湖北大學(xué)量子力學(xué)考研參考試題及解

湖北大學(xué)量子力學(xué)考研參考試題及解湖北大學(xué)量子力學(xué)考研參考試題及解湖北大學(xué)量子力學(xué)考研參考試題及解V:1.0精細(xì)整理，僅供參考湖北大學(xué)量子力學(xué)考研參考試題及解日期：20xx年X月量子力學(xué)考研參考試題（一）一.（見1997年第二題）證明：若一個(gè)算符與角動(dòng)量算符的兩個(gè)分量對易，則其必與的另一個(gè)分量對易；（2）在與的共同本征態(tài)下，與的平均值為零，且當(dāng)時(shí)，測量與的不確定性為最小。證明：設(shè)算符與角動(dòng)量算符及皆對易，即則同理可知，若算符與角動(dòng)量算符及皆對易，則算符必與對易；若算符與角動(dòng)量算符及皆對易，則算符必與對易，于是，問題得證。（2）在與的共同本征態(tài)下，與的平均值為由升降算符的修正可知于是有同理可證，算符在下的平均值也未零。在態(tài)上，同理可得故有或者寫為顯然，當(dāng)時(shí)，上式取最小值二.（見2001年第二題）粒子作一維運(yùn)動(dòng)，當(dāng)總能量算符為時(shí)，能級是，如果總能量算符變成（為實(shí)參數(shù)），求粒子能級的嚴(yán)格解。解：視為參變量，則有利用費(fèi)曼-海爾曼定理可知又知在任何束縛態(tài)下，均有所以，進(jìn)而得到能量本征值滿足的微分方程對上式作積分，得到利用時(shí)，，定出積分常數(shù)最后，得到的本征值為一維諧振子的哈密頓算符為引入無量綱算符，；；；計(jì)算，，，；將用與表示，并求出全部能級。解：（1）計(jì)算對易關(guān)系（2）改寫哈密頓算符而所以，有下面求解上述哈密頓算符滿足的本征方程。對任何態(tài)矢，均有因此，若是哈密頓算符的本征態(tài)，則，即上式說明能量的下限為。用作用的任意一個(gè)本征態(tài)上，利用可知若，則其為哈密頓算符的另一個(gè)本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為。重復(fù)這個(gè)推理的過程，得到都是哈密頓算符的本征值，由于，本征值不能小于，此數(shù)列必須終止于某個(gè)最小值，即不再是能量本征值，其條件為因此，于是可知相應(yīng)當(dāng)能量本征值類似前面的做法，利用可知說明也是能量的本征態(tài)，相應(yīng)的能量本征值為，重復(fù)此過程可知，都是能量本征值。最后，得到能量本征值的表達(dá)式為四.有一定域電子（作為近似模型，可以不考慮軌道運(yùn)動(dòng)）受到均勻磁場的作用，磁場指向軸電正方向，磁作用為。設(shè)時(shí)，電子的自旋向上，即，求時(shí)的平均值。解：哈密頓算符可以改寫為其中，在泡利表象中，設(shè)時(shí)體系的波函數(shù)為則其應(yīng)滿足于是有此即，上式可以化為解之得到利用初始條件；可知于是，時(shí)的波函數(shù)為而五.（第一問見1998年第五題）有一量子體系由哈密頓量描述，其中，可視為微擾，是厄米特算符，且有。（1）若算符在的非簡并基態(tài)上的平均值已知，且分別記為，求在微擾后的非簡并基態(tài)上的平均值，準(zhǔn)確到量級。將上述結(jié)果用在如下三維問題上，計(jì)算在微擾后非簡并基態(tài)上的平均值，準(zhǔn)確到量級。解：（1）設(shè)滿足則哈密頓算符的基態(tài)波函數(shù)的一級近似為利用歸一化條件若準(zhǔn)確到量級，則一級近似波函數(shù)已經(jīng)歸一化。在微擾后的基態(tài)的一級近似之下計(jì)算的平均值，得到再利用，并略去的二次項(xiàng)，（2）取使得