數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用摘要數(shù)學(xué)模型是研究生命發(fā)展規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和分析生命現(xiàn)狀的工具。建立可靠的本文從生物數(shù)學(xué)的發(fā)展、分支了解生物數(shù)學(xué)的歷史，緊接著又在數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)的地位中了解數(shù)學(xué)模型的地位，最后在數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型.這將有助于在生物數(shù)學(xué)的研究中，依據(jù)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，建立符合規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，在生命進程中驗證新的規(guī)律、新的發(fā)現(xiàn)，使在研究生物學(xué)時更清晰、更明了.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；生物學(xué)；應(yīng)用ApplicationofmathematicalmodelinBiologyAbstract:Mathematicalmodelsinbiologysuchasamicroscopecanbefoundinbiologicalmysteries,biologicalresearchthroughwiththeestablishmentofthemathematicalrulesofthelawofdevelopmentoflife,whichlaunchedanewdiscovery,newrulesandinbiologyestablishedreliablemodelofthebiologicalstatusofclassifiedanalysisandforecasting.

Thefromthehistoryofmathematicalbiologydevelopment,thebranchoftheunderstandingofmathematicalbiology,followedbyanotherinthemathematicalmodelinMathematicalBiologystatusinunderstandingthestatusofmathematicalmodel.Finally,intheapplicationofmathematicalmodelknowdifferentialequationmodel,thedifferentialequationmodelandthestabilityofthemodel.

Thiswillhelpinmathematicalbiologyresearch,onthebasisofthemathematicalmodel,establishedinaccordancewiththelawofthemathematicalmodel,intheprocessoflifetoverifynewrules,newfoundinbiologicalresearchclearer,moreclear.Keywords:mathematicalmode;biology;application目錄TOC\o"1-3"\p""\h\z\u1引言……………………12文獻綜述………………1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀………………………1提出問題………………23生物數(shù)學(xué)的發(fā)展………………………2生物數(shù)學(xué)發(fā)展歷史……………………3生物數(shù)學(xué)的分支………………………4生物信息學(xué)……………5生物統(tǒng)計………………5數(shù)量遺傳學(xué)……………5數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)……………5數(shù)理醫(yī)藥學(xué)……………6數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位………64數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中應(yīng)用……………6微分方程模型…………6差分方程模型………………………11穩(wěn)定性模型…………135結(jié)論…………………17主要發(fā)現(xiàn)……………17啟示…………………18局限性………………18努力方向……………18參考文獻……………191引言數(shù)學(xué)是所有自然學(xué)科的基礎(chǔ)，生物卻是偏文科性質(zhì)的自然學(xué)科，把兩者有機的的結(jié)合在一起就構(gòu)成了生物數(shù)學(xué).但在生物學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)最多的還是數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，解決生物中各種種群增長問題，種群擴散問題，環(huán)境污染問題等.雖然有生物數(shù)學(xué)這樣的學(xué)科產(chǎn)生，但真正讓數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)生了解數(shù)學(xué)在生物中的應(yīng)用，仍需要很大的努力.同時，許多人會覺得數(shù)學(xué)的知識只能應(yīng)用在生物中，而生物知識卻不能應(yīng)用在數(shù)學(xué)問題解決中，但是有些實際問題卻不得不提醒我們，在解決一部分實際問題時，我必須得先了解生物上的一些知識，才能解決.但同時我們也得先了解生物數(shù)學(xué)這門學(xué)科，以及生物數(shù)學(xué)的的分支，我們才能知道生物與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，方便我們在解決一些實際問題時，全面的考慮問題，分析問題.生物數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的邊沿學(xué)科，使數(shù)學(xué)模型得以更好的建立的根本，不僅是一個學(xué)科的分支，更是學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個工具.了解生物數(shù)學(xué)的發(fā)展，知道生物數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，并知道生物數(shù)學(xué)的分支，方便更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，然后才能把數(shù)學(xué)模型更好應(yīng)用在生物學(xué)中，數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最直觀應(yīng)用于數(shù)學(xué)的東西，但數(shù)學(xué)模型中很大一部分模型和生物相關(guān)聯(lián)，所以才會出現(xiàn)生物數(shù)學(xué).特別地，生物數(shù)學(xué)在整個數(shù)學(xué)建模中起了很重要的作用.2文獻綜述國內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查閱到的參考文獻中，分別就數(shù)學(xué)模型做了介紹，并且對模型的應(yīng)用也做了介紹.在文獻[1-4]中詳細的講解了生物數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、分支等方面，還闡述了生物數(shù)學(xué)在其他方面的應(yīng)用，其中穿插的講解了數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中地位以及生物數(shù)學(xué)的未來發(fā)展趨勢.在文獻[5]中主要是利用數(shù)學(xué)模型在生物序列結(jié)構(gòu)比較中的研究及其應(yīng)用進行了介紹，且主要研究了數(shù)學(xué)模型在DNA、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用.在文獻[6]中主要綜述了生物數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的大概，介紹了生物數(shù)學(xué)各分支的具體內(nèi)容，還講解了生物數(shù)學(xué)模型的實例.在文獻[7]中強調(diào)了數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的地位，從不同的角度詮釋數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)模型的方法.在文獻[8]中從建立數(shù)學(xué)模型的步驟、初等模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型等方面進行了介紹，詳細的講解了數(shù)學(xué)模型在不同方面的應(yīng)用.在文獻[9]中運用馬爾薩斯模型、logistic模型、人口統(tǒng)計模型三種方法對江蘇省人口總數(shù)進行了預(yù)測，并且對三種模型的精確度作了分析.在文獻[10]中依據(jù)文獻[8]中的課后習(xí)題進行了解答，更好理解了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用.在文獻[11]中對人口增長的原因進行了分析，并且運用不同的方法對人口增長過快的控制進行了描述，還運用偏微分方程、差分方程分別描述了人口狀態(tài)的連續(xù)模型和離散模型.在文獻[12]中介紹了差分方程在經(jīng)濟領(lǐng)域、動力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等多方面的應(yīng)用，強調(diào)了運用差分方程模型建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的重要性.在文獻[13]中通過化學(xué)、物理、生物、交通、經(jīng)濟管理和工程技術(shù)中眾多數(shù)學(xué)模型的實例，建立了各種現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)模型的主要方法和基本規(guī)律.在文獻[14]中找到了種群生長的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)差分方程理論，建立了描述種群生長的非線性差分方程模型，并分析了該模型的可靠性和穩(wěn)定性.在文獻[15]中主要從兩個方面闡述了植物昆蟲種群模型的分類、通用表達式的表達，并針對各類型的植物種群動態(tài)模型進行了特殊說明.國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價文獻[1-15]中分別就生物數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、分支分別進行了闡述以及差分方程模型在生物學(xué)中的應(yīng)用等方面作了說明.但文獻中沒有對生物數(shù)學(xué)深入進行研究，以及沒有對與差分方程模型相關(guān)的的微分方程模型以及穩(wěn)定性模型在生物學(xué)中應(yīng)用進行研究.提出問題現(xiàn)有文獻中只是對生物數(shù)學(xué)發(fā)展、起源、分支的各方面單獨的進行了研究，以及數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用只是進行了一方面的介紹.因此本文就以上問題把生物數(shù)學(xué)的發(fā)展、起源、分支的各方面綜合進行了分析，并且對數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用中的差分方程模型進行了全方面的研究.3生物數(shù)學(xué)的發(fā)展生物數(shù)學(xué)顧名思義便是生物與數(shù)學(xué)的結(jié)合，是生物與數(shù)學(xué)的邊沿學(xué)科，運用數(shù)學(xué)方法研究和解決生物學(xué)問題，并對與生物有關(guān)的數(shù)學(xué)方法進行理論研究的學(xué)科.粗略地說，它包括生物數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)生物學(xué)兩部分內(nèi)容，前者看重數(shù)學(xué)，后者看重生物學(xué)[1].如果把生物學(xué)的分支領(lǐng)域看作一個集合，數(shù)學(xué)的分支范圍看作另一個集合，生物數(shù)學(xué)便是兩個集合導(dǎo)出的乘積空間.因而生物數(shù)學(xué)的分支內(nèi)容十分豐富，從研究使用的數(shù)學(xué)方法區(qū)分，生物數(shù)學(xué)可分為生物統(tǒng)計學(xué)、生物信息論、生物系統(tǒng)論、生物控制論和生物方程等的分支.另外，由于生命現(xiàn)象極為復(fù)雜，從生物學(xué)中提出的數(shù)學(xué)問題往往也十分復(fù)雜，需要進行大量計算工作，因此計算機是解決生物數(shù)學(xué)問題的重要工具[2].生物數(shù)學(xué)發(fā)展歷史生物數(shù)學(xué)的最早起源于中國北宋科學(xué)家沈括，于1088年推出的“胎育之理”的數(shù)學(xué)模型，并說明了出生嬰兒性別大致相等的規(guī)律，建立了種群動態(tài)模型.到1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算書》第12章的第七節(jié)中，關(guān)于家兔繁殖的問題，建立了家兔增長的動態(tài)模型.，；.后來，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗于1730年的《分析集錦》中第一次給出了斐波那契數(shù)列的通項公式.1963年，一些美國數(shù)學(xué)家成立了斐波那契協(xié)會，并且發(fā)行了一份專門研究他的季刊《斐波那契季刊》，這標志著對斐波那契家兔增長的動態(tài)模型的性質(zhì)及應(yīng)用進入了一個新的發(fā)展階段.1604年，中國明朝的著名科學(xué)家徐光啟在其著作《農(nóng)政全書》中用數(shù)學(xué)的概率方法估計過和平時期人口的增長，說“頭三十年為一世”這是最早的人口增長模型.1662年，英國經(jīng)濟學(xué)家、人口統(tǒng)計學(xué)家格朗特，在他的專著《生命表的自然和政治觀察》中，研究了倫敦市人口的出生率、死亡率等指數(shù)與人口增長的關(guān)系，并且通過計算得出倫敦的人口大概每64年將增加一倍.且發(fā)現(xiàn)人口的出生率與死亡率相對穩(wěn)定，提出“大數(shù)恒靜定律”.1693年，英國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家哈雷按年齡分類，以德國布雷斯勞市1687-1691年間市民的死亡統(tǒng)計數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，精確地表示了每年的死亡率.從而改進了格朗特的生命表，并定義了死亡率的含義，制訂了世界上第一份最完整、最科學(xué)的生命表.1748年，歐拉在其出版的《無窮分析引論》的第六章“指數(shù)與對數(shù)”中，所舉的例子中：假設(shè)人口數(shù)量關(guān)于年份滿足方程（其中為整數(shù)，增長率為正實數(shù)），若初值為，則關(guān)于的表達式可以改寫為，此模型被稱為人口幾何增長動態(tài)數(shù)學(xué)模型.1760年，瑞士數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家、物理學(xué)家丹尼爾·伯努利對天花病毒進行了分析，且建立了天花病毒動態(tài)數(shù)學(xué)模型，其中，為人口的年齡，為人口因感染上天花而死亡的概率，表示感染天花病毒后痊愈的年齡為的人口數(shù)量，為每人每年感染上天花的概率.伯努利在天花病毒動態(tài)數(shù)學(xué)模型中所作感染上天花的概率與因感染上天花的概率，關(guān)于相互獨立的理想假設(shè)存在一定的局限性.1761年，法國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家達蘭貝爾改進了伯努利的模型，得到了更符合實際情況的動態(tài)數(shù)學(xué)模型：，其中為因感染天花而死亡的人數(shù).1798年，英國統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯在《人口原理》中，根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計顯示，針對人口增長規(guī)律，提出人口種群模型的基本假設(shè)：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率的常數(shù)，從對人口增長和食品過去增長的分析中導(dǎo)出了微分方程模型：已知初始時刻時種群數(shù)量為,設(shè)時刻的種群數(shù)量為.經(jīng)過后，在時刻，種群的數(shù)量變?yōu)?由上述基本假設(shè)，在時間內(nèi)，種群數(shù)量的增加量與當(dāng)時的種群數(shù)量成比例，比例系數(shù)為，則在內(nèi)，種群的增量可寫為.再將上式兩邊同時除以，得到，當(dāng)時，滿足：或.上述微分方程模型為馬爾薩斯模型[3].生物數(shù)學(xué)的分支伴隨著生物數(shù)學(xué)的快速發(fā)展，生物數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容已經(jīng)形成一個巨大的體系，總共包含了14個分支學(xué)科[4].這些學(xué)科是按下列兩種分類方法來劃分的.第一種是按所涉及的數(shù)學(xué)方法來分類，分為生物統(tǒng)計、生物動力系統(tǒng)和生物控制論、統(tǒng)計醫(yī)藥學(xué)、人口統(tǒng)計學(xué)等；生物動力系統(tǒng)又分為種群動力學(xué)，細胞動力學(xué)、人口動力學(xué)等.第二種是按研究生命科學(xué)中的分支學(xué)科的不同分類，有數(shù)學(xué)生態(tài)、數(shù)量生理、數(shù)量分類、數(shù)量遺傳、傳染病動力學(xué)、數(shù)量生物經(jīng)濟學(xué)、數(shù)理醫(yī)藥學(xué)、神經(jīng)科學(xué)的數(shù)學(xué)模型、分子動力學(xué)、細胞動力學(xué)、人口動力學(xué)等分支學(xué)科.其中數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)又可分為種群生態(tài)學(xué)、統(tǒng)計生態(tài)學(xué)、系統(tǒng)生態(tài)學(xué)等分支學(xué)科.生物信息學(xué)從生物信息學(xué)研究的具體內(nèi)容上說，主要有3個部分：新算法與統(tǒng)計學(xué)方法研究、各類數(shù)據(jù)的分析和解釋以及管理數(shù)據(jù)和研制有效利用的新工具.生物信息學(xué)是由分子生物學(xué)與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是由各種生物學(xué)與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是各種生物學(xué)數(shù)據(jù)，研究的方法主要有對生物學(xué)數(shù)據(jù)的搜索、收集、篩選、處理（編輯、整理、管理和顯示）以及利用（計算和模擬）.生物信息學(xué)是現(xiàn)在生命科學(xué)和自然科學(xué)的重大前沿領(lǐng)域之一，并且也將是21世紀自然科學(xué)的核心領(lǐng)域之一.隨著基因組測序計劃的展開和分子結(jié)構(gòu)測定技術(shù)的突破以及網(wǎng)絡(luò)的普及，生物學(xué)數(shù)據(jù)庫逐漸成熟起來.伴隨著生物研究中數(shù)學(xué)模型和算法的不斷完善，擁有許多強有力的生物信息分析工具，如進化分析、聚類分析等的產(chǎn)生.部分有效的分析工具極大地依賴于生物序列和結(jié)構(gòu)的比較.序列和結(jié)構(gòu)的比較是最重要和最常用的原始操作，是許多其它復(fù)雜操作的基礎(chǔ)[5].生物統(tǒng)計生物統(tǒng)計是生物數(shù)學(xué)的一個重要分支，在生物界一直受到普遍重視.它在醫(yī)學(xué)界成為了衛(wèi)生統(tǒng)計的主要內(nèi)容，目前主要從事統(tǒng)計檢驗的應(yīng)用和改進有關(guān)logistic回歸模型方面的研究和應(yīng)用生存分析以及研究人的壽命表的人口統(tǒng)計等方面.其中運用多元統(tǒng)計分析來研究生物現(xiàn)象，成為生物統(tǒng)計發(fā)展的一個方向.數(shù)量遺傳學(xué)數(shù)量遺傳學(xué)的分析方法，在動物遺傳育種方面，提供有價值的育種參數(shù)；在作物育種方面，對主要作物的一些基本數(shù)量性狀的遺傳規(guī)律進行分析，現(xiàn)在趨向于分析一些地區(qū)性作物的一些特定的性狀；在試驗設(shè)計上更加接近于信息量較大的雙列雜交設(shè)計，并且也是林木遺傳育種的一個分析手段.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)不僅是生物數(shù)學(xué)的分支，也是生態(tài)學(xué)的一部分.從使用的數(shù)學(xué)工具來分有理論生態(tài)學(xué),統(tǒng)計生態(tài)學(xué)與系統(tǒng)生態(tài)學(xué).理論生態(tài)學(xué)主要是使用隨機微分方程,差分方程,線性代數(shù)，常微分方程和隨機過程等數(shù)學(xué)工具來設(shè)計與實際相近的數(shù)學(xué)模型；系統(tǒng)生態(tài)學(xué)是采用運籌學(xué)與系統(tǒng)分析理論等數(shù)學(xué)工具來研究生態(tài)系統(tǒng)；統(tǒng)計生態(tài)學(xué)主要是數(shù)理生態(tài)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)的相結(jié)合,其中包括空間分布型,抽樣技術(shù)與多元分析等；如果就研究的對象來分,分為動物數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué),昆蟲數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)與植物數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué).數(shù)理醫(yī)藥學(xué)數(shù)理醫(yī)藥學(xué)是研究生物細胞的化學(xué)作用建立數(shù)學(xué)模型來研究，是生命科學(xué)的圍觀研究，例如：在毒理生態(tài)學(xué)中利用宏觀和微觀數(shù)學(xué)模型來研究環(huán)境污染對生物種群的影響.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)主要利用數(shù)學(xué)模型研究傳染病的方式、發(fā)展和傳染過程，已成為生物數(shù)學(xué)的分支.例如：對現(xiàn)有的傳染病模型作改進，使其更隨機化，更符合實際，并且建立了帶有年齡結(jié)構(gòu)的種群的長期和非長期免疫型的傳染病模型.數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，數(shù)學(xué)一直都有著自己的理論體系.第一是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，第二是應(yīng)用數(shù)學(xué)，第三是計算數(shù)學(xué).生命是數(shù)字的游戲，隨著近代生物學(xué)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)在生命科學(xué)的作用愈發(fā)突出，無論是微觀方向的發(fā)展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數(shù)學(xué)計算作為推動其前進的不懈動力[6].數(shù)學(xué)模型：為了研究的目的而建立并能夠表現(xiàn)和描述真實世界某些現(xiàn)象、特征和狀況的數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)模型能定量地描述生命物質(zhì)運動的過程，一個復(fù)雜的生物學(xué)問題借助數(shù)學(xué)模型能轉(zhuǎn)變成一個數(shù)學(xué)問題，通過對數(shù)學(xué)模型的邏輯推理、求解和運算，就能夠獲得客觀事物的有關(guān)結(jié)論，達到對生命現(xiàn)象進行研究的目的[7].4數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型中有初等模型、簡單優(yōu)化模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型等，在生物學(xué)中應(yīng)用較廣泛的是微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型，并應(yīng)用于種群增長、疾病預(yù)測與控制、種群競爭、種群依存等方面.微分方程模型微分方程是描述未知函數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，形如.在數(shù)學(xué)模型中需要描述實際對象的某些特性隨時間或空間的演變的過程，分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時，就需要建立的對象的動態(tài)模型[8].微分方程模型應(yīng)用于經(jīng)濟、戰(zhàn)爭、醫(yī)學(xué)等方面，在生物學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于傳染病的控制與防范，人口的控制和預(yù)測，種群增長的預(yù)測，細胞增長速率等方面.下面介紹人口的預(yù)測和控制：指數(shù)增長模型由英國人口學(xué)家馬爾薩斯提出的，記時刻的人口為，且視為連續(xù)，可微的函數(shù)，并令初始時刻的人口為，人口增長率為常數(shù)，即單位時間內(nèi)的增量，得微分方程=，（1）則得：（2）阻滯增長模型Logistic模型： 人口增長到一定數(shù)量后會下降，主要是受到環(huán)境條件、自然資源等因素的影響的阻滯作用，并且隨著人口的增長，阻滯作用越大，阻滯作用主要體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降.將表示為的函數(shù)，方程寫作（3）假設(shè)為的線性函數(shù)，即（4）其中，為為自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)量，將（4）式代入（3）得（5）其中等式右邊體現(xiàn)人口自身的增長趨勢，體現(xiàn)環(huán)境和資源對人口增長的阻滯作用.例1江蘇省是全國主要的經(jīng)濟發(fā)展中心，其發(fā)展變化將帶動整個國民經(jīng)濟的發(fā)展變化，土地面積僅占全國的%，人口卻占全國的%，依據(jù)江蘇省1978-2004年的總?cè)丝诒?，分析江蘇省1978-2000年的數(shù)據(jù)及預(yù)測江蘇省規(guī)劃期內(nèi)的總?cè)丝跀?shù)[9].江蘇省1978-2004年歷年總?cè)丝诒恚ㄈf人）年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)197819871996197919881997198019891998198119901999198219912000198319922001198419932002198519942003198619952004表1江蘇省1978-2004年歷年人口表模型分析：江蘇省總?cè)丝趶?978年的萬人到2004年的萬人，增加了萬人，平均年增長率為%.江蘇省1978年至2004年主要表現(xiàn)為：總?cè)丝跀?shù)逐年增長；各年之間的人口增長相對平穩(wěn).1978年-1989年，年平均增長率%；1990年，年平均增長率為%；1991-2003年，年平均增長率為%；2..1-2..4年人口年增長率為%、%、%、%，四年平均增長率為%.馬爾薩斯人口模型建立：模型假設(shè)：1.人口增長率是常數(shù)；2.隨著時間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無線增長.模型構(gòu)成：把1978年-2000年作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)，2001-2004年的數(shù)據(jù)作為驗證.江蘇省1978-2000年的年平均人口增長率為%，2004-2010年人口增長率為%，2010-2020年人口增長率為%.則代入馬爾薩斯人口模型（2）（2）則江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)20012011200220122003201320042014200520152006201620072017200820182009201920102020表2馬爾薩斯模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值圖1馬爾薩斯模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值由馬爾薩斯模型算出的江蘇省2001-2020年各年的人口數(shù)在上表和圖表中顯示出來.Logistic人口阻滯模型：模型構(gòu)成：將微分方程模型（5）化為：（6）將江蘇省人口數(shù)據(jù)代入得出、兩參數(shù)，則得如下方程（7）代入值：經(jīng)過計算得表3和圖2的結(jié)果江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)200120112002201220032013200420147808.200520152006201620072017200820182009201920102020表3logistic模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測圖2logistic模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值由此可以看出Logistic阻滯模型精確點，所以江蘇省2020年預(yù)測人口為萬人（數(shù)學(xué)模型在人口預(yù)測中的應(yīng)用以江蘇省為例）.差分方程模型差分方程又稱遞推關(guān)系式，是含有位置函數(shù)及其差分，但不含有導(dǎo)數(shù)的方程，且滿足該方程的函數(shù)稱為差分方程，差分方程是微分方程的離散化.在實際問題中，遇到變量是離散的，就得考慮差分方程模型，在種群的控制與預(yù)測中，用到的就是差分方程模型，因為其中的時間和年齡均為離散量[10].差分方程模型應(yīng)用于醫(yī)學(xué)CT、市場經(jīng)濟分析、產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出等方面，同微分方程模型一樣在生物學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于按年齡分組的人口模型、種群的增長變化等方面[11].下面介紹差分方程模型當(dāng)中比較典型的按年齡分組的種群模型leslie模型：將種群按年齡大小等間隔分成個年齡組，記時段第個年齡組的種群數(shù)量為，，.模型假設(shè)：1.假設(shè)種群的繁殖率和死亡率不隨時段變化，只與年齡組有關(guān)；2.第年齡組的繁殖率為，即每個個體在1個時段內(nèi)繁殖的數(shù)量；3.第年齡組的死亡率為，即1個時段內(nèi)死亡數(shù)量的比例；4.記為存活率.模型構(gòu)成：時段第年齡組（）的數(shù)量是時段第年齡組存活下來的數(shù)量.得：，（1），，（2）記種群數(shù)量在時段按年齡組的分布向量為：（3）由繁殖率和存活率構(gòu)成的矩陣（4）則將（1），（2），（4）綜合為，（5）當(dāng)和已知是，可以預(yù)測種群數(shù)量在時段按年齡組的分布為（6）Leslie模型的穩(wěn)定狀態(tài)分析：（1）矩陣存在正單特征根，特征向量（2）若矩陣存在則，且，是由，，決定的常數(shù).因為，對角化，，則.當(dāng)充分大使，種群的年齡結(jié)構(gòu)和數(shù)量做如下分析：1），種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，稱穩(wěn)定分布，與初始分布無關(guān).2），，各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，稱固有增長率.3）時，，,各年齡組種群數(shù)量不變.4），，，存活率是同一時段的與之比.例2設(shè)一群動物最高年齡為15歲，每5歲一組，分成3個年齡組，各組的繁殖率為，，，存活率為，，開始時3組各有1000只，求15年后各組分別有多少只，以及時間充分長以后種群的增長率和按年齡組的分布.解：先求矩陣則則固有增長率按年齡組的分布為:各組15年后分別有14735只、1375只、875只.固有增長率為，穩(wěn)定的按年齡組的分布為.穩(wěn)定性模型用微分方程建立的動態(tài)模型來描述動態(tài)過程的變化規(guī)律，但是對于某些問題，并不需要研究動態(tài)過程的每個瞬時的動態(tài)，而僅僅是要求研究某種狀態(tài)下的特征，特別是足夠長的時間內(nèi)動態(tài)過程的變化趨勢.穩(wěn)定性方程模型應(yīng)用于捕魚業(yè)、軍事競爭、經(jīng)濟增長穩(wěn)定等方面，在生物學(xué)中的應(yīng)用于種群的相互競爭、種群的相互依存、食餌與捕食者等方面[12].在建模的開始先了解二階微分方程的平衡點和穩(wěn)定點的求解過程.的實根，為方程的平衡點，記作.如果存在某個領(lǐng)域，使方程的解為，.從這個領(lǐng)域內(nèi)的某點出發(fā)，滿足，則稱平衡點是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.用直接法求平衡點的穩(wěn)定性系數(shù)矩陣為在平衡點的穩(wěn)定性，假定的行列式的根決定，則可以寫成若，則平衡點穩(wěn)定；若或，則平衡點不穩(wěn)定.依據(jù)差分方程模型求穩(wěn)定性的方法建立種群競爭模型：兩個種群見存在著相互競爭、依存、捕食關(guān)系，當(dāng)兩個種群為了爭奪優(yōu)先的資源而進行生產(chǎn)斗爭，其結(jié)局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強的種群達到環(huán)境容許的最大數(shù)量[15].模型假設(shè)：1.兩個種群獨自生存在一個自然環(huán)境中；2.兩個種群的數(shù)量演變遵循Logistic規(guī)律.模型構(gòu)成：記，分別為兩個種群的數(shù)量，，是他們的固有增長率，,是他們的最大容量，則種群一(1)(1)式表示種群一在原有資源下，無種群二的種群數(shù)量.當(dāng)種群二出現(xiàn)時，要考慮種群二消耗同一種有限資源對甲的增長產(chǎn)生的影響.于是得種群二的增長方程(2)其中的意義是：單位數(shù)量的種群二（相對）消耗的供給種群一的食物量為單位數(shù)量(相對)消耗的供給種群一的食物量的.則種群二的方程為(3)和的意義相對應(yīng).穩(wěn)定性分析：將（2），（3）解代數(shù)方程組(5)得4個平衡點只有當(dāng)平衡點位于第一象限時才有實際意義，因此對于而言，只有，同時大于1，或者同時小于1才滿足.按照差分方程判斷平衡點和穩(wěn)定性的方法，計算得下表4平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定表4種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性表格解釋：1.意味著種群在競爭資源時，種群二的競爭弱于種群一；意味著種群在競爭資源時，種群一的競爭強于種群二，即趨向于平衡點.2.意味著種群在競爭資源時，種群二的競爭強于種群一；意味著種群在競爭資源時，種群一的競爭弱于種群二，即趨向于平衡點.3.，意味著在競爭中種群一和種群二相對于對方都比較弱，即趨向于平衡點.4.，意味著在競爭資源時，種群一和種群二相對于對方都比較強，但這時的平衡點不穩(wěn)定.例3一個島嶼上棲居著食肉動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物.爬行動物以哺乳動物為食物，哺乳動物又依賴植物生存.在適當(dāng)假設(shè)下建立三者之間關(guān)系的模型，求平衡點.解：設(shè)分別表示植物、哺乳動物、食肉動物在時刻的數(shù)量.假設(shè)不考慮植物、哺乳動物對自身的阻滯作用.設(shè)為植物的固有增長率，而哺乳動物的存在使植物的增長率減少，建立植物數(shù)量的模型：意味著哺乳動物消耗植物的能力.哺乳動物依靠植物生存，離開植物無法生存，設(shè)植物的死亡率，則哺乳獨自存在時：植物存在為哺乳動物提供了食物，但是食肉動物使哺乳動物的數(shù)量減少，建立哺乳動物數(shù)量的模型：其中意味著植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力，意味著食肉動物捕食哺乳動如的能力.食肉動物離開哺乳動物無法生存，設(shè)哺乳動物的死亡率為，則食肉動物獨自存在時有：哺乳動物的存在時為食肉動物提供食物，于是建立食肉動物的數(shù)量模型：意味著哺乳動物對食肉動物的供養(yǎng)能力.綜上所述，建立如下微分方程得微分方程的平衡點得：.5結(jié)論主要發(fā)現(xiàn)本文探討了生物數(shù)學(xué)的發(fā)展，生物數(shù)學(xué)的分支以及數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位，接著通過數(shù)學(xué)模型中的微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型更好的了解數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用.并在微分方程模型中運用江蘇省的歷年總?cè)丝谶M行人口的預(yù)測，在差分方程模型中對按年齡分