【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)二 充要條件

常用邏輯用語(yǔ)環(huán)節(jié)二充要條件問(wèn)題1類(lèi)比“充分條件與必要條件”的研究過(guò)程，你能試著寫(xiě)出“充要條件”的研究過(guò)程嗎？具體實(shí)例——抽象概念——辨析概念——應(yīng)用概念．什么是充要條件充要條件和數(shù)學(xué)中定義、公理、定理哪個(gè)有關(guān)如何判斷充要條件引入新課

問(wèn)題2

將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.請(qǐng)分別寫(xiě)出下列命題的逆命題．③若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac＜0；④若A∪B是空集，則A與B均是空集．②若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；①若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；引入新課

（2）①若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；解：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等；問(wèn)題2

將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.請(qǐng)分別寫(xiě)出下列命題的逆命題．引入新課

解：（2）②若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；③若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac＜0；若ac＜0，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若A∪B是空集，則A與B均是空集．若A與B均是空集，則A∪B是空集．問(wèn)題2

將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.請(qǐng)分別寫(xiě)出下列命題的逆命題．引入新課問(wèn)題3

對(duì)于下列“若p，則q”形式的命題，請(qǐng)判斷它們及它們逆命題的真假．（1）若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；（2）若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac＜0；（4）若A∪B是空集，則A與B均是空集．原命題為真，逆命題為真；原命題為真，逆命題為假；原命題為假，逆命題為真；原命題為真，逆命題為真．探究新知追問(wèn)1

根據(jù)以上命題及其逆命題的真假，那么p是否為q的充分條件或必要條件？為什么？答案：（1）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（1）若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；原命題為真，逆命題為真；探究新知追問(wèn)1

根據(jù)以上命題及其逆命題的真假，那么p是否為q的充分條件或必要條件？為什么？答案：（2）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為假，所以p不是q的必要條件；（2）若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；原命題為真，逆命題為假；探究新知追問(wèn)1

根據(jù)以上命題及其逆命題的真假，那么p是否為q的充分條件或必要條件？為什么？答案：（3）原命題為假，所以p不是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac＜0；原命題為假，逆命題為真；探究新知追問(wèn)1

根據(jù)以上命題及其逆命題的真假，那么p是否為q的充分條件或必要條件？為什么？答案：（4）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件．（4）若A∪B是空集，則A與B均是空集．原命題為真，逆命題為真．探究新知追問(wèn)2

閱讀教科書(shū)第20頁(yè)最后一段到第21頁(yè)第一段完，你能說(shuō)說(shuō)什么是充要條件嗎？答案：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，則記作p

q．此時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們說(shuō)p是q充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．探究新知問(wèn)題4

根據(jù)定義，上述四個(gè)命題中，哪些p是q的充要條件？類(lèi)比“充分必要條件”的名稱，其余的命題中，你認(rèn)為p應(yīng)該稱為q的什么條件？你認(rèn)為如何判斷p是q的什么條件？命題（1）（4）中的p是q充要條件．對(duì)于命題（2），p是q的充分條件，p不是q的必要條件，稱p是q的充分不必要條件；對(duì)于命題（3），p不是q的充分條件，p是q的必要條件，稱p是q的必要不充分條件．（1）若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；（2）若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac＜0；（4）若A∪B是空集，則A與B均是空集．探究新知答案：如果p不是q的充分條件，也不是q的必要條件，稱p是q的既不充分又不必要條件．問(wèn)題4

根據(jù)定義，上述四個(gè)命題中，哪些p是q的充要條件？類(lèi)比“充分必要條件”的名稱，其余的命題中，你認(rèn)為p應(yīng)該稱為q的什么條件？你認(rèn)為如何判斷p是q的什么條件？探究新知充分不必要條件：“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為假；必要不充分條件：“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為真；即不充分又不必要條件：“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為假命題．充要條件：“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為真命題；判斷方法：命題法探究新知例3

下列各題中，p是q的什么條件？（請(qǐng)用“充要條件”“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分又不必要條件”回答）并寫(xiě)出理由．（1）p：兩個(gè)三角形全等，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（2）p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對(duì)角線互相平分；（3）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；（4）p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，q：a＋b＋c＝0（a≠0）．追問(wèn)1

判斷p是q的什么條件的依據(jù)與方法是什么？（答案略）探究新知追問(wèn)2

例3（2）中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充要條件，即“四邊形的對(duì)角線互相平分”，你還能寫(xiě)出不同的充要條件嗎？①四邊形一組對(duì)邊平行且相等；②四邊形兩條對(duì)角線互相平分；③四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；④四邊形的兩組對(duì)邊分別平行；……探究新知追問(wèn)3

這些充要條件從不同角度刻畫(huà)了“平行四邊形”這個(gè)概念，據(jù)此我們可以給出平行四邊形的不同定義．例如：“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”、“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”等等．再回憶你學(xué)過(guò)的其他數(shù)學(xué)定義，你發(fā)現(xiàn)充要條件和數(shù)學(xué)定義之間有什么關(guān)系？數(shù)學(xué)定義和充要條件的關(guān)系：數(shù)學(xué)定義給出了數(shù)學(xué)對(duì)象成立的充要條件，它是從充分性和必要性兩個(gè)方面刻畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)象的，它既是這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的判定定理又是性質(zhì)定理．探究新知例4

已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．追問(wèn)依據(jù)充要條件定義，證明“d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件”，應(yīng)該證明哪些命題為真命題？并嘗試給出證明思路．探究新知需要證明的命題以及證明思路：（1）若d＝r，則直線l與⊙O相切；思路：要證“直線l與⊙O相切”

“直線l與⊙O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”

“先根據(jù)條件“d＝r”證明“有公共點(diǎn)”，然后再證明“只有一個(gè)公共點(diǎn)”．這一步稱為“充分性”.例4

已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．探究新知需要證明的命題以及證明思路：例4

已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．（2）若直線l與⊙O相切，則d＝r．思路：由“直線l與⊙O相切”?“直線l與⊙O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P”?“OP⊥l，OP＝r”?“d＝r”．這一步稱為“必要性”．探究新知

如圖，作OP⊥l于點(diǎn)P，則OP＝d．若d＝r，則點(diǎn)P在⊙O上，在直線l上任取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），連接OQ．在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r．所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在⊙O的外部，即直線l與⊙O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P．所以直線l與⊙O相切．例4

已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．證明：（1）充分性（?）：探究新知證明：（2）必要性（）：若直線l與⊙O相切，不防設(shè)切點(diǎn)為P，則OP⊥l．由（1）（2）得，d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．因此d＝OP＝r．例4

已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．探究新知問(wèn)題