數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話(huà)：傳真:郵編:數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用摘要數(shù)學(xué)模型是研究生命發(fā)展規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和分析生命現(xiàn)狀的工具。建立可靠的本文從生物數(shù)學(xué)的發(fā)展、分支了解生物數(shù)學(xué)的歷史，緊接著又在數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)的地位中了解數(shù)學(xué)模型的地位，最后在數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型.這將有助于在生物數(shù)學(xué)的研究中，依據(jù)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，建立符合規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，在生命進(jìn)程中驗(yàn)證新的規(guī)律、新的發(fā)現(xiàn)，使在研究生物學(xué)時(shí)更清晰、更明了.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；生物學(xué)；應(yīng)用ApplicationofmathematicalmodelinBiologyAbstract:Mathematicalmodelsinbiologysuchasamicroscopecanbefoundinbiologicalmysteries,biologicalresearchthroughwiththeestablishmentofthemathematicalrulesofthelawofdevelopmentoflife,whichlaunchedanewdiscovery,newrulesandinbiologyestablishedreliablemodelofthebiologicalstatusofclassifiedanalysisandforecasting.

Thefromthehistoryofmathematicalbiologydevelopment,thebranchoftheunderstandingofmathematicalbiology,followedbyanotherinthemathematicalmodelinMathematicalBiologystatusinunderstandingthestatusofmathematicalmodel.Finally,intheapplicationofmathematicalmodelknowdifferentialequationmodel,thedifferentialequationmodelandthestabilityofthemodel.

Thiswillhelpinmathematicalbiologyresearch,onthebasisofthemathematicalmodel,establishedinaccordancewiththelawofthemathematicalmodel,intheprocessoflifetoverifynewrules,newfoundinbiologicalresearchclearer,moreclear.Keywords:mathematicalmode;biology;application目錄TOC\o"1-3"\p""\h\z\u1引言……………………12文獻(xiàn)綜述………………1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀………………………1提出問(wèn)題………………23生物數(shù)學(xué)的發(fā)展………………………2生物數(shù)學(xué)發(fā)展歷史……………………3生物數(shù)學(xué)的分支………………………4生物信息學(xué)……………5生物統(tǒng)計(jì)………………5數(shù)量遺傳學(xué)……………5數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)……………5數(shù)理醫(yī)藥學(xué)……………6數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位………64數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中應(yīng)用……………6微分方程模型…………6差分方程模型………………………11穩(wěn)定性模型…………135結(jié)論…………………17主要發(fā)現(xiàn)……………17啟示…………………18局限性………………18努力方向……………18參考文獻(xiàn)……………191引言數(shù)學(xué)是所有自然學(xué)科的基礎(chǔ)，生物卻是偏文科性質(zhì)的自然學(xué)科，把兩者有機(jī)的的結(jié)合在一起就構(gòu)成了生物數(shù)學(xué).但在生物學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)最多的還是數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，解決生物中各種種群增長(zhǎng)問(wèn)題，種群擴(kuò)散問(wèn)題，環(huán)境污染問(wèn)題等.雖然有生物數(shù)學(xué)這樣的學(xué)科產(chǎn)生，但真正讓數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)生了解數(shù)學(xué)在生物中的應(yīng)用，仍需要很大的努力.同時(shí)，許多人會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)的知識(shí)只能應(yīng)用在生物中，而生物知識(shí)卻不能應(yīng)用在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，但是有些實(shí)際問(wèn)題卻不得不提醒我們，在解決一部分實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我必須得先了解生物上的一些知識(shí)，才能解決.但同時(shí)我們也得先了解生物數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，以及生物數(shù)學(xué)的的分支，我們才能知道生物與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，方便我們?cè)诮鉀Q一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，全面的考慮問(wèn)題，分析問(wèn)題.生物數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的邊沿學(xué)科，使數(shù)學(xué)模型得以更好的建立的根本，不僅是一個(gè)學(xué)科的分支，更是學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)工具.了解生物數(shù)學(xué)的發(fā)展，知道生物數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，并知道生物數(shù)學(xué)的分支，方便更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，然后才能把數(shù)學(xué)模型更好應(yīng)用在生物學(xué)中，數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最直觀應(yīng)用于數(shù)學(xué)的東西，但數(shù)學(xué)模型中很大一部分模型和生物相關(guān)聯(lián)，所以才會(huì)出現(xiàn)生物數(shù)學(xué).特別地，生物數(shù)學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)建模中起了很重要的作用.2文獻(xiàn)綜述國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查閱到的參考文獻(xiàn)中，分別就數(shù)學(xué)模型做了介紹，并且對(duì)模型的應(yīng)用也做了介紹.在文獻(xiàn)[1-4]中詳細(xì)的講解了生物數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、分支等方面，還闡述了生物數(shù)學(xué)在其他方面的應(yīng)用，其中穿插的講解了數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中地位以及生物數(shù)學(xué)的未來(lái)發(fā)展趨勢(shì).在文獻(xiàn)[5]中主要是利用數(shù)學(xué)模型在生物序列結(jié)構(gòu)比較中的研究及其應(yīng)用進(jìn)行了介紹，且主要研究了數(shù)學(xué)模型在DNA、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用.在文獻(xiàn)[6]中主要綜述了生物數(shù)學(xué)這一門(mén)學(xué)科的大概，介紹了生物數(shù)學(xué)各分支的具體內(nèi)容，還講解了生物數(shù)學(xué)模型的實(shí)例.在文獻(xiàn)[7]中強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的地位，從不同的角度詮釋數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)模型的方法.在文獻(xiàn)[8]中從建立數(shù)學(xué)模型的步驟、初等模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型等方面進(jìn)行了介紹，詳細(xì)的講解了數(shù)學(xué)模型在不同方面的應(yīng)用.在文獻(xiàn)[9]中運(yùn)用馬爾薩斯模型、logistic模型、人口統(tǒng)計(jì)模型三種方法對(duì)江蘇省人口總數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并且對(duì)三種模型的精確度作了分析.在文獻(xiàn)[10]中依據(jù)文獻(xiàn)[8]中的課后習(xí)題進(jìn)行了解答，更好理解了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用.在文獻(xiàn)[11]中對(duì)人口增長(zhǎng)的原因進(jìn)行了分析，并且運(yùn)用不同的方法對(duì)人口增長(zhǎng)過(guò)快的控制進(jìn)行了描述，還運(yùn)用偏微分方程、差分方程分別描述了人口狀態(tài)的連續(xù)模型和離散模型.在文獻(xiàn)[12]中介紹了差分方程在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、動(dòng)力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等多方面的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了運(yùn)用差分方程模型建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的重要性.在文獻(xiàn)[13]中通過(guò)化學(xué)、物理、生物、交通、經(jīng)濟(jì)管理和工程技術(shù)中眾多數(shù)學(xué)模型的實(shí)例，建立了各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的主要方法和基本規(guī)律.在文獻(xiàn)[14]中找到了種群生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)差分方程理論，建立了描述種群生長(zhǎng)的非線(xiàn)性差分方程模型，并分析了該模型的可靠性和穩(wěn)定性.在文獻(xiàn)[15]中主要從兩個(gè)方面闡述了植物昆蟲(chóng)種群模型的分類(lèi)、通用表達(dá)式的表達(dá)，并針對(duì)各類(lèi)型的植物種群動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了特殊說(shuō)明.國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)文獻(xiàn)[1-15]中分別就生物數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、分支分別進(jìn)行了闡述以及差分方程模型在生物學(xué)中的應(yīng)用等方面作了說(shuō)明.但文獻(xiàn)中沒(méi)有對(duì)生物數(shù)學(xué)深入進(jìn)行研究，以及沒(méi)有對(duì)與差分方程模型相關(guān)的的微分方程模型以及穩(wěn)定性模型在生物學(xué)中應(yīng)用進(jìn)行研究.提出問(wèn)題現(xiàn)有文獻(xiàn)中只是對(duì)生物數(shù)學(xué)發(fā)展、起源、分支的各方面單獨(dú)的進(jìn)行了研究，以及數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用只是進(jìn)行了一方面的介紹.因此本文就以上問(wèn)題把生物數(shù)學(xué)的發(fā)展、起源、分支的各方面綜合進(jìn)行了分析，并且對(duì)數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用中的差分方程模型進(jìn)行了全方面的研究.3生物數(shù)學(xué)的發(fā)展生物數(shù)學(xué)顧名思義便是生物與數(shù)學(xué)的結(jié)合，是生物與數(shù)學(xué)的邊沿學(xué)科，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究和解決生物學(xué)問(wèn)題，并對(duì)與生物有關(guān)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行理論研究的學(xué)科.粗略地說(shuō)，它包括生物數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)生物學(xué)兩部分內(nèi)容，前者看重?cái)?shù)學(xué)，后者看重生物學(xué)[1].如果把生物學(xué)的分支領(lǐng)域看作一個(gè)集合，數(shù)學(xué)的分支范圍看作另一個(gè)集合，生物數(shù)學(xué)便是兩個(gè)集合導(dǎo)出的乘積空間.因而生物數(shù)學(xué)的分支內(nèi)容十分豐富，從研究使用的數(shù)學(xué)方法區(qū)分，生物數(shù)學(xué)可分為生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、生物信息論、生物系統(tǒng)論、生物控制論和生物方程等的分支.另外，由于生命現(xiàn)象極為復(fù)雜，從生物學(xué)中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往也十分復(fù)雜，需要進(jìn)行大量計(jì)算工作，因此計(jì)算機(jī)是解決生物數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具[2].生物數(shù)學(xué)發(fā)展歷史生物數(shù)學(xué)的最早起源于中國(guó)北宋科學(xué)家沈括，于1088年推出的“胎育之理”的數(shù)學(xué)模型，并說(shuō)明了出生嬰兒性別大致相等的規(guī)律，建立了種群動(dòng)態(tài)模型.到1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算書(shū)》第12章的第七節(jié)中，關(guān)于家兔繁殖的問(wèn)題，建立了家兔增長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)模型.，；.后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗于1730年的《分析集錦》中第一次給出了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式.1963年，一些美國(guó)數(shù)學(xué)家成立了斐波那契協(xié)會(huì)，并且發(fā)行了一份專(zhuān)門(mén)研究他的季刊《斐波那契季刊》，這標(biāo)志著對(duì)斐波那契家兔增長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)模型的性質(zhì)及應(yīng)用進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段.1604年，中國(guó)明朝的著名科學(xué)家徐光啟在其著作《農(nóng)政全書(shū)》中用數(shù)學(xué)的概率方法估計(jì)過(guò)和平時(shí)期人口的增長(zhǎng)，說(shuō)“頭三十年為一世”這是最早的人口增長(zhǎng)模型.1662年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家格朗特，在他的專(zhuān)著《生命表的自然和政治觀察》中，研究了倫敦市人口的出生率、死亡率等指數(shù)與人口增長(zhǎng)的關(guān)系，并且通過(guò)計(jì)算得出倫敦的人口大概每64年將增加一倍.且發(fā)現(xiàn)人口的出生率與死亡率相對(duì)穩(wěn)定，提出“大數(shù)恒靜定律”.1693年，英國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家哈雷按年齡分類(lèi)，以德國(guó)布雷斯勞市1687-1691年間市民的死亡統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，精確地表示了每年的死亡率.從而改進(jìn)了格朗特的生命表，并定義了死亡率的含義，制訂了世界上第一份最完整、最科學(xué)的生命表.1748年，歐拉在其出版的《無(wú)窮分析引論》的第六章“指數(shù)與對(duì)數(shù)”中，所舉的例子中：假設(shè)人口數(shù)量關(guān)于年份滿(mǎn)足方程（其中為整數(shù)，增長(zhǎng)率為正實(shí)數(shù)），若初值為，則關(guān)于的表達(dá)式可以改寫(xiě)為，此模型被稱(chēng)為人口幾何增長(zhǎng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型.1760年，瑞士數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家、物理學(xué)家丹尼爾·伯努利對(duì)天花病毒進(jìn)行了分析，且建立了天花病毒動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，其中，為人口的年齡，為人口因感染上天花而死亡的概率，表示感染天花病毒后痊愈的年齡為的人口數(shù)量，為每人每年感染上天花的概率.伯努利在天花病毒動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型中所作感染上天花的概率與因感染上天花的概率，關(guān)于相互獨(dú)立的理想假設(shè)存在一定的局限性.1761年，法國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾改進(jìn)了伯努利的模型，得到了更符合實(shí)際情況的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：，其中為因感染天花而死亡的人數(shù).1798年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯在《人口原理》中，根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)顯示，針對(duì)人口增長(zhǎng)規(guī)律，提出人口種群模型的基本假設(shè)：在人口自然增長(zhǎng)的過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率的常數(shù)，從對(duì)人口增長(zhǎng)和食品過(guò)去增長(zhǎng)的分析中導(dǎo)出了微分方程模型：已知初始時(shí)刻時(shí)種群數(shù)量為,設(shè)時(shí)刻的種群數(shù)量為.經(jīng)過(guò)后，在時(shí)刻，種群的數(shù)量變?yōu)?由上述基本假設(shè)，在時(shí)間內(nèi)，種群數(shù)量的增加量與當(dāng)時(shí)的種群數(shù)量成比例，比例系數(shù)為，則在內(nèi)，種群的增量可寫(xiě)為.再將上式兩邊同時(shí)除以，得到，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足：或.上述微分方程模型為馬爾薩斯模型[3].生物數(shù)學(xué)的分支伴隨著生物數(shù)學(xué)的快速發(fā)展，生物數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容已經(jīng)形成一個(gè)巨大的體系，總共包含了14個(gè)分支學(xué)科[4].這些學(xué)科是按下列兩種分類(lèi)方法來(lái)劃分的.第一種是按所涉及的數(shù)學(xué)方法來(lái)分類(lèi)，分為生物統(tǒng)計(jì)、生物動(dòng)力系統(tǒng)和生物控制論、統(tǒng)計(jì)醫(yī)藥學(xué)、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)等；生物動(dòng)力系統(tǒng)又分為種群動(dòng)力學(xué)，細(xì)胞動(dòng)力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)等.第二種是按研究生命科學(xué)中的分支學(xué)科的不同分類(lèi)，有數(shù)學(xué)生態(tài)、數(shù)量生理、數(shù)量分類(lèi)、數(shù)量遺傳、傳染病動(dòng)力學(xué)、數(shù)量生物經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理醫(yī)藥學(xué)、神經(jīng)科學(xué)的數(shù)學(xué)模型、分子動(dòng)力學(xué)、細(xì)胞動(dòng)力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)等分支學(xué)科.其中數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)又可分為種群生態(tài)學(xué)、統(tǒng)計(jì)生態(tài)學(xué)、系統(tǒng)生態(tài)學(xué)等分支學(xué)科.生物信息學(xué)從生物信息學(xué)研究的具體內(nèi)容上說(shuō)，主要有3個(gè)部分：新算法與統(tǒng)計(jì)學(xué)方法研究、各類(lèi)數(shù)據(jù)的分析和解釋以及管理數(shù)據(jù)和研制有效利用的新工具.生物信息學(xué)是由分子生物學(xué)與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是由各種生物學(xué)與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是各種生物學(xué)數(shù)據(jù)，研究的方法主要有對(duì)生物學(xué)數(shù)據(jù)的搜索、收集、篩選、處理（編輯、整理、管理和顯示）以及利用（計(jì)算和模擬）.生物信息學(xué)是現(xiàn)在生命科學(xué)和自然科學(xué)的重大前沿領(lǐng)域之一，并且也將是21世紀(jì)自然科學(xué)的核心領(lǐng)域之一.隨著基因組測(cè)序計(jì)劃的展開(kāi)和分子結(jié)構(gòu)測(cè)定技術(shù)的突破以及網(wǎng)絡(luò)的普及，生物學(xué)數(shù)據(jù)庫(kù)逐漸成熟起來(lái).伴隨著生物研究中數(shù)學(xué)模型和算法的不斷完善，擁有許多強(qiáng)有力的生物信息分析工具，如進(jìn)化分析、聚類(lèi)分析等的產(chǎn)生.部分有效的分析工具極大地依賴(lài)于生物序列和結(jié)構(gòu)的比較.序列和結(jié)構(gòu)的比較是最重要和最常用的原始操作，是許多其它復(fù)雜操作的基礎(chǔ)[5].生物統(tǒng)計(jì)生物統(tǒng)計(jì)是生物數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在生物界一直受到普遍重視.它在醫(yī)學(xué)界成為了衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容，目前主要從事統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的應(yīng)用和改進(jìn)有關(guān)logistic回歸模型方面的研究和應(yīng)用生存分析以及研究人的壽命表的人口統(tǒng)計(jì)等方面.其中運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析來(lái)研究生物現(xiàn)象，成為生物統(tǒng)計(jì)發(fā)展的一個(gè)方向.數(shù)量遺傳學(xué)數(shù)量遺傳學(xué)的分析方法，在動(dòng)物遺傳育種方面，提供有價(jià)值的育種參數(shù)；在作物育種方面，對(duì)主要作物的一些基本數(shù)量性狀的遺傳規(guī)律進(jìn)行分析，現(xiàn)在趨向于分析一些地區(qū)性作物的一些特定的性狀；在試驗(yàn)設(shè)計(jì)上更加接近于信息量較大的雙列雜交設(shè)計(jì)，并且也是林木遺傳育種的一個(gè)分析手段.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)不僅是生物數(shù)學(xué)的分支，也是生態(tài)學(xué)的一部分.從使用的數(shù)學(xué)工具來(lái)分有理論生態(tài)學(xué),統(tǒng)計(jì)生態(tài)學(xué)與系統(tǒng)生態(tài)學(xué).理論生態(tài)學(xué)主要是使用隨機(jī)微分方程,差分方程,線(xiàn)性代數(shù)，常微分方程和隨機(jī)過(guò)程等數(shù)學(xué)工具來(lái)設(shè)計(jì)與實(shí)際相近的數(shù)學(xué)模型；系統(tǒng)生態(tài)學(xué)是采用運(yùn)籌學(xué)與系統(tǒng)分析理論等數(shù)學(xué)工具來(lái)研究生態(tài)系統(tǒng)；統(tǒng)計(jì)生態(tài)學(xué)主要是數(shù)理生態(tài)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的相結(jié)合,其中包括空間分布型,抽樣技術(shù)與多元分析等；如果就研究的對(duì)象來(lái)分,分為動(dòng)物數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué),昆蟲(chóng)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)與植物數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué).數(shù)理醫(yī)藥學(xué)數(shù)理醫(yī)藥學(xué)是研究生物細(xì)胞的化學(xué)作用建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究，是生命科學(xué)的圍觀研究，例如：在毒理生態(tài)學(xué)中利用宏觀和微觀數(shù)學(xué)模型來(lái)研究環(huán)境污染對(duì)生物種群的影響.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)主要利用數(shù)學(xué)模型研究傳染病的方式、發(fā)展和傳染過(guò)程，已成為生物數(shù)學(xué)的分支.例如：對(duì)現(xiàn)有的傳染病模型作改進(jìn)，使其更隨機(jī)化，更符合實(shí)際，并且建立了帶有年齡結(jié)構(gòu)的種群的長(zhǎng)期和非長(zhǎng)期免疫型的傳染病模型.數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，數(shù)學(xué)一直都有著自己的理論體系.第一是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，第二是應(yīng)用數(shù)學(xué)，第三是計(jì)算數(shù)學(xué).生命是數(shù)字的游戲，隨著近代生物學(xué)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)在生命科學(xué)的作用愈發(fā)突出，無(wú)論是微觀方向的發(fā)展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數(shù)學(xué)計(jì)算作為推動(dòng)其前進(jìn)的不懈動(dòng)力[6].數(shù)學(xué)模型：為了研究的目的而建立并能夠表現(xiàn)和描述真實(shí)世界某些現(xiàn)象、特征和狀況的數(shù)學(xué)問(wèn)題.數(shù)學(xué)模型能定量地描述生命物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，一個(gè)復(fù)雜的生物學(xué)問(wèn)題借助數(shù)學(xué)模型能轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的邏輯推理、求解和運(yùn)算，就能夠獲得客觀事物的有關(guān)結(jié)論，達(dá)到對(duì)生命現(xiàn)象進(jìn)行研究的目的[7].4數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型中有初等模型、簡(jiǎn)單優(yōu)化模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型等，在生物學(xué)中應(yīng)用較廣泛的是微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型，并應(yīng)用于種群增長(zhǎng)、疾病預(yù)測(cè)與控制、種群競(jìng)爭(zhēng)、種群依存等方面.微分方程模型微分方程是描述未知函數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，形如.在數(shù)學(xué)模型中需要描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間或空間的演變的過(guò)程，分析它的變化規(guī)律、預(yù)測(cè)它的未來(lái)形態(tài)、研究它的控制手段時(shí)，就需要建立的對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型[8].微分方程模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭(zhēng)、醫(yī)學(xué)等方面，在生物學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于傳染病的控制與防范，人口的控制和預(yù)測(cè)，種群增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)，細(xì)胞增長(zhǎng)速率等方面.下面介紹人口的預(yù)測(cè)和控制：指數(shù)增長(zhǎng)模型由英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯提出的，記時(shí)刻的人口為，且視為連續(xù)，可微的函數(shù)，并令初始時(shí)刻的人口為，人口增長(zhǎng)率為常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)的增量，得微分方程=，（1）則得：（2）阻滯增長(zhǎng)模型Logistic模型： 人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后會(huì)下降，主要是受到環(huán)境條件、自然資源等因素的影響的阻滯作用，并且隨著人口的增長(zhǎng)，阻滯作用越大，阻滯作用主要體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降.將表示為的函數(shù)，方程寫(xiě)作（3）假設(shè)為的線(xiàn)性函數(shù)，即（4）其中，為為自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)量，將（4）式代入（3）得（5）其中等式右邊體現(xiàn)人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，體現(xiàn)環(huán)境和資源對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用.例1江蘇省是全國(guó)主要的經(jīng)濟(jì)發(fā)展中心，其發(fā)展變化將帶動(dòng)整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展變化，土地面積僅占全國(guó)的%，人口卻占全國(guó)的%，依據(jù)江蘇省1978-2004年的總?cè)丝诒恚治鼋K省1978-2000年的數(shù)據(jù)及預(yù)測(cè)江蘇省規(guī)劃期內(nèi)的總?cè)丝跀?shù)[9].江蘇省1978-2004年歷年總?cè)丝诒恚ㄈf(wàn)人）年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)197819871996197919881997198019891998198119901999198219912000198319922001198419932002198519942003198619952004表1江蘇省1978-2004年歷年人口表模型分析：江蘇省總?cè)丝趶?978年的萬(wàn)人到2004年的萬(wàn)人，增加了萬(wàn)人，平均年增長(zhǎng)率為%.江蘇省1978年至2004年主要表現(xiàn)為：總?cè)丝跀?shù)逐年增長(zhǎng)；各年之間的人口增長(zhǎng)相對(duì)平穩(wěn).1978年-1989年，年平均增長(zhǎng)率%；1990年，年平均增長(zhǎng)率為%；1991-2003年，年平均增長(zhǎng)率為%；2..1-2..4年人口年增長(zhǎng)率為%、%、%、%，四年平均增長(zhǎng)率為%.馬爾薩斯人口模型建立：模型假設(shè)：1.人口增長(zhǎng)率是常數(shù)；2.隨著時(shí)間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)線(xiàn)增長(zhǎng).模型構(gòu)成：把1978年-2000年作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，2001-2004年的數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證.江蘇省1978-2000年的年平均人口增長(zhǎng)率為%，2004-2010年人口增長(zhǎng)率為%，2010-2020年人口增長(zhǎng)率為%.則代入馬爾薩斯人口模型（2）（2）則江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)20012011200220122003201320042014200520152006201620072017200820182009201920102020表2馬爾薩斯模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值圖1馬爾薩斯模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值由馬爾薩斯模型算出的江蘇省2001-2020年各年的人口數(shù)在上表和圖表中顯示出來(lái).Logistic人口阻滯模型：模型構(gòu)成：將微分方程模型（5）化為：（6）將江蘇省人口數(shù)據(jù)代入得出、兩參數(shù)，則得如下方程（7）代入值：經(jīng)過(guò)計(jì)算得表3和圖2的結(jié)果江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)200120112002201220032013200420147808.200520152006201620072017200820182009201920102020表3logistic模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)圖2logistic模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值由此可以看出Logistic阻滯模型精確點(diǎn)，所以江蘇省2020年預(yù)測(cè)人口為萬(wàn)人（數(shù)學(xué)模型在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用以江蘇省為例）.差分方程模型差分方程又稱(chēng)遞推關(guān)系式，是含有位置函數(shù)及其差分，但不含有導(dǎo)數(shù)的方程，且滿(mǎn)足該方程的函數(shù)稱(chēng)為差分方程，差分方程是微分方程的離散化.在實(shí)際問(wèn)題中，遇到變量是離散的，就得考慮差分方程模型，在種群的控制與預(yù)測(cè)中，用到的就是差分方程模型，因?yàn)槠渲械臅r(shí)間和年齡均為離散量[10].差分方程模型應(yīng)用于醫(yī)學(xué)CT、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析、產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出等方面，同微分方程模型一樣在生物學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于按年齡分組的人口模型、種群的增長(zhǎng)變化等方面[11].下面介紹差分方程模型當(dāng)中比較典型的按年齡分組的種群模型leslie模型：將種群按年齡大小等間隔分成個(gè)年齡組，記時(shí)段第個(gè)年齡組的種群數(shù)量為，，.模型假設(shè)：1.假設(shè)種群的繁殖率和死亡率不隨時(shí)段變化，只與年齡組有關(guān)；2.第年齡組的繁殖率為，即每個(gè)個(gè)體在1個(gè)時(shí)段內(nèi)繁殖的數(shù)量；3.第年齡組的死亡率為，即1個(gè)時(shí)段內(nèi)死亡數(shù)量的比例；4.記為存活率.模型構(gòu)成：時(shí)段第年齡組（）的數(shù)量是時(shí)段第年齡組存活下來(lái)的數(shù)量.得：，（1），，（2）記種群數(shù)量在時(shí)段按年齡組的分布向量為：（3）由繁殖率和存活率構(gòu)成的矩陣（4）則將（1），（2），（4）綜合為，（5）當(dāng)和已知是，可以預(yù)測(cè)種群數(shù)量在時(shí)段按年齡組的分布為（6）Leslie模型的穩(wěn)定狀態(tài)分析：（1）矩陣存在正單特征根，特征向量（2）若矩陣存在則，且，是由，，決定的常數(shù).因?yàn)?，?duì)角化，，則.當(dāng)充分大使，種群的年齡結(jié)構(gòu)和數(shù)量做如下分析：1），種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，稱(chēng)穩(wěn)定分布，與初始分布無(wú)關(guān).2），，各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，稱(chēng)固有增長(zhǎng)率.3）時(shí)，，,各年齡組種群數(shù)量不變.4），，，存活率是同一時(shí)段的與之比.例2設(shè)一群動(dòng)物最高年齡為15歲，每5歲一組，分成3個(gè)年齡組，各組的繁殖率為，，，存活率為，，開(kāi)始時(shí)3組各有1000只，求15年后各組分別有多少只，以及時(shí)間充分長(zhǎng)以后種群的增長(zhǎng)率和按年齡組的分布.解：先求矩陣則則固有增長(zhǎng)率按年齡組的分布為:各組15年后分別有14735只、1375只、875只.固有增長(zhǎng)率為，穩(wěn)定的按年齡組的分布為.穩(wěn)定性模型用微分方程建立的動(dòng)態(tài)模型來(lái)描述動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化規(guī)律，但是對(duì)于某些問(wèn)題，并不需要研究動(dòng)態(tài)過(guò)程的每個(gè)瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)，而僅僅是要求研究某種狀態(tài)下的特征，特別是足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化趨勢(shì).穩(wěn)定性方程模型應(yīng)用于捕魚(yú)業(yè)、軍事競(jìng)爭(zhēng)、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)穩(wěn)定等方面，在生物學(xué)中的應(yīng)用于種群的相互競(jìng)爭(zhēng)、種群的相互依存、食餌與捕食者等方面[12].在建模的開(kāi)始先了解二階微分方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)的求解過(guò)程.的實(shí)根，為方程的平衡點(diǎn)，記作.如果存在某個(gè)領(lǐng)域，使方程的解為，.從這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的某點(diǎn)出發(fā)，滿(mǎn)足，則稱(chēng)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.用直接法求平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性系數(shù)矩陣為在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，假定的行列式的根決定，則可以寫(xiě)成若，則平衡點(diǎn)穩(wěn)定；若或，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.依據(jù)差分方程模型求穩(wěn)定性的方法建立種群競(jìng)爭(zhēng)模型：兩個(gè)種群見(jiàn)存在著相互競(jìng)爭(zhēng)、依存、捕食關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)種群為了爭(zhēng)奪優(yōu)先的資源而進(jìn)行生產(chǎn)斗爭(zhēng)，其結(jié)局是競(jìng)爭(zhēng)力較弱的種群滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力較強(qiáng)的種群達(dá)到環(huán)境容許的最大數(shù)量[15].模型假設(shè)：1.兩個(gè)種群獨(dú)自生存在一個(gè)自然環(huán)境中；2.兩個(gè)種群的數(shù)量演變遵循Logistic規(guī)律.模型構(gòu)成：記，分別為兩個(gè)種群的數(shù)量，，是他們的固有增長(zhǎng)率，,是他們的最大容量，則種群一(1)(1)式表示種群一在原有資源下，無(wú)種群二的種群數(shù)量.當(dāng)種群二出現(xiàn)時(shí)，要考慮種群二消耗同一種有限資源對(duì)甲的增長(zhǎng)產(chǎn)生的影響.于是得種群二的增長(zhǎng)方程(2)其中的意義是：?jiǎn)挝粩?shù)量的種群二（相對(duì)）消耗的供給種群一的食物量為單位數(shù)量(相對(duì))消耗的供給種群一的食物量的.則種群二的方程為(3)和的意義相對(duì)應(yīng).穩(wěn)定性分析：將（2），（3）解代數(shù)方程組(5)得4個(gè)平衡點(diǎn)只有當(dāng)平衡點(diǎn)位于第一象限時(shí)才有實(shí)際意義，因此對(duì)于而言，只有，同時(shí)大于1，或者同時(shí)小于1才滿(mǎn)足.按照差分方程判斷平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性的方法，計(jì)算得下表4平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定表4種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性表格解釋?zhuān)?.意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群二的競(jìng)爭(zhēng)弱于種群一；意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群一的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)于種群二，即趨向于平衡點(diǎn).2.意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群二的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)于種群一；意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群一的競(jìng)爭(zhēng)弱于種群二，即趨向于平衡點(diǎn).3.，意味著在競(jìng)爭(zhēng)中種群一和種群二相對(duì)于對(duì)方都比較弱，即趨向于平衡點(diǎn).4.，意味著在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群一和種群二相對(duì)于對(duì)方都比較強(qiáng)，但這時(shí)的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.例3一個(gè)島嶼上棲居著食肉動(dòng)物和哺乳動(dòng)物，又長(zhǎng)著茂盛的植物.爬行動(dòng)物以哺乳動(dòng)物為食物，哺乳動(dòng)物又依賴(lài)植物生存.在適當(dāng)假設(shè)下建立三者之間關(guān)系的模型，求平衡點(diǎn).解：設(shè)分別表示植物、哺乳動(dòng)物、食肉動(dòng)物在時(shí)刻的數(shù)量.假設(shè)不考慮植物、哺乳動(dòng)物對(duì)自身的阻滯作用.設(shè)為植物的固有增長(zhǎng)率，而哺乳動(dòng)物的存在使植物的增長(zhǎng)率減少，建立植物數(shù)量的模型：意味著哺乳動(dòng)物消耗植物的能力.哺乳動(dòng)物依靠植物生存，離開(kāi)植物無(wú)法生存，設(shè)植物的死亡率，則哺乳獨(dú)自存在時(shí)：植物存在為哺乳動(dòng)物提供了食物，但是食肉動(dòng)物使哺乳動(dòng)物的數(shù)量減少，建立哺乳動(dòng)物數(shù)量的模型：其中意味著植物對(duì)哺乳動(dòng)物的供養(yǎng)能力，意味著食肉動(dòng)物捕食哺乳動(dòng)如的能力.食肉動(dòng)物離開(kāi)哺乳動(dòng)物無(wú)法生存，設(shè)哺乳動(dòng)物的死亡率為，則食肉動(dòng)物獨(dú)自存在時(shí)有：哺乳動(dòng)物的存在時(shí)為食肉動(dòng)物提供食物，于是建立食肉動(dòng)物的數(shù)量模型：意味著哺乳動(dòng)物對(duì)食肉動(dòng)物的供養(yǎng)能力.綜上所述，建立如下微分方程得微分方程的平衡點(diǎn)得：.5結(jié)論主要發(fā)現(xiàn)本文探討了生物數(shù)學(xué)的發(fā)展，生物數(shù)學(xué)的分支以及數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位，接著通過(guò)數(shù)學(xué)模型中的微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型更好的了解數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用.并在微分方程模型中運(yùn)用江蘇省的歷年總?cè)丝谶M(jìn)行人口的預(yù)測(cè)，在差分方程模型中對(duì)按年齡分