【數(shù)學(xué)欣賞】蜂巢探秘

《蜂》唐·羅隱不論平地與山尖，無(wú)限風(fēng)光盡被占。采得百花成蜜后，為誰(shuí)辛苦為誰(shuí)甜？有的國(guó)家發(fā)行了精美的蜜蜂郵票來(lái)贊美小蜜蜂的辛勤工作。大多數(shù)郵票都是長(zhǎng)方形的，但是蜜蜂郵票的造型很特別，它的外框采用了正六邊形，這種造型源于蜜蜂的家---蜂巢?！俺卜康木蓸?gòu)造十分符合需要，如果一個(gè)人在觀賞精密細(xì)致的蜂巢后，而不知加以贊揚(yáng)，那人一定是個(gè)糊涂蟲(chóng)”?！_(dá)爾文

你知道蜂巢為什么這么令人贊嘆嗎？蜂蠟蜜蜂建造蜂巢的材料不是普通的泥土、樹(shù)枝和石塊，而是蜜蜂分泌的——據(jù)估計(jì)，工蜂每分泌1公斤的蜂蠟，需要消耗大約16公斤的花蜜；而采集1公斤的花蜜，蜜蜂們需要飛行32萬(wàn)公里才得以完成，相當(dāng)于繞地球飛行八圈的距離。因此，蜂蠟對(duì)蜜蜂而言，是珍貴的。蜜蜂必須用最經(jīng)濟(jì)的方式來(lái)建造自己的家——用最少材料，建造最大的空間?！胺涓C的優(yōu)美形狀，是自然界最有效勞動(dòng)的代表?！薄畔ＥD數(shù)學(xué)家佩波斯

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家就研究過(guò)，蜜蜂的正六棱柱的巢是自然界最經(jīng)濟(jì)有效的形狀，在相同條件下，這種形狀容積最大。正六邊形的建筑結(jié)構(gòu)，密合度最高、所需材料最簡(jiǎn)、可使用空間最大，其致密的結(jié)構(gòu)，各方受力大小均等，且容易將受力分散，所能承受的沖擊也比其他結(jié)構(gòu)大。

蜂巢的外部為什么是正六邊形？怎么不選擇圓形呢？這里涉及到平面鑲嵌問(wèn)題。古埃及人早就知道，用大小相同的正三角形、正方形、正六邊形，能各自鋪成一平面。如果蜂巢呈圓形等，會(huì)出現(xiàn)空隙，反而會(huì)浪費(fèi)材料。

公元前180年，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾多羅斯證明：(1)周長(zhǎng)固定的n邊形，以正n邊形的面積最大，并且n越大，面積越大；(2)周長(zhǎng)固定時(shí)，圓面積大于所有正多邊形。

當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，正六邊形是面積最大，這就是聰明的小蜜蜂不選擇正三角形和正方形的原因！“蜜蜂憑著本能選擇了正六邊形，因而使用同樣材料可以比正三角形和正方形具有更大的面積?！薄疗账埂稊?shù)學(xué)匯編》第5卷序言

從蜂巢的表面看，兩側(cè)都是一個(gè)個(gè)正六邊形的中空柱狀房室，背對(duì)背對(duì)稱(chēng)地排列著，六邊形房室之間相互平行，每一間房室的距離都相等。每一個(gè)巢房的建筑，都是以中間為基礎(chǔ)向兩側(cè)水平展開(kāi)，從房室底部至開(kāi)口處有13°的仰角，能夠防止存蜜的流出。兩側(cè)的中空柱狀房室是不相通的，其底部不是平的，而是由三個(gè)全等的菱形組成的漏斗形狀。同側(cè)的三個(gè)中空柱狀房室圍在一起，形成另一側(cè)中空柱狀房室的底部。這樣，兩側(cè)的中空柱狀房室完美地結(jié)合在一起。打開(kāi)蜂巢，里面的情況出乎人們的意料。

這種充滿(mǎn)空間對(duì)稱(chēng)的蜂巢底部菱形的角應(yīng)該和菱形十二面體中菱形的角的大小一樣。——天文學(xué)家開(kāi)普勒這個(gè)菱形的一角為109°28'，另一角為70°32'?！煳膶W(xué)家馬拉爾第的測(cè)量結(jié)果給定正六角柱，底部由三個(gè)全等菱形組成，最省材料的做法是，菱形兩鄰角分別是109°26'和70°34'?！鹗繑?shù)學(xué)家克尼格的計(jì)算結(jié)果菱形兩鄰角分別是109°28'和70°32'。——英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林的計(jì)算結(jié)果這種蜂巢可能是在相同容積下所用材料最省的?！▏?guó)物理學(xué)家雷奧米爾的猜測(cè)菱形的鈍角一定要為109°28'嗎？下面我們用中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解釋。把正六棱柱的一角沿AB切下，然后沿AB翻轉(zhuǎn)180o。按照同樣的方法對(duì)其余三個(gè)角進(jìn)行操作，最后三個(gè)角堆在一起，形成蜂巢的尖頂。在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)論DC多長(zhǎng)，蜂巢的體積都不會(huì)變化。盡管蜂巢體積沒(méi)有變化，但是蜂巢壁的面積卻受DC變化影響。這是從一個(gè)正六棱柱形成蜂巢的過(guò)程。不妨設(shè)棱柱底邊長(zhǎng)為a，高為h，DC長(zhǎng)為x，要求蜂巢壁面積的最小值，利用對(duì)稱(chēng)性，只考慮圖形的六分之一，即等腰△CBC’和直角梯形EFBC的面積之和最小即可。這就說(shuō)明在蜂巢體積不變的情況下，巢壁面積最小時(shí)，蜂巢底部菱形的鈍角剛好為109°28’。

建筑方面。生活中的一些建筑直接模仿了蜂巢的造型，這樣的建筑不但看上去美觀，而且還可以多面采光，節(jié)約材料。

通信方面。人們從蜂巢的結(jié)構(gòu)中受到啟發(fā)，建立了形似蜂巢的無(wú)線電覆蓋區(qū)域。信號(hào)塔發(fā)射的無(wú)線電波覆蓋區(qū)域是一個(gè)圓形，每個(gè)小區(qū)實(shí)際上的有效覆蓋區(qū)是一個(gè)圓的內(nèi)接多邊形，這些多邊形可能有正三角形、正方形和正六邊形。其中正六邊形覆蓋區(qū)域的有效面積最大，覆蓋同樣范圍區(qū)域所建的信號(hào)塔個(gè)數(shù)最少，有效地減少了投資。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形似蜂窩狀，人們常把通信網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為蜂窩網(wǎng)。

散熱方面。當(dāng)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度一定時(shí)，蜂窩型最省材料。電腦主機(jī)采用六邊形通孔作為主體結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，可以保證其機(jī)械強(qiáng)度，不僅降低了重量，節(jié)省了材料，而且增加了與空氣的接觸面積，加快了內(nèi)部向外部進(jìn)行熱傳遞的速度，提高了散熱性能。

利用蜂巢原理制作的蜂窩紙板強(qiáng)度高、質(zhì)