)的方法研究幾何問題的根本特點(diǎn)和性質(zhì)．解析幾何試題對(duì)運(yùn)算求解能力有較高的要求．解析幾何試題的根本特點(diǎn)是淡化對(duì)圖形性質(zhì)的技巧性處理，關(guān)注解題方向的選擇及計(jì)算方法的合理性，適當(dāng)關(guān)注與向量、解三角形、函數(shù)等知識(shí)的交匯，關(guān)注對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般思想的考察，關(guān)注對(duì)整體處理問題的策略以及待定系數(shù)法、換元法等的考察．在高考試卷中該局部一般有1至2道小題有針對(duì)性地考察直線與圓、圓錐曲線中的重要知識(shí)和方法；一道綜合解答題，以圓或圓錐曲線為依托，綜合平面向量、解三角形、函數(shù)等綜合考察解析幾何的根底知識(shí)、根本方法和根本的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用，這道解答題往往是試卷的把關(guān)題之一．三知識(shí)網(wǎng)絡(luò)直線的方程直線的方程平面內(nèi)兩條位置關(guān)系兩直線平行兩直線重合兩直線相交兩直線垂直兩直線斜交傾斜角與斜率傾斜角α［00，1800〕和斜率k=tanα的變化直線方程點(diǎn)斜式：斜截式：兩點(diǎn)式：截距式：一般式：注意〔1〕截距可正，可負(fù)，也可為0；〔2〕方程各種形式的變化和適用范圍.距離點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)線距線線距兩直線夾角圓的方程圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程：〔*-a〕2+〔y-b〕2=r2一般方程：*2+y2+D*+Ey+F=0(D2+E2-4F>0圓的方程空間兩點(diǎn)間距離、中點(diǎn)坐標(biāo)公式點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外相離直線和圓的位置關(guān)系相交相切空間直角坐標(biāo)系圓和圓的位置關(guān)系相離相切相交圓錐曲線圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關(guān)系曲線與方程求曲線的方程畫方程的曲線求兩曲線的交點(diǎn)雙曲線軌跡方程的求法：直接法、相關(guān)點(diǎn)法、定義法、幾何法等拋物線橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)相交相切相離弦長(zhǎng)范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸〔實(shí)軸〕、短軸〔虛軸〕漸近線〔雙曲線〕、準(zhǔn)線、離心率?！餐◤?、焦半徑〕四考點(diǎn)對(duì)接1直接法：用直接法求軌跡方程的步驟：〔1〕恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系〔如已經(jīng)建立，此步可以省略〕；〔2〕設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(*，y)為軌跡上任意一點(diǎn)；〔3〕用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)P〔*，y〕表示問題中的幾何關(guān)系，列出等式關(guān)系；〔4〕化簡(jiǎn)并整理得軌跡方程。注意：如果含有參數(shù)，則必須進(jìn)展討論。2相關(guān)點(diǎn)法：有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照*種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)"轉(zhuǎn)移〞到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱做轉(zhuǎn)移法。用轉(zhuǎn)移法求軌跡的大致步驟是：〔1〕設(shè)所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P〔*，y〕，再設(shè)具有*種運(yùn)動(dòng)規(guī)律f〔*，y〕=0上的動(dòng)點(diǎn)Q〔*,Y〕；〔2〕找出P、Q之間坐標(biāo)的關(guān)系式，并表示為：〔3〕將*,Y代入f〔*，y〕=0，即得所求軌跡方程。3交軌法：如果所求軌跡是由兩條動(dòng)曲線〔包括直線〕的交點(diǎn)所得，其一般解法是恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)一個(gè)參數(shù)，寫出兩條動(dòng)曲線的方程，消去參數(shù)，即得所求的軌跡方程，所以交軌法是參數(shù)法的一種特殊情況。4待定系數(shù)法：假設(shè)所求軌跡是指定類型的曲線,可根據(jù)曲線名稱先設(shè)出其含有待定系數(shù)(參數(shù))的方程,然后由題設(shè)條件建立含參方程組,并借助方程工具解出參數(shù)獲解.這種方法可稱為待定系數(shù)法.5定義法：如果動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足曲線的定義,則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn),恰當(dāng)運(yùn)用平面解析幾何知識(shí)去尋求其數(shù)量關(guān)系,再由曲線定義直接寫出方程,這種方法叫做定義法.6參數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn)P(*,y)的坐標(biāo)間關(guān)系不易直接求出時(shí),可通過中間變量(參數(shù))間接地表示出*、y,這就是動(dòng)點(diǎn)P的參數(shù)方程,消去參數(shù)便可得其普通方程,這種方法可稱為參數(shù)法.用參數(shù)法求軌跡方程的步驟是：建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系〔假設(shè)坐標(biāo)系已建立，可略去次步〕；設(shè)動(dòng)點(diǎn)P〔*，y〕為軌跡上任一點(diǎn)；根據(jù)條件，找出一個(gè)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)聯(lián)的另一個(gè)中間變量t為參數(shù)；利用有關(guān)條件確定該參數(shù)與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)*，y之間的相依關(guān)系，從而得到軌跡的參數(shù)方程；消去參數(shù)即可得到普通方程。7向量法：平面向量與解析幾何的交匯是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，一方面要能夠正確的分析向量表達(dá)式給出的條件，將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系，另一方面還要善于運(yùn)用向量的運(yùn)算解決相關(guān)的問題。8幾何法：動(dòng)點(diǎn)的幾何特征與平面幾何的定理有著直接或間接的聯(lián)系，且利用平面幾何的根本知識(shí)得到包含量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式，化簡(jiǎn)后即可得所求軌跡方程，用此法的關(guān)鍵在于所求軌跡的幾何條件與平面幾何知識(shí)的嚴(yán)密結(jié)合。9差值代入法求動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡方程：這類問題常見的兩種類型：斜率求平行弦中點(diǎn)的軌跡方程；過*定點(diǎn)作圓錐曲線的割線，求截得的弦中點(diǎn)軌跡方程；上述兩種類型均與弦的中點(diǎn)有關(guān)，因此可采用點(diǎn)差法求解。五典型例題1直接法：例1．一動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)的邊線的斜率等于這個(gè)動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，求此動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。解析：設(shè)P〔*,y〕，則，都可表示出來(lái)，從而據(jù)題設(shè)可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P〔*,y〕，則，，據(jù)題意可得：兩邊平方化簡(jiǎn)得：〔*y>o〕故所求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為〔*y>o〕例2直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q〔2，0〕，圓C的方程為，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。解：設(shè)MN切圓C于N，則。設(shè),則化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，方程為，表示一條直線。當(dāng)時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。2相關(guān)點(diǎn)法：例1．A〔2，0〕，B，點(diǎn)C在直線上移動(dòng)，求ABC重心G的軌跡方程。分析：重心G的運(yùn)動(dòng)是由點(diǎn)C在直線上運(yùn)動(dòng)引起的，因而設(shè)G〔*,y〕，再用表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，就可以建立起點(diǎn)G的軌跡方程。解：設(shè)G〔*,y〕,C∵G是ABC的重心，且A〔2，0〕，B，∴即又C在直線上∴，即化簡(jiǎn)得①∵A(2,0),B,共線的條件是，即解方程組得故方程①中含有軌跡外的一個(gè)點(diǎn)，應(yīng)刪除。從而ABC重心G的軌跡方程是例2.如下圖，P(4，0)是圓*2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程解設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(*,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(*2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(*－4)2+y2=36－(*2+y2),即*2+y2－4*－10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(*,y)，R(*1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以*1=,代入方程*2+y2－4*－10=0,得－10=0整理得*2+y2=56,這就是所求的軌跡方程3交軌法：例1．經(jīng)過點(diǎn)P〔4，0〕的直線，經(jīng)過Q〔-1，2〕的直線為，假設(shè)，求與交點(diǎn)S的軌跡方程。分析：設(shè)、的斜率為、，則可由可求之。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為〔*,y〕，設(shè)、的斜率為、，∵由有，∴得：……①當(dāng)或時(shí)①式有解。∴S的軌跡方程為：例2.兩點(diǎn)P〔－2，2〕，Q〔0，2〕，以及直線l:y=*，設(shè)長(zhǎng)為的線段AB在l上移動(dòng)，如圖，求直線PQ和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程〔要求把結(jié)果寫成普通方程〕。MBQA*P·yO解：由A、B在y=*上，且|AB|=可設(shè)A〔MBQA*P·yO當(dāng)a≠o且a≠－1時(shí),直線PA的方程為:y－2=〔*+2〕…………⑴直線QB的方程為:y－2=*………⑵①當(dāng)=即a=o時(shí)，直線PA與QB平行，無(wú)交點(diǎn)。②當(dāng)a≠o時(shí)，由方程⑴⑵消去參數(shù)a并整理得－+=1……⑶，當(dāng)a=－1或a=－2時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)仍滿足方程⑶。所以所求交點(diǎn)M的軌跡方程為－=1。4待定系數(shù)法：例1．求與雙曲線有共同漸進(jìn)線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：雙曲線方程可設(shè)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：故所求雙曲線的方程為例2．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上一點(diǎn)，假設(shè)且，求雙曲線的方程．解：設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則或．故所求方程為或．5定義法：例1．設(shè)圓，過原點(diǎn)作圓的弦OA，求OA中點(diǎn)B的軌跡方程。解：由條件知，OC中點(diǎn)記為則故B點(diǎn)的軌跡方程是〔去掉原點(diǎn)〕例2.*檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2cm和一個(gè)直徑為1cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)適宜的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？解設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切建立如下圖的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則|PA|+|PO|=(1+r)+(15－r)=25∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)25的橢圓上，其方程為=1①同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，其方程為(*－)2+y2=1②由①、②可解得，∴r=故所求圓柱的直徑為cm6參數(shù)法：例1．A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且于P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)〔*，Y〕，直線OA的方程為y=k*，顯然，則直線OB的方程為由，解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為類似地可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為從而知當(dāng)時(shí)，故得直線AB的直線為即①直線OP的方程為②可知M點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足①、②由①及②消去k使得即，但當(dāng)時(shí)，容易驗(yàn)證P點(diǎn)的坐標(biāo)仍適合上述方程。故點(diǎn)P的軌跡方程為〔〕它表示以點(diǎn)〔2a,0〕為圓心，以2a為半徑的圓。例2、在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，拋物線y=*2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AO⊥BO〔如圖4所示〕.求△AOB的重心G〔即三角形三條中線的交點(diǎn)〕的軌跡方程；解：以O(shè)A的斜率k為參數(shù)由解得A〔k，k2〕∵OA⊥OB，∴OB：由解得B設(shè)△AOB的重心G〔*，y〕，則消去參數(shù)k得重心G的軌跡方程為7向量法：例1.設(shè)橢圓方程為,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足,點(diǎn)N的坐標(biāo)為.當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),求(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;解設(shè)，代入中消得.設(shè)則設(shè)，則，消得當(dāng)不存在時(shí)，中點(diǎn)為〔0，0〕，滿足上述方程.所以P點(diǎn)軌跡方程是.例2如圖，設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線y2=4p*上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OA⊥OB，OM⊥AB，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線？解：點(diǎn)AB在拋物線y2=4p*上，設(shè)A(,y1),B〔,y2〕=(,y1),=(,y2),=(,y2－y1),y1≠0,y2≠0MyOBA*∵⊥,∴·+y1y2=0，即y1y2=－16MyOBA*設(shè)M〔*,y〕,則=(*,y),=(－*,y1－y),=(－*,y2－y),∵⊥∴*·+y〔y2－y1〕=0即*·+y=0,∵A、B、M三點(diǎn)共線，∴∥，即(－*)(y2－y1)=〔－*〕(y1－y)化簡(jiǎn)得y2+y1=∴*·+y=0*2+y2－4p*=0〔*、y不能同時(shí)為零〕即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。因?yàn)锳、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以*≠0,故點(diǎn)M軌跡是以〔2p,o〕為圓心,以2p為半徑的圓〔去掉原點(diǎn)〕。8幾何法：例1拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。解：點(diǎn)A、B在拋物線上，設(shè)A〔，B〔所以kOA=kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,又AB方程可求得，即〔yA+yB〕y--4p*--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程〔yA+yB〕y--4p*+16p2=0可得AB過定點(diǎn)〔4p,0〕而OM垂直AB，所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。所以方程為，除去點(diǎn)〔0，0〕。例2橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1〔－c，0〕、F2〔c，0〕，Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足求點(diǎn)T的軌跡C的方程；解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)〔，0〕和點(diǎn)〔－，0〕在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中，，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是9差值代入法求動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡方程：例1經(jīng)過拋物線y2=2p(*+2p)(p>0)的頂點(diǎn)A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求線段BC的中點(diǎn)M軌跡方程。解：A〔-2p,0〕,設(shè)直線AB的方程為y=k(*+2p)(k0).與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于AC與AB垂直，則AC的方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得C點(diǎn)的坐標(biāo)為，又M為BC中點(diǎn)，設(shè)M〔*,y〕,則，消去k得y2=p*,即點(diǎn)M的軌跡是拋物線。例2P是拋物線C：上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q。假設(shè)直線與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程?！矆D見教材P129頁(yè)例2〕。解：設(shè)由〔1〕得，過點(diǎn)P的切線的斜率，直線的斜率，直線的方程為〔2〕由得則。將上式代入〔2〕并整理，得PQ中點(diǎn)為M的軌跡方程為六專題演練根底訓(xùn)練A組一選擇題：1.橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線2.設(shè)A1、A2是橢圓=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C. D.3圓C與直線*－y=0及*－y－4=0都相切，圓心在直線*+y=0上，則圓C的方程為A.B.C.D.4.圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)〔1，2〕的圓的方程為〔〕A． B．C． D．5.點(diǎn)P〔4，－2〕與圓上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是〔〕A.B.C.D.二填空題：1.△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_________.2.高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________.3以點(diǎn)〔2，〕為圓心且與直線相切的圓的方程是.4圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線y=*+1對(duì)稱，直線3*+4y-11=05與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_______.過的直線l與圓C：(*-1)2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線的方程為.三解答題：1.A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.2.雙曲線=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.3.雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)m≠n時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.4.橢圓=1(a＞b＞0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(*+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.5A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線答案一選擇題：1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案：A2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(*,y〕,A1(－3,0),A2(3,0),P1(*0,y0),P2(*0,－y0)∵A1、P1、P共線，∴∵A2、P2、P共線，∴解得*0=答案：C3圓心在*＋y＝0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑EQ\r(2)即可.【答案】B4解法1〔直接法〕：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知，解得，故圓的方程為。解法2〔數(shù)形結(jié)合法〕：由作圖根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離為1易知圓心為〔0，2〕，故圓的方程為解法3〔驗(yàn)證法〕：將點(diǎn)〔1，2〕代入四個(gè)選擇支，排除B，D，又由于圓心在軸上，排除C。【答案】A5【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q〔s，t〕，PQ的中點(diǎn)為A〔*，y〕，則，解得：，代入圓方程，得〔2*－4〕2＋〔2y＋2〕2＝4，整理，得：【答案】A二填空題：1.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長(zhǎng)為,故方程為.答案：2.解析：設(shè)P(*,y〕，依題意有,化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為4*2+4y2－85*+100=0.答案：4*2+4y2－85*+100=03【解析】將直線化為,圓的半徑,所以圓的方程為【答案】4答案5答案三解答題：1.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為*軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為=1(y≠0)2.解：設(shè)P(*0,y0〕(*≠±a),Q(*,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由條件而點(diǎn)P(*0,y0)在雙曲線上，∴b2*02－a2y02=a2b2.即b2(－*2)－a2()2=a2b2化簡(jiǎn)得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2*2－b2y2=a4(*≠±a).3.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(*1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(*1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),則A1P的方程為：y= ①A2Q的方程為：y=－ ②①×②得：y2=－ ③又因點(diǎn)P在雙曲線上，故代入③并整理得=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)m≠n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.(ⅰ)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為*=±,離心率e=；(ⅱ)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.4.解：(1)∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(*0,y0〕,Q(*1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(*1+c)2+y12=(2a)又得*1=2*0－c,y1=2y0.∴(2*0)2+(2y0)2=(2a)2，∴*02+y02=a2.故R的軌跡方程為：*2+y2=a2(y≠0)(2)如右圖，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S△AOB最大值為a2.此時(shí)弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，5解建立坐標(biāo)系如下圖，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0〕,B(a,0)設(shè)M(*,y〕是軌跡上任意一點(diǎn)則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡(jiǎn)得(1－λ2)*2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)*+(1－λ2)a2=0(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是*=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸)(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是*2+y2+*+a2=0點(diǎn)M的軌跡是以(－，0〕為圓心，為半徑的圓綜合訓(xùn)練B組一選擇題：二填空題：5巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為．三解答題：1直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q〔2，0〕，圓C的方程為，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。2如圖，*建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP運(yùn)到P處，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，問怎能樣運(yùn)才能最省工？3圓O的方程為*2+y2=100,點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔-6，0〕，M為圓O上任一點(diǎn)，AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的方程。4如圖，從雙曲線*2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線*+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程。5橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).(1)求橢圓G的方程(2)求的面積(3)問是否存在圓包圍橢圓G"請(qǐng)說明理由.答案一選擇題：答案：1.C2.D3.D4.A5.A二填空題：答案：5【解析】，，，，則所求橢圓方程為.【答案】三解答題：1解：設(shè)MN切圓C于N，則。設(shè),則化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，方程為，表示一條直線。當(dāng)時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。2解：半圓上的點(diǎn)可分為三類：一是沿AP到P較近，二是沿BP到P較近，三是沿AP或BP一樣近。其中第三類的點(diǎn)位于前兩類的分界限上，設(shè)M為分界限上的任一點(diǎn)，則有，即，故M在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上。建立如圖直角坐標(biāo)系，得邊界的方程為,故運(yùn)土?xí)r為了省工，在雙曲線弧左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處，在曲線上面的土兩邊都可運(yùn)。3解：由中垂線知，故，即P點(diǎn)的軌跡為以A、O為焦點(diǎn)的橢圓，中心為〔-3，0〕，故P點(diǎn)的方程為4解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔*,y〕,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔*1,y1〕則N〔2*-*1,2y-y1〕代入*+y=2,得2*-*1+2y-y1=2①又PQ垂直于直線*+y=2，故，即*-y+y1-*1=0②由①②解方程組得,代入雙曲線方程即可得P點(diǎn)的軌跡方程是2*2-2y2-2*+2y-1=05解〔1〕設(shè)橢圓G的方程為：〔〕半焦距為c;則,解得,所求橢圓G的方程為：.(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔3〕假設(shè)，由可知點(diǎn)〔6，0〕在圓外，假設(shè)，由可知點(diǎn)〔-6，0〕在圓外；不管K為何值圓都不能包圍橢圓G.提高訓(xùn)練C組一選擇題：二填空題：1拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在*軸上，直線y=*與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為。2設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,假設(shè)△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為3A的坐標(biāo)是〔－2，0〕，B是圓F：〔〕上的動(dòng)點(diǎn)〔F為圓心〕，線段AB的垂直平分線交直線BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。4設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)。假設(shè)AB的中點(diǎn)為〔2，2〕，則直線l的方程為_____________.5巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為．三解答題：1設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.〔1〕求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;〔2〕,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;2曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域〔含邊界〕為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．〔1〕假設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；〔2〕假設(shè)曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值．3，橢圓C以過點(diǎn)A〔1，〕，兩個(gè)焦點(diǎn)為〔－1，0〕〔1，0〕。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。4橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系*Oy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.〔Ⅰ〕求橢圓C的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于*軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。5橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1〔1〕求橢圓的方程‘〔2〕假設(shè)為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過且垂