【教學課件】環(huán)節(jié)一 函數(shù)的概念（一）

函數(shù)的概念及其表示環(huán)節(jié)一函數(shù)的概念（一）引入新課問題1

在初中我們已經(jīng)接觸過函數(shù)的概念，知道函數(shù)是刻畫變量之間對應關(guān)系的數(shù)學模型和工具．例如，正方形周長l與邊長x的對應關(guān)系是l＝4x．（1）l是x的函數(shù)嗎？（2）這個函數(shù)與正比例函數(shù)y＝4x是同一個函數(shù)嗎？是不是追問：針對一個概念要研究哪些內(nèi)容？答案：實際問題→下定義→表示→應用探究新知（1）S＝350t是函數(shù)嗎？為什么？（2）有人說：“根據(jù)對應關(guān)系S＝350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km．”你認為這個說法正確嗎？答案：（1）是．因為t和S是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，S都有唯一確定的值與之對應，所以S是t的函數(shù)．（2）錯誤．問題2

閱讀材料，回答問題：某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時．這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：h）的關(guān)系可以表示為S＝350t．不能，因為半小時之后列車的運行狀況未知．追問2

這個說法犯了什么錯誤？忽略了時間t的變化范圍．追問3

你認為如何描述才能準確反映實際問題？在S＝350t的基礎(chǔ)上，給時間t備注上范圍．追問1

能否根據(jù)現(xiàn)有條件回答“24h時對應的距離是多少？”為什么？探究新知問題2中函數(shù)的精確描述：列車行進的路程S與運行時間t的對應關(guān)系是S＝350t．①其中，t的變化范圍是數(shù)集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的變化范圍是數(shù)集B1＝{S|0≤S≤175}．對于數(shù)集A1中的任一時刻t，按照對應關(guān)系①，在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對應．探究新知（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？（2）問題3與問題4中函數(shù)有相同的對應關(guān)系，它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？（3）請同學們模仿問題3給出的精確描述，準確地反映實際問題．某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．問題3

閱讀材料，回答問題：探究新知答案：（1）w＝350d，w是工作天數(shù)d的函數(shù)．某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？問題3

閱讀材料，回答問題：探究新知答案：（2）不是同一個函數(shù)．因為在函數(shù)S＝350t中，0≤t≤0.5；在函數(shù)w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，雖然兩個函數(shù)的對應關(guān)系相同，但是自變量的取值范圍不同．某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．（2）問題3與問題4中函數(shù)有相同的對應關(guān)系，它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？問題3

閱讀材料，回答問題：探究新知答案：（3）工資w與一周工作天數(shù)d的對應關(guān)系：w＝350d．②其中，d的變化范圍是數(shù)集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的變化范圍是數(shù)集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．對于數(shù)集A2中的任一個工作天數(shù)d，按照對應關(guān)系②，在數(shù)集B2中都有唯一確定的工資w與它對應．某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．（3）請同學們模仿問題3給出的精確描述，準確地反映實際問題．問題3

閱讀材料，回答問題：探究新知問題4

閱讀材料，回答問題：如圖是北京市2016年11月23日空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖．（1）I是t的函數(shù)嗎？為什么？（2）模仿前兩個問題，用精確的集合語言和對應關(guān)系描述這個實際問題．探究新知追問2②從所給的圖中確定11月24日12：00的AQI的值嗎？為什么？在橫軸上，過t0作垂線交曲線與點（t0，I0），I0就是與t0對應的值．不能，因為時間不在圖象覆蓋的范圍內(nèi)．追問1

①通過圖形能確定唯一的I與每個t值對應嗎，怎么找？探究新知答案：從圖中的曲線可知，t的變化范圍是數(shù)集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在數(shù)集B3＝{I|0＜I＜150}．對于數(shù)集A3中的任一時刻t，按照圖中曲線所給的對應關(guān)系，在數(shù)集B3中都有唯一確定的AQI的值I與之對應．因此，這里的I是t的函數(shù)．探究新知問題5

閱讀材料，回答問題：國際上常用恩格爾系數(shù)r（

）反應一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．表1是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高．表1我國某居民恩格爾系數(shù)變化情況探究新知（1）你認為按表1給出的對應關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？（2）如果是，這個函數(shù)有解析式嗎？如何描述這個函數(shù)？表1我國某居民恩格爾系數(shù)變化情況答案：（1）r是y的函數(shù)．因為對于2006到2015年中任一個年份y，根據(jù)表1，都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應．探究新知（1）你認為按表1給出的對應關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？（2）如果是，這個函數(shù)有解析式嗎？如何描述這個函數(shù)？表1我國某居民恩格爾系數(shù)變化情況答案：（2）這個函數(shù)沒有解析式．從表格1可知，y的取值范圍是數(shù)集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格爾系數(shù)r的取值范圍是數(shù)集B4＝{r|0＜r≤1}．對于數(shù)集A4中的任一個年份y，根據(jù)表1所給的對應關(guān)系，在數(shù)集B4中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應．探究新知對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應．上述問題的共同特征有：（1）都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；（2）都有一個對應關(guān)系；（3）盡管對應關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：問題6

上述問題3~問題6中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？探究新知對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域．函數(shù)的定義域，對應關(guān)系和值域也叫函數(shù)的三要素．抽象函數(shù)概念探究新知答案：值域與集合B不一定相等，值域是集合B的子集．具體例子見問題6．追問值域和集合B相等嗎？它們的關(guān)系是什么？探究新知函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)a＞0a＜0對應關(guān)系定義域值域RRRR

探究新知知識應用例函數(shù)的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律．例如，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長與半徑的關(guān)系等．試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)＝x（10－x）來描述．解：把y＝x（10－x）看成二次函數(shù)，那么它的定義域是R，值域是B＝{y|y≤25}．對應關(guān)系f把R中的任意一個數(shù)x，對應到B中唯一的數(shù)x（10－x）．其中，x的取值范圍是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范圍是B＝{y|0＜y≤25}．對應關(guān)系

f把每一個長方形的周長x，對應到唯一確定的面積x（10－x）．如果對x的取值范圍作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以構(gòu)建如下情境：長方形的周長為20，設其一邊長為x，面積為y，那么y＝x（10－x）．答案：知識應用歸納總結(jié)問題8（1）本節(jié)課我們主要學習了函數(shù)的概念，為什么要重新學習函數(shù)的概念？（2）用“集合—對應說”下的函數(shù)概念分析一個函數(shù)要關(guān)注哪幾個要素？這些要素的特點是什么？（3）與初中的函數(shù)概念相比，要特別注意哪個要素？

（4）按照問題2的答案，下一課時應該研究什么？答案：（1）初中