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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某歌手大賽進行電視直播,比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分,場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表,場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分,組織方將觀眾評分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為,場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為,所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為,則下列選項正確的是()A. B. C. D.2.若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.43.某校團委對“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”4.若函數(shù)函數(shù)只有1個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.6.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或89.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.10.如圖所示,已知雙曲線的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關(guān)于原點的對稱點為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.11.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點,,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.12.將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個單位長度,則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上僅有2個零點,設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.14.設(shè)為銳角,若,則的值為____________.15.已知集合,,則________.16.記復(fù)數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為,已知z=2+i,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于,兩點,求線段的長.19.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個有序集合組,其中.記集合中元素的個數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當(dāng)時,求的值;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.20.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.21.(12分)某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評,該公司隨機調(diào)查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組(所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中.(1)求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替).(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分,則認(rèn)定該芯片合格;若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分,則認(rèn)定該芯片不合格;若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分,則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測,二測時,2個工程手機的評分都達到11萬分,則認(rèn)定該芯片合格;2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分,手機公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立,并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元,每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格,將不再進行后續(xù)測試,現(xiàn)手機公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費為10萬元,試問預(yù)算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片?請說明理由.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點、分別為,的中點,且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
計算出、,進而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場外有數(shù)萬名觀眾,所以,.故選:B.【點睛】本題考查平均數(shù)的大小比較,涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
由二項式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算.【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為,.故選:C.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3.B【解析】
通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項.【詳解】解:,可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”,故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點,求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點.記,則過原點作的切線,設(shè)切點為,則切線方程為,又切線過原點,即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.5.D【解析】
根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性,從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對稱;在,上單調(diào)遞增,且在時使得;又,,所以選項成立;,比離對稱軸遠,可得,選項成立;,,可知比離對稱軸遠,選項成立;,符號不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,屬基礎(chǔ)題.7.B【解析】
依據(jù)線性約束條件畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)恒過,再分別討論的正負(fù)進一步確定目標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系,即可求解【詳解】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示:其中,直線過定點,當(dāng)時,不等式表示直線及其左邊的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時,直線的斜率,不等式表示直線下方的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時,直線的斜率,不等式表示直線上方的區(qū)域,要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,只需直線的斜率,解得.綜上可得實數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題,分類討論與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題8.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù),若,則的圖象關(guān)于對稱,又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題,屬基礎(chǔ)題9.A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.10.C【解析】
易得,,又,平方計算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.11.C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時,,由對稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個零點,,,當(dāng)時,,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查計算能力.12.D【解析】
先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,
將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,
再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為,故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一,經(jīng)??疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn),在復(fù)習(xí)時要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實.三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關(guān)鍵,在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點,所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因為,所以,所以,所以,所以,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.14.【解析】
∵為銳角,,∴,∴,,故.15.【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.3﹣4i【解析】
計算得到z2=(2+i)2=3+4i,再計算得到答案.【詳解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,則.故答案為:3﹣4i.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)通過討論的范圍,分為,,三種情形,分別求出不等式的解集即可;(2)通過分離參數(shù)思想問題轉(zhuǎn)化為,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出最值即可得到的范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,原不等式等價于,解得,所以,當(dāng)時,原不等式等價于,解得,所以此時不等式無解,當(dāng)時,原不等式等價于,解得,所以綜上所述,不等式解集為.(2)由,得,當(dāng)時,恒成立,所以;當(dāng)時,.因為當(dāng)且僅當(dāng)即或時,等號成立,所以;綜上的取值范圍是.【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查絕對值不等式的性質(zhì)以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18.【解析】
由,化簡得,由,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因為曲線的參數(shù)方程為,整理得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,整理得,設(shè),則,根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由,化簡得,又因為,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因為曲線的參數(shù)方程為,消去,整理得,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,消去,整理得,設(shè),則,所以,將,代入上式,整理得.【點睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,結(jié)合弦長公式的運用,屬于中檔題.19.;證明見解析.【解析】
當(dāng)時,集合共有個子集,即可求出結(jié)果;分類討論,利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時,集合共有個子集,所以;①當(dāng)時,,由可知,,此時令,,,,滿足對任意,都有,且;②假設(shè)當(dāng)時,存在有序集合組滿足題意,且,則當(dāng)時,集合的子集個數(shù)為個,因為是4的整數(shù)倍,所以令,,,,且恒成立,即滿足對任意,都有,且,綜上,原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,屬于難題.20.(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域為,.由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時取得最大值.又∵,∴對任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時,恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時,,∴當(dāng)時,.∵,∴當(dāng)時,,即②.綜上①②可得,.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計算
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