第二講 數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件

第二講：數(shù)學(xué)工具----Laplace變換

（2學(xué)時(shí)）１、定義與基本變換２、定理與技巧3、反變換4、求解微分方程

第二講：數(shù)學(xué)工具----Laplace變換

（2學(xué)時(shí)）1變換是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的技巧，比如，在初等數(shù)學(xué)中：令：對(duì)數(shù)變換利用對(duì)數(shù)變換，我們可以將正數(shù)的乘積運(yùn)算變?yōu)閷?duì)數(shù)的加法運(yùn)算。1、定義與基本變換變換是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的技巧，比如，在初令：對(duì)2又如，F(xiàn)ourier變換將時(shí)間域的實(shí)函數(shù)變換成頻率域的頻譜，即，正弦諧波的線性組合。對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)而言，我們要尋求能簡化微分方程求解過程的變換。一個(gè)好的變換至少要有如下2個(gè)特征：1、它的基本函數(shù)具有很大的覆蓋面，2、變換本身具有線性疊加性。

1、定義與基本變換又如，F(xiàn)ourier變換將時(shí)間域的實(shí)函數(shù)變換成頻率域的3Fourier變換就具有上述特性，1、它的基本函數(shù)為諧波函數(shù)，或純虛指數(shù)函數(shù)，它們的線性組合可以表示大部分常用的函數(shù)，2、基本函數(shù)線性組合的輸入導(dǎo)致的響應(yīng)是基本函數(shù)響應(yīng)的線性組合，只是組合系數(shù)發(fā)生變化。遺憾的是，F(xiàn)ourier變換的收斂條件比較嚴(yán)格。1、定義與基本變換Fourier變換就具有上述特性，14歷史從來都是選擇性記憶的，優(yōu)勝劣汰，大浪淘沙。只有好的工具才會(huì)流傳后世。Laplace變換就是這樣的數(shù)學(xué)工具，它對(duì)Fourier變換加以擴(kuò)展，以復(fù)指數(shù)函數(shù)為基本函數(shù)，將時(shí)間域的實(shí)函數(shù)變換成復(fù)頻率域的頻譜函數(shù)，將微分算子變成代數(shù)算子，非常方便。1、定義與基本變換歷史從來都是選擇性記憶的，優(yōu)勝劣汰5復(fù)變量和復(fù)變函數(shù)(1)

復(fù)變量：(2)復(fù)變函數(shù)：〉F(s)是函數(shù)，其自變量為s；s為復(fù)變量〉F(s)函數(shù)值也是復(fù)的〉除此之外，在一般情況下，F(xiàn)(s)與實(shí)函數(shù)無異1、定義與基本變換復(fù)變量和復(fù)變函數(shù)1、定義與基本變換6(3)復(fù)指數(shù)函數(shù)與尤拉定理：

1、定義與基本變換(3)復(fù)指數(shù)函數(shù)與尤拉定理：1、定義與基本變換7尤拉定理證明：有：所以：而：改寫所以1、定義與基本變換尤拉定理證明：1、定義與基本變換8函數(shù)f(t)的拉氏變換當(dāng)t<0,f(t)=0拉氏積分運(yùn)算符復(fù)變量

單邊、線性變換不追求數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，如收斂條件等。1、定義與基本變換一一映射函數(shù)f(t)的拉氏變換當(dāng)t<0,f(t)=0拉氏積分運(yùn)算符9由上式可以看出，Laplace變換是Fourier變換的推廣，一些工程上重要的函數(shù)，如階躍函數(shù)、指數(shù)增長函數(shù)等不滿足Fourier變換的收斂條件，但乘上一個(gè)合適的指數(shù)衰減因子后，就可以完成變換。當(dāng)s為純虛數(shù)時(shí)，函數(shù)的Laplace變換就是它的Fourier變換；當(dāng)s為復(fù)數(shù)時(shí)，函數(shù)的Laplace變換就是它與實(shí)部指數(shù)函數(shù)乘積的Fourier變換。1、定義與基本變換由上式可以看出，Laplace10基本時(shí)間函數(shù)及其Laplace變換(1)指數(shù)函數(shù)(2)階躍函數(shù)(3)斜坡函數(shù)(4)正弦函數(shù)(5)脈沖函數(shù)1、定義與基本變換基本時(shí)間函數(shù)及其Laplace變換1、定義與基本變換11例1、指數(shù)函數(shù)注意：在某一域內(nèi)復(fù)變函數(shù)F(s)及其所有導(dǎo)數(shù)皆存在，則稱該復(fù)變函數(shù)F(s)在該域內(nèi)是解析的。在復(fù)平面上有一個(gè)極點(diǎn)1、定義與基本變換為使積分收斂，這里假設(shè)(s+a)的實(shí)部大于零例1、指數(shù)函數(shù)注意：在某一域內(nèi)復(fù)變函數(shù)F(s)及其所有12例2階躍函數(shù)注意：A=1，稱其為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。階躍函數(shù)在t=0處是不確定的，相當(dāng)于在t=0處將一個(gè)直流信號(hào)突然加到系統(tǒng)上。1、定義與基本變換f(t)A0t例2階躍函數(shù)注意：A=1，稱其為單位階躍函數(shù)，記為113例3斜坡函數(shù)f(t)t0A1注意：A=1，稱其為單位斜坡函數(shù)。1、定義與基本變換例3斜坡函數(shù)f(t)t0A1注意：A=1，稱其為單位斜坡函14例3斜坡函數(shù)首先注意到：于是：1、定義與基本變換123例3斜坡函數(shù)1、定義與基本變換12315例4、正弦、余弦函數(shù)顯然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：1、定義與基本變換例4、正弦、余弦函數(shù)1、定義與基本變換16例5.1脈動(dòng)函數(shù)f(t)0t0tA/t01、定義與基本變換

例5.1脈動(dòng)函數(shù)f(t)0t0tA/t01、定義與基本變換17例5脈沖函數(shù)f(t)0t注意：A=1，稱其為單位脈沖函數(shù)，記為1、定義與基本變換和脈動(dòng)函數(shù)相比，脈沖函數(shù)“面積”不變，時(shí)間間隔為0。例5脈沖函數(shù)f(t)0t注意：A=1，稱其為單位脈沖函數(shù)18２、定理與技巧線性疊加原理是顯然的。

時(shí)域位移-------復(fù)域指數(shù)乘積0atf(t)的拉氏變換時(shí)域移位定理2.1時(shí)域函數(shù)平移２、定理與技巧線性疊加原理是顯然的。0atf(192.2與相乘例6復(fù)域位移-------時(shí)域指數(shù)乘積復(fù)域位移定理２、定理與技巧2.2與相乘復(fù)域位移定理202.3時(shí)間比例尺定理證明２、定理與技巧

2.3時(shí)間比例尺定理證明２、定理與技巧

21例7：已知于是：２、定理與技巧

例7：已知２、定理與技巧

22幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)２、定理與技巧

f(t)F(s)f(t)F(s)

幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)２、定理與技巧

f(t)F(s)f(t)232.4微分定理式中f(0)是f(t)在t=0處的初始值。同樣，對(duì)于f(t)的n階導(dǎo)數(shù)，則有２、定理與技巧

2.4微分定理２、定理與技巧

24

證：根據(jù)拉氏變換的定義有

原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到n階導(dǎo)函數(shù)的拉氏變換證：根據(jù)拉氏變換的定義有25注意：若時(shí)，f(t)極限不存在，也就不能用終值定理。如對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。2.5終值定理假定f(t)和df(t)/dt可以進(jìn)行拉氏變換，存在，并且F(s)在虛軸上無極點(diǎn)，在原點(diǎn)處無多重極點(diǎn)，即，sF(s)在包括虛軸的右半s平面內(nèi)解析，則有２、定理與技巧

注意：若時(shí)，f(t)極限26證：由微分定理有：等式兩邊對(duì)s趨向于0取極限第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件272.6初值定理假定f(t)和df(t)/dt可以進(jìn)行拉氏變換，存在，則有2.7積分定理式中在t=0處的值。證明方法同上。只是要對(duì)取極限。２、定理與技巧2.6初值定理證明方法同上。只是要對(duì)28證：令：由上述微分定理，有由上述微分定理，有29即：同理，對(duì)f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。

即：302.8卷積定理（了解）將記為，稱其為卷積，則有

即：兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積。２、定理與技巧2.8卷積定理（了解）即：兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩31證明：第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件32

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定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為由F(s)，可以按下式求出式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。拉氏變換與拉氏反變換，在時(shí)域函數(shù)和復(fù)頻域函數(shù)之間構(gòu)成了變換對(duì)。3、拉氏反變換定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變34

對(duì)于連續(xù)的時(shí)間函數(shù)來說，它與它的拉普拉斯變換之間保持一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。一一對(duì)應(yīng)f(t)F(s)3、拉氏反變換對(duì)于連續(xù)的時(shí)間函數(shù)來說，它與它的拉普拉斯變換之間35

直接按上式求原函數(shù)太過復(fù)雜！

求取拉普拉斯反變換的基本方法是，將復(fù)雜的F(s)展開成很多簡單項(xiàng)之和，分別求取簡單項(xiàng)的拉普拉斯反變換，再疊加得到f(t)。

3、拉氏反變換

3、拉氏反變換

36我們遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將它展開成部分分式之和。這些部分分式的拉氏變換通?？梢栽诒碇胁榈?。也就是：3、拉氏反變換

我們遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)37幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)f(t)F(s)f(t)F(s)

3、拉氏反變換幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)f(t)F(s)f(t)F(s)338

例8例9求的反變換。

39例10最后一項(xiàng)用到頻域平移性質(zhì)。第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件404、求解線性微分方程（1）對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，將線性微分方程變?yōu)閟的代數(shù)方程，然后整理代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換的表達(dá)式；（2）進(jìn)行拉氏反變換，可以得到線性微分方程的解。4、求解線性微分方程（1）對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換41例11求解

利用性質(zhì)2.2；并查拉氏變換對(duì)照表4、求解線性微分方程例11求解利用性質(zhì)2.2；并查拉氏變換對(duì)照表4、求解42

部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點(diǎn),這時(shí),F(s)總能展開成如下簡單的部分分式之和4、求解線性微分方程部分分式展開式的求法4、求解線性微分方程43例12例1244第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件45（2）情況2:F(s)有共軛極點(diǎn)例13求解微分方程同樣用到了頻域平移性質(zhì)。注意:出現(xiàn)衰減震蕩，ω=1（2）情況2:F(s)有共軛極點(diǎn)同樣用到了頻域平移性質(zhì)。注意46（3）情況3:F(s)有重極點(diǎn)

假若F(s)有L重極點(diǎn),而其余極點(diǎn)均不相同。那么（3）情況3:F(s)有重極點(diǎn)47第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件48例14求對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)解：兩邊同時(shí)乘以,有比較系數(shù)有：于是有：例14求對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)49第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件50也用到了頻域平移性質(zhì)。也用到了頻域平移性質(zhì)。51如果不記公式,可用以下方法求解如果不記公式,可用以下方法求解524、求解線性微分方程在求解微分方程的過程中，可以有如下結(jié)論：1、Laplace變換的確簡化了微分方程的求解。2、分母多項(xiàng)式又稱為特征多項(xiàng)式，特征方程即特征多項(xiàng)式等于0，其解稱為特征根或極點(diǎn)。

4、求解線性微分方程在求解微分方程的過程中，可以有如下結(jié)534、求解線性微分方程3、極點(diǎn)決定了解的結(jié)構(gòu)。

4、求解線性微分方程3、極點(diǎn)決定了解的結(jié)構(gòu)。54習(xí)題

E2.4,E2.21,E2.18,E2.29,

E2.30,P2.37（拉普拉斯變換與時(shí)間響應(yīng)求解）

習(xí)題55第二講：數(shù)學(xué)工具----Laplace變換

（2學(xué)時(shí)）１、定義與基本變換２、定理與技巧3、反變換4、求解微分方程

第二講：數(shù)學(xué)工具----Laplace變換

（2學(xué)時(shí)）56變換是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的技巧，比如，在初等數(shù)學(xué)中：令：對(duì)數(shù)變換利用對(duì)數(shù)變換，我們可以將正數(shù)的乘積運(yùn)算變?yōu)閷?duì)數(shù)的加法運(yùn)算。1、定義與基本變換變換是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的技巧，比如，在初令：對(duì)57又如，F(xiàn)ourier變換將時(shí)間域的實(shí)函數(shù)變換成頻率域的頻譜，即，正弦諧波的線性組合。對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)而言，我們要尋求能簡化微分方程求解過程的變換。一個(gè)好的變換至少要有如下2個(gè)特征：1、它的基本函數(shù)具有很大的覆蓋面，2、變換本身具有線性疊加性。

1、定義與基本變換又如，F(xiàn)ourier變換將時(shí)間域的實(shí)函數(shù)變換成頻率域的58Fourier變換就具有上述特性，1、它的基本函數(shù)為諧波函數(shù)，或純虛指數(shù)函數(shù)，它們的線性組合可以表示大部分常用的函數(shù)，2、基本函數(shù)線性組合的輸入導(dǎo)致的響應(yīng)是基本函數(shù)響應(yīng)的線性組合，只是組合系數(shù)發(fā)生變化。遺憾的是，F(xiàn)ourier變換的收斂條件比較嚴(yán)格。1、定義與基本變換Fourier變換就具有上述特性，159歷史從來都是選擇性記憶的，優(yōu)勝劣汰，大浪淘沙。只有好的工具才會(huì)流傳后世。Laplace變換就是這樣的數(shù)學(xué)工具，它對(duì)Fourier變換加以擴(kuò)展，以復(fù)指數(shù)函數(shù)為基本函數(shù)，將時(shí)間域的實(shí)函數(shù)變換成復(fù)頻率域的頻譜函數(shù)，將微分算子變成代數(shù)算子，非常方便。1、定義與基本變換歷史從來都是選擇性記憶的，優(yōu)勝劣汰60復(fù)變量和復(fù)變函數(shù)(1)

復(fù)變量：(2)復(fù)變函數(shù)：〉F(s)是函數(shù)，其自變量為s；s為復(fù)變量〉F(s)函數(shù)值也是復(fù)的〉除此之外，在一般情況下，F(xiàn)(s)與實(shí)函數(shù)無異1、定義與基本變換復(fù)變量和復(fù)變函數(shù)1、定義與基本變換61(3)復(fù)指數(shù)函數(shù)與尤拉定理：

1、定義與基本變換(3)復(fù)指數(shù)函數(shù)與尤拉定理：1、定義與基本變換62尤拉定理證明：有：所以：而：改寫所以1、定義與基本變換尤拉定理證明：1、定義與基本變換63函數(shù)f(t)的拉氏變換當(dāng)t<0,f(t)=0拉氏積分運(yùn)算符復(fù)變量

單邊、線性變換不追求數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，如收斂條件等。1、定義與基本變換一一映射函數(shù)f(t)的拉氏變換當(dāng)t<0,f(t)=0拉氏積分運(yùn)算符64由上式可以看出，Laplace變換是Fourier變換的推廣，一些工程上重要的函數(shù)，如階躍函數(shù)、指數(shù)增長函數(shù)等不滿足Fourier變換的收斂條件，但乘上一個(gè)合適的指數(shù)衰減因子后，就可以完成變換。當(dāng)s為純虛數(shù)時(shí)，函數(shù)的Laplace變換就是它的Fourier變換；當(dāng)s為復(fù)數(shù)時(shí)，函數(shù)的Laplace變換就是它與實(shí)部指數(shù)函數(shù)乘積的Fourier變換。1、定義與基本變換由上式可以看出，Laplace65基本時(shí)間函數(shù)及其Laplace變換(1)指數(shù)函數(shù)(2)階躍函數(shù)(3)斜坡函數(shù)(4)正弦函數(shù)(5)脈沖函數(shù)1、定義與基本變換基本時(shí)間函數(shù)及其Laplace變換1、定義與基本變換66例1、指數(shù)函數(shù)注意：在某一域內(nèi)復(fù)變函數(shù)F(s)及其所有導(dǎo)數(shù)皆存在，則稱該復(fù)變函數(shù)F(s)在該域內(nèi)是解析的。在復(fù)平面上有一個(gè)極點(diǎn)1、定義與基本變換為使積分收斂，這里假設(shè)(s+a)的實(shí)部大于零例1、指數(shù)函數(shù)注意：在某一域內(nèi)復(fù)變函數(shù)F(s)及其所有67例2階躍函數(shù)注意：A=1，稱其為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。階躍函數(shù)在t=0處是不確定的，相當(dāng)于在t=0處將一個(gè)直流信號(hào)突然加到系統(tǒng)上。1、定義與基本變換f(t)A0t例2階躍函數(shù)注意：A=1，稱其為單位階躍函數(shù)，記為168例3斜坡函數(shù)f(t)t0A1注意：A=1，稱其為單位斜坡函數(shù)。1、定義與基本變換例3斜坡函數(shù)f(t)t0A1注意：A=1，稱其為單位斜坡函69例3斜坡函數(shù)首先注意到：于是：1、定義與基本變換123例3斜坡函數(shù)1、定義與基本變換12370例4、正弦、余弦函數(shù)顯然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：1、定義與基本變換例4、正弦、余弦函數(shù)1、定義與基本變換71例5.1脈動(dòng)函數(shù)f(t)0t0tA/t01、定義與基本變換

例5.1脈動(dòng)函數(shù)f(t)0t0tA/t01、定義與基本變換72例5脈沖函數(shù)f(t)0t注意：A=1，稱其為單位脈沖函數(shù)，記為1、定義與基本變換和脈動(dòng)函數(shù)相比，脈沖函數(shù)“面積”不變，時(shí)間間隔為0。例5脈沖函數(shù)f(t)0t注意：A=1，稱其為單位脈沖函數(shù)73２、定理與技巧線性疊加原理是顯然的。

時(shí)域位移-------復(fù)域指數(shù)乘積0atf(t)的拉氏變換時(shí)域移位定理2.1時(shí)域函數(shù)平移２、定理與技巧線性疊加原理是顯然的。0atf(742.2與相乘例6復(fù)域位移-------時(shí)域指數(shù)乘積復(fù)域位移定理２、定理與技巧2.2與相乘復(fù)域位移定理752.3時(shí)間比例尺定理證明２、定理與技巧

2.3時(shí)間比例尺定理證明２、定理與技巧

76例7：已知于是：２、定理與技巧

例7：已知２、定理與技巧

77幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)２、定理與技巧

f(t)F(s)f(t)F(s)

幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)２、定理與技巧

f(t)F(s)f(t)782.4微分定理式中f(0)是f(t)在t=0處的初始值。同樣，對(duì)于f(t)的n階導(dǎo)數(shù)，則有２、定理與技巧

2.4微分定理２、定理與技巧

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證：根據(jù)拉氏變換的定義有

原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到n階導(dǎo)函數(shù)的拉氏變換證：根據(jù)拉氏變換的定義有80注意：若時(shí)，f(t)極限不存在，也就不能用終值定理。如對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。2.5終值定理假定f(t)和df(t)/dt可以進(jìn)行拉氏變換，存在，并且F(s)在虛軸上無極點(diǎn)，在原點(diǎn)處無多重極點(diǎn)，即，sF(s)在包括虛軸的右半s平面內(nèi)解析，則有２、定理與技巧

注意：若時(shí)，f(t)極限81證：由微分定理有：等式兩邊對(duì)s趨向于0取極限第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件822.6初值定理假定f(t)和df(t)/dt可以進(jìn)行拉氏變換，存在，則有2.7積分定理式中在t=0處的值。證明方法同上。只是要對(duì)取極限。２、定理與技巧2.6初值定理證明方法同上。只是要對(duì)83證：令：由上述微分定理，有由上述微分定理，有84即：同理，對(duì)f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。

即：852.8卷積定理（了解）將記為，稱其為卷積，則有

即：兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積。２、定理與技巧2.8卷積定理（了解）即：兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩86證明：第二講數(shù)學(xué)工具Laplace變換課件87

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定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為由F(s)，可以按下式求出式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。拉氏變換與拉氏反變換，在時(shí)域函數(shù)和復(fù)頻域函數(shù)之間構(gòu)成了變換對(duì)。3、拉氏反變換定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變89

對(duì)于連續(xù)的時(shí)間函數(shù)來說，它與它的拉普拉斯變換之間保持一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。一一對(duì)應(yīng)f(t)F(s)3、拉氏反變換對(duì)于連續(xù)的時(shí)間函數(shù)來說，它與它的拉普拉斯變換之間90

直接按上式求原函數(shù)太過復(fù)雜！

求取拉普拉斯反變換的基本方法是，將復(fù)雜的F(s)展開成很多簡單項(xiàng)之和，分別求取簡單項(xiàng)的拉普拉斯反變換，再疊加得到f(t)。

3、拉氏反變換

3、拉氏反變換

91我們遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將它展開成部分分式之和。這些部分分式的拉氏變換通?？梢栽诒碇胁榈?。也就是：3、拉氏反變換

我們遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)92幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)f(t)F(s)f(t)F(s)

3、拉氏反變換幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)f(t)F(s)f(t)F(s)393