正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)

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6.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一、復(fù)習(xí)引入

1、復(fù)習(xí)

〔1〕函數(shù)的觀點

在某個變化過程中有兩個變量x、y，假定對于x在某個實數(shù)會合D內(nèi)的每一個確立的

值，依據(jù)某個對應(yīng)法那么f，y都有獨一確立的實數(shù)值與它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，記作

yfx，xD。

〔2〕三角函數(shù)線設(shè)隨意角的極點在原點O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓訂交于點

P(x,y)，過P作x軸的垂線，垂足為M；過點A(1,0)作單位圓的切線，設(shè)它與角的

終邊〔當(dāng)在第一、四象限角時〕或其反向延伸線〔當(dāng)為第二、三象限角時〕訂交于

T.

規(guī)定：當(dāng)OM與x軸同向時為正當(dāng)，當(dāng)OM與x軸反向時為負(fù)值；當(dāng)MP與y軸同向時為正當(dāng)，當(dāng)MP與y軸反向時為負(fù)值；

當(dāng)AT與y軸同向時為正當(dāng)，當(dāng)AT與y軸反向時為負(fù)值；依據(jù)上邊規(guī)定，那么OMx,MPy,

由正弦、余弦、正切三角比的定義有：

yyMP；sinyr1xxOM；cosxr1yMPATtanOMAT；xOA這幾條與單位圓相關(guān)的有向線段MP,OM,AT叫做角的正弦線、余弦線、正切線。二、講解新課【問題驅(qū)動1】——聯(lián)合我們剛學(xué)過的三角比，就以正弦(或余弦)為例，對于每一個給定的角和它的正弦值(或余弦值)之間能否也存在一種函數(shù)關(guān)系？假定存在，請對這類函數(shù)關(guān)系下一個定義；假定不存在，請說明原因．1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義1〕正弦函數(shù)：2〕余弦函數(shù)：

ysinx,xR；ycosx,xR【問題驅(qū)動2】——怎樣作出正弦函數(shù)ysinx,xR、余弦函數(shù)ycosx,xR的函數(shù)圖象？2、正弦函數(shù)ysinx,xR的圖像〔1〕ysinx,x0,2的圖像【方案1】——幾何描點法步驟1：平分、作正弦線——將單位圓平分，作三角函數(shù)線〔正弦線〕得三角函數(shù)值；步驟2：描點——平移定點，即描點x,sinx；步驟3：連線——用圓滑的曲線按序連接各個點小結(jié)：幾何描點法作圖精準(zhǔn)，但過程比較繁?！痉桨?】——五點法步驟1：列表——列出對圖象形狀起重點作用的五點坐標(biāo)；步驟2：描點——定出五個重點點；步驟3：連線——用圓滑的曲線按序連接五個點小結(jié)：ysinx,x0,2的五個重點點是0,0、,1、,0、3,0、2,0。22〔2〕ysinx,xR的圖像由sin2kxsinx,kZ，因此函數(shù)ysinx在區(qū)間2k,2k2kZ,k0上的圖像與在區(qū)間0,2上的圖像形狀同樣,不過地點不一樣.于是我們只需將函數(shù)ysinx,x0,2的圖像向左、右平行挪動(每次平行挪動2個單位長度)，就能夠獲得正弦函數(shù)ysinx,xR的圖像。3、余弦函數(shù)ycosx,xR的圖像〔1〕ycosx,x0,2的圖像〔2〕ycosx,xR的圖像圖像平移法由sinxcosx，可知只須將ysinx,xR的圖像向左平移即可。22三、例題舉隅例、作出函數(shù)y1sinx,x0,2的大概圖像；【設(shè)計企圖】——觀察利用“五點法〞作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像【解】①列表x03222sinx00011y1sinx12101②描點在直角坐標(biāo)系中，描出五個重點點：0,1、,2、,1、3,0、2,122③連線、作出函數(shù)y10,2的大概像sinx,x2二、性質(zhì)1．定域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定域都是數(shù)集R［或(－∞，＋∞)］，分作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R2．域因正弦、余弦的度小于或等于位的半徑的度，因此｜sinx｜≤1，cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的域都是［－1，1］此中正弦函數(shù)y=sinx，x∈R①當(dāng)且當(dāng)x＝＋2kπ，k∈Z，獲得最大12②當(dāng)且當(dāng)x＝－＋2kπ，k∈Z，獲得最?。?2而余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R①當(dāng)且當(dāng)x＝2kπ，k∈Z，獲得最大1②當(dāng)且當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z，獲得最?。?3．周期性sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是依據(jù)必定律不停重復(fù)地獲得的。一般地，于函數(shù)f(x)，假如存在一個非零常數(shù)T，使適當(dāng)x取定域內(nèi)的每一個，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做個函數(shù)的周期。由此可知，2π，4π，??，－2π，－4π，??2kπ(k∈Z且k≠0)都是兩個函數(shù)的周期對于一個周期函數(shù)f(x)，假如在它全部的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。4．奇偶性sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx可知：y＝sinx為奇函數(shù)，y＝cosx為偶函數(shù)∴正弦曲線對于原點O對稱,余弦曲線對于y軸對稱5．單一性聯(lián)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－

＋2kπ，

＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－2

21增大到

1；在每一個閉區(qū)間［

＋2kπ，

3

＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從2

21減小到－

1。余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［到1；在每一個閉區(qū)間［

(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增添2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1y=sinx

y=cosx圖象定義域RR值域[1,1][1,1]當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2k當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z最值時，獲得最大值12當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)π，kπ，k∈Z時，獲得最大值1∈Z時，獲得最小值－1當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2k2π，k∈Z時，獲得最小值－1周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單一性在閉區(qū)間［－＋2k在閉區(qū)間［(2k－1)π，2k2π］(k∈Z)上單一遞加；＋2kπ］(k∈Z)π，2在每一個閉區(qū)間［2kπ，上單一遞加，；在閉區(qū)間［＋2kπ，3＋(2k＋1)π］(k∈Z)上單一222kπ］(k∈Z)上單一遞遞減減典型例題〔3個，根基的或中等難度〕例1：求使以下函數(shù)獲得最大值的自變量

x的會合，并說出最大值是什么。1〕y＝cosx＋1，x∈R；〔2〕y＝sin2x，x∈R解：〔1〕使函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R獲得最大值的x的會合，就是使函數(shù)y＝cosx，x∈R獲得最大值的x的會合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝。∴函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2?！?〕令Z＝2x，那么x∈R一定而且只需Z∈R，且使函數(shù)y＝sinZ，Z∈R獲得最大值的Z的會合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝2由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ24即便函數(shù)y＝sin2x，x∈R獲得最大值的x的會合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝4∴函數(shù)y＝sin2x，x∈R的最大值是1。例2：求以下函數(shù)的單一區(qū)間〔1〕y＝－cosx〔2〕y=1sin(4x-)〔3〕y=3sin(-2x)433解：〔1〕由y＝－cosx的圖象可知：單一增區(qū)間為［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)單一減區(qū)間為［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)〔2〕當(dāng)2kπ-≤4x-≤2kπ+2，23[k，k+5∴函數(shù)的遞加區(qū)間是-24](k∈Z)2224當(dāng)2kπ+≤4x-≤2kπ+3232∴函數(shù)的遞減區(qū)間是[k+5,k+11](k∈Z)224224〔3〕當(dāng)2kπ-≤-2x≤2kπ+時，函數(shù)單一遞減，232∴函數(shù)單一遞減區(qū)間是[kπ-，kπ+5](k∈Z)1212當(dāng)2kπ+≤-2x≤2kπ+3時，函數(shù)單一遞加，232∴函數(shù)單一遞減區(qū)間是[kπ+5，kπ+11](k∈Z)1212例3：求以下三角函數(shù)的周期：(1)y=sin(x+)(2)y=cos2x(3)y=3sin(x)+325解：(1)令z=x+而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z)3f[(x+2)+]=f(x+)∴周期T=2.33(2)令z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]即：f(x+)=f(x)∴周期T=。x那么(3)令z=+5f(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(x++2)=3sin(x4)=f(x+4)2255∴周期T=4。注：y＝Asin(ωx＋φ)的周期T=2|。|〔四〕講堂練習(xí)〔2個，根基的或中等難度〕1、求使以下函數(shù)y=3-cosx獲得最大值的自變量x的會合，并說出最大值是什么。2解：當(dāng)cosx=-1，即x=2k+，k∈Z，∴{x|x=4k+2，k∈Z}，22y=3-cosx獲得最大值。122、求y=sin2x的周期。2解：∵y=1sin2x=1(1-cos2x)=1-1cos2x，∴T=。24443、求函數(shù)y=3cos(2x+3)的單一區(qū)間。解：當(dāng)2kπ≤2x+≤2kπ+時，函數(shù)單一遞減，3∴函數(shù)的單一遞減區(qū)間是[kπ-，kπ+](k∈Z)63當(dāng)2kπ-≤2x+3≤2kπ時，函數(shù)單一遞加，2∴函數(shù)的單一遞加區(qū)間是[kπ-，kπ-](k∈Z)36〔五〕拓展研究〔2個〕1、求以下函數(shù)的周期：〔1〕y=sin(2x+)+2cos(3x-)〔2〕y=|sinx|〔3〕y=23sinxcosx+2cos2x-146解：〔1〕y1=sin(2x+)最小正周期T1=4y2=2cos(3x-)最小正周期T2=

263∴T為T1,T2的最小公倍數(shù)2∴T=22〕T=〔3〕y=3sin2x+cos2x=2sin(2x+)∴T=62、求以下函數(shù)的最值：〔1〕y=sin(3x+)-1〔2〕y=sin2x-4sinx+5〔3〕y=3cosx43cosx解：〔1〕當(dāng)3x+=2k+即x=2k12(kZ)時，ymax=0423當(dāng)3x+=2k-即x=2k4(kZ)時，ymin=-2423〔2〕y=(sinx-2)2∴當(dāng)x=2k-kmax2當(dāng)x=2k-kZ時，ymin=22〔3〕y=-1+1當(dāng)x=2k+kZ時，ymax=23cosx當(dāng)x=2kkZ時，ymin=12作業(yè)一、填空題1、函數(shù)y=cos(x-)的奇偶性是_________________。22、函數(shù)y=-5sinx+1的最大值是__________，此時相應(yīng)的x的值是________________。3、函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是_________。4、函數(shù)y=sinxcos(x+)+cosxsin(x+)的最小正周期是________。445、函數(shù)y=3cos(2x+3)的單一遞減區(qū)間是___________________。6、函數(shù)y=sinx和y=cosx都為減函數(shù)的區(qū)間是___________________。7、函數(shù)y=sin(-2x)的單一遞加區(qū)間是________________________。68、函數(shù)y=f(x)是以為周期，且最大值為3，最小值為-1，那么這個函數(shù)的解讀式3能夠是________________。二、選擇題1、函數(shù)y=sinx，x∈[，2]的值域是〔〕63〔A〕[-1，1]〔B〕[1，1]〔C〕[1，3]〔D〕[3，1]22222、以下函數(shù)中，周期是1的函數(shù)是〔〕2〔A〕y=sinx〔B〕y=cos2x〔C〕y=sinx〔D〕y=sin4kπ23、以下函數(shù)是奇函數(shù)的是〔〕〔A〕y=sin|x|

〔B〕y=xsin|x|

〔C〕

y=-|sinx|

〔D〕y=sin(-|x|)4*、函數(shù)

y=sin(2x+

)+cos(2x+

)的最小正周期和最大值分別為

〔〕6

3〔A〕，1

〔B〕，

2

〔C〕2

，1

〔D〕2

，

2三、解答題1、函數(shù)

y=acosx-2b

的最小值為

-2，最大值為

4，求

a和

b的值。2、求函數(shù)y=2sin2x+5cosx-1的值域。3、判斷以下函數(shù)的奇偶性：〔1〕y=cos(2x-5)；〔2〕y=xsinx+cos3x24、求函數(shù)y=sin2x-sinxcosx的單一區(qū)間。一、填空題1、奇函數(shù)；2、6，{x|x=2kπ-，k∈Z}；3、；24、π；5、[kπ-，kπ+](k∈Z)；6、[2kπ+,2kπ+](k∈Z)6327、[kπ+，kπ+5](k∈Z)；8、y=2sin6x+1〔答案不獨一〕36二、1、B；2、D；3、B；4、A〔y=3sin2x+1cos2x+1cos2x-3sin2x2222=cos2x〕三、解答題1、當(dāng)a>0時，a<0時，