上海交通大學(xué)碩士學(xué)位論文

目錄

第一章引言

-2-

1.1耦合長(zhǎng)短波方程的背景

-2-

1.1.1Schrodinger方程的介紹

-2-

1.1.2Kdv方程的介紹

-8-

1.1.3Schrodinger-KdV方程組及耦合長(zhǎng)短波方程的由來(lái)

-10-

1.2Hamilton系統(tǒng)、辛算法及多辛算法

-11-

1.3原有的數(shù)值方法

-17-

1.3.1時(shí)間分裂方法

-17-

1.3.2Crank-Nicolson方法

-19-

第二章多辛格式

-22-

2.1EulerBox格式

-24-

2.2Preissman格式

-30-

2.3Fourier擬譜格式

-35-

第三章數(shù)值實(shí)驗(yàn)

-40-

3.1E_LS、CNI與Box_ls的誤差及階數(shù)

-40-

3.2TSS與LS1的誤差及階數(shù)

-49-

第四章結(jié)論

-55-

參考文獻(xiàn)

-56-

致謝

-59-

第一章引言

1.1耦合長(zhǎng)短波方程的背景

1.1.1Schrodinger方程的介紹

薛定諤方程(Schrodingerequation)是由奧地利物理學(xué)家薛定諤提出的量子力學(xué)中的一個(gè)基本方程，也是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。是將物質(zhì)波的概念和波動(dòng)方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)，每個(gè)微觀系統(tǒng)都有一個(gè)相應(yīng)的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對(duì)應(yīng)的能量，從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì)。

一．關(guān)于波的簡(jiǎn)單介紹

波的形式是多種多樣的，平面波是指在波的傳遞過程中在一段距離內(nèi)波幅變動(dòng)不大的波。描述平面波的狀態(tài)的波函數(shù)為：

(1.1)

為波函數(shù)。x與t分別表示x方向的距離變量與時(shí)間變量。函數(shù)計(jì)算結(jié)果的物理量為波幅，即長(zhǎng)度單位為米。

A為波幅，單位為米。指平面波相對(duì)穩(wěn)定的最大波幅絕對(duì)值。

cos(kx--wt)為波幅的變動(dòng)系數(shù)，數(shù)值在-1，0，+1之間變動(dòng)。

k為單位長(zhǎng)度弧度數(shù)，即，單位為弧度／米。

為單位時(shí)間弧度數(shù)，即，單位為弧度／秒。

由于=波速度，=即波在傳播過程中不同距離的時(shí)間差。波函數(shù)(1.1)式可以寫成：

(1.2)

如果上述波函數(shù)(1.2)式去掉括號(hào)中的第一項(xiàng)，得到：

(1.3)

即為一個(gè)以時(shí)間為變量的振幅函數(shù)，這樣的波并不向外傳播，而是在原地上下振動(dòng)，余弦cos的正負(fù)角的函數(shù)值是相等的，因此括號(hào)中的負(fù)號(hào)可以忽略。

如果波函數(shù)(1.2)式中去掉括號(hào)中的第二項(xiàng)同時(shí)保留第一項(xiàng)，得到：

(1.4)

即為一個(gè)以坐標(biāo)為變量的函數(shù)，是描述波到達(dá)各種位置的振動(dòng)位移情況。

波函數(shù)(1.1)式也可以寫成以e為底的復(fù)數(shù)形式：

(1.5)

通用的波動(dòng)方程是如下形式：

(1.6)

化簡(jiǎn)為一維形式的波動(dòng)方程：

(1.7)

函數(shù)是直接描述變量之間的關(guān)系，而物理方程則是在復(fù)雜的情況下表述各種物理量的關(guān)系，它可以包含各種函數(shù)，但對(duì)函數(shù)中的變量之間關(guān)系的表述不是那么直接，函數(shù)表達(dá)式與方程之間，在一定條件下可以轉(zhuǎn)換。下面給出具體的推導(dǎo)過程。

對(duì)宏觀平面波函數(shù)(1.5)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得：

(1.8)

對(duì)時(shí)間二次微商得：

整理得：

對(duì)坐標(biāo)二次微商得：

整理得：

將兩個(gè)二次微商的結(jié)果連接得：

引入波速u，將上式整理得到：

這就是前面的一維形式的波動(dòng)方程(1.7)式?？梢姴ê瘮?shù)與波動(dòng)方程在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。應(yīng)當(dāng)注意到由波函數(shù)轉(zhuǎn)換為波動(dòng)方程的過程中，波幅常量A消失了，說(shuō)明這個(gè)波動(dòng)方程中含有的波函數(shù)與波幅常量沒有直接聯(lián)系。如果由波動(dòng)方程反解出波函數(shù)，這個(gè)常量A需經(jīng)過歸一化處理重新找回來(lái)。

通常，參照一般的波動(dòng)描述方式，似乎可以建立一個(gè)類似的電磁波的波函數(shù)表達(dá)式：

然而，我們以宏觀的平面波方式來(lái)描述量子波時(shí)，必須考慮到量子波與平面波的重要區(qū)別：平面波的波函數(shù)描述的是一個(gè)波群(波束)，而量子波由于其量子性，表現(xiàn)為個(gè)體的量子波。即使一個(gè)有限的空間在一段有限的時(shí)間里，只有一個(gè)電子或者一個(gè)光子在運(yùn)動(dòng)，我們也得承認(rèn)這個(gè)電子或者光子的波動(dòng)性，應(yīng)當(dāng)也有波函數(shù)描述它。因此用波函數(shù)來(lái)描述量子波時(shí)，顯然應(yīng)當(dāng)與描述光束或者電子束的方式有所區(qū)別，或者說(shuō)不能用描述一般平面波的波函數(shù)的方法來(lái)描述量子波。

分析光子的運(yùn)動(dòng)：光子在振動(dòng)且以光速運(yùn)動(dòng)，以位置作為變量，光子的相位隨之而變，換以時(shí)間作為變量，光子的相位也是隨之而變。光子的波幅、一個(gè)波動(dòng)周期內(nèi)的速度也是在隨位置和時(shí)間變動(dòng)的，但是波動(dòng)量的大小與相位的變動(dòng)是相關(guān)的。因此首先選取相位作為一個(gè)波動(dòng)周期的因變量。

將原來(lái)描述光束的函數(shù)式(1.8)改為描述單個(gè)光子的波函數(shù)：

(1.9)

函數(shù)的值就是相位，單位為弧度。

將上述描述光子相位的函數(shù)用三角函數(shù)表示：

(1.10)

得到的是無(wú)量綱數(shù)，數(shù)值在-1，0，1之間變動(dòng)，這就是我們描述概率幅的函數(shù)。加上適當(dāng)?shù)某?shù)項(xiàng)A，使得波函數(shù)有適當(dāng)?shù)奈锢砹?，將模平方并按一定的物理量積分后，得到的結(jié)果是有量綱數(shù)，即概率密度：

(1.11)

根據(jù)(1.8)式對(duì)電磁波的函數(shù)表達(dá)式，按照式(1.6)的通用波動(dòng)方程，可以建立一個(gè)電磁波的波動(dòng)方程：

(1.12)

方程中E表示什么呢?根據(jù)前面對(duì)一般波函數(shù)與波動(dòng)方程的轉(zhuǎn)換分析我們知道，這個(gè)E無(wú)法代表電場(chǎng)強(qiáng)度，因?yàn)橛刹ê瘮?shù)轉(zhuǎn)換為波動(dòng)方程的過程中，電場(chǎng)強(qiáng)度常量E已經(jīng)消失了，現(xiàn)在這個(gè)E函數(shù)計(jì)算得到的值是無(wú)量綱數(shù)，在一定條件下按歸一化處理后可以有一定的物理量綱，就是概率幅。由此可見，即使人們將波動(dòng)視為量子的出現(xiàn)概率的似波性，在進(jìn)行歸一化處理之前，波動(dòng)方程并不能完整地描述量子的波動(dòng)狀態(tài)，因?yàn)椴▌?dòng)方程計(jì)算出來(lái)的概率幅數(shù)值在-1,0,1之間變動(dòng)，必須考慮行程、波數(shù)等因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換后才能得到實(shí)際波動(dòng)的概率幅數(shù)值。因此歸一化處理，實(shí)際上是使波動(dòng)方程描述的物理現(xiàn)象回歸實(shí)在的波動(dòng)。筆者將在后面的實(shí)例中進(jìn)一步說(shuō)明，波動(dòng)方程加上波動(dòng)的邊界條件，再加上歸一化處理，是可以描述量子實(shí)在的。

二．薛定諤方程

建立描述電子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)

既然電子的運(yùn)動(dòng)可以形成波，那么應(yīng)當(dāng)如同描述光子的波動(dòng)一樣，有一個(gè)波動(dòng)方程描述電子的波動(dòng)。參照前面描述光子的波動(dòng)方程(1.10)式建立描述電子的波函數(shù)：

上式是量子單位制形式。將上面的波函數(shù)按下式描述為經(jīng)典形式：

由于動(dòng)量，即動(dòng)能／速度。能量E=，此處表示電子庫(kù)侖勢(shì)能。普朗克常數(shù)h=1，

(1.13)

將電子的波函數(shù)改寫為復(fù)數(shù)形式并進(jìn)行微商

將(1.13)式改寫為復(fù)數(shù)形式：

(1.14)

這里為了波函數(shù)的完整性加上了A，在后面進(jìn)行微商處理時(shí)A自然消失，而在歸一化處理時(shí)A又回到公式中，那時(shí)它的物理意義與我們進(jìn)行歸一化處理方式有關(guān)。

將上述函數(shù)對(duì)時(shí)間微商得：

(1.15)

將上述函數(shù)對(duì)坐標(biāo)微商得：

(1.16)

為了將能量E引入，將(1.16)式再對(duì)x求一次偏導(dǎo)，得到：

(1.17)

轉(zhuǎn)換中用上的公式，是由德布羅意波的動(dòng)量與能量關(guān)系決定的。

得到薛定諤方程

由(1.15)式得到：

(1.18)

由(1.17)式得到：

(1.19)

將(1.18)式與(1.19)式連接起來(lái)，就得到自由粒子的一維含時(shí)不計(jì)算勢(shì)能的薛定諤方程：

(1.20)

如果考慮到量子的庫(kù)侖勢(shì)能，得到一維含時(shí)的薛定諤方程：

(1.21)

將上式擴(kuò)展到三維，得到三維含時(shí)的薛定諤方程：

(1.22)

如果不考慮時(shí)間因素，得到三維定態(tài)的薛定諤方程：

(1.23)

其中：

簡(jiǎn)化為一維定態(tài)的薛定諤方程：

(1.24)

定態(tài)是指粒子的概率密度分布不隨時(shí)間變化的狀態(tài)，定態(tài)薛定諤方程示，任何時(shí)候粒子概率幅的空間分布，不隨時(shí)間變化。

1.1.2Kdv方程的介紹

1834年英國(guó)科學(xué)家ScottRussell偶然觀察到了一種奇妙的水波。1844年，他在《英國(guó)科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)第14屆會(huì)議報(bào)告》上發(fā)表的《論波動(dòng)》一文中，對(duì)此現(xiàn)象作了生動(dòng)的描述：“我觀察過一次船的運(yùn)動(dòng)，這條船被兩匹馬拉著沿狹窄的運(yùn)動(dòng)迅速前進(jìn)著，突然，船停了下來(lái)，而被船所推動(dòng)的大堆水卻并不停止，它們積聚在船頭周圍激烈地?cái)_動(dòng)著，然后水浪突然呈現(xiàn)在一個(gè)滾圓而平滑、輪廓分明的巨大孤立波峰，它以巨大的速度向前滾動(dòng)著，急速地離開了船頭，在行進(jìn)中它的形狀和速度并沒有明顯的改變，我騎在馬上緊跟著觀察，它以每小時(shí)約八、九英里的速度滾滾向前，并保持著長(zhǎng)約30英尺，高約1-1.5英尺的原始形狀，漸漸地它的高度下降了。當(dāng)我跟蹤1-2英里后，它終于消失在逶迤的河道之中”。這就是Russell觀察到的奇特現(xiàn)象，進(jìn)而他認(rèn)為這種孤立的波動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)穩(wěn)定解，并成它為“孤立波”。Russell當(dāng)時(shí)未能成功地證明并使物理學(xué)家們信服他的論斷，從而埋汰數(shù)學(xué)家未能從已知的流體運(yùn)動(dòng)方程預(yù)言出這一現(xiàn)象，之后有關(guān)孤立波的問題在當(dāng)時(shí)許多物理學(xué)家中引起了廣泛的爭(zhēng)論。直到60年后的1895年，Kerteweg，DeVries研究了淺水波的運(yùn)動(dòng)，在長(zhǎng)波近似和小振幅的假定下，建立了單向運(yùn)動(dòng)的淺水波運(yùn)動(dòng)方程

下面就簡(jiǎn)單推導(dǎo)一個(gè)Kdv方程：

在豎直平面考察平面內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)，考慮下面定解問題

其中是水的深度，h(t,x)是水波的函數(shù)。

引進(jìn)小參數(shù)a是平面波振幅，是波長(zhǎng)。作下列變換：

則上述方程組變?yōu)椋?/p>

把去掉還原成：

用構(gòu)造

所以成立

構(gòu)造的滿足因?yàn)?/p>

將代入到得

將代入到得

下面就建立關(guān)于h的偏微分方程：

在上述兩式中忽略一次以及以上的項(xiàng)得：

取可得，展開

在上述兩式中忽略二次以及以上的項(xiàng)得

將代入到剛得到的兩項(xiàng)中分別可得：

取可得

這就是經(jīng)典的Kdv方程。

1.1.3Schrodinger-KdV方程組及耦合長(zhǎng)短波方程的由來(lái)

各種客觀環(huán)境已經(jīng)在研究長(zhǎng)短波之間的相互作用現(xiàn)象，尤其是在流體力學(xué)、等離子物理和化學(xué)物理。短波通常用Schrodinger方程來(lái)描述，長(zhǎng)波一般用帶有色散的某種類型的波方程來(lái)描述。本文中，我們用多辛積分[1,2,3]格式來(lái)研究耦合長(zhǎng)短波方程(LSIE)。

(1.25)

滿足

(1.26)

復(fù)值函數(shù)表示短波的包絡(luò)層，實(shí)值函數(shù)表示長(zhǎng)波的振幅。是實(shí)常數(shù)。在方程(1.25)被用來(lái)在重力和微小范圍模式下建立表面波。這個(gè)方程是Schrodinger-KdV方程組的一個(gè)特殊例子。

(1.27)

關(guān)于初始邊界問題(1.25)--(1.26)，可以得到下面命題

命題1.1帶有初始邊界問題(1.25)--(1.26)的解滿足下面的守恒律

是復(fù)函數(shù)φ的共軛函數(shù)。

方程組(1.25)具有獨(dú)特的數(shù)學(xué)特點(diǎn)因?yàn)檠芯堪l(fā)現(xiàn)它具有完整的可積結(jié)構(gòu)。特別的，它有一個(gè)逆散射變換和顯示的N孤子解[5,6]。各種數(shù)值技術(shù)尤其是有限元方法、譜方法和時(shí)間分裂步方法都已經(jīng)用來(lái)解各種形式的長(zhǎng)短波相互作用的方程。

1.2Hamilton系統(tǒng)、辛算法及多辛算法

力學(xué)研究中一個(gè)非常重要的是對(duì)稱的幾何觀點(diǎn)，它不論是從基本的原理公式出發(fā)，還是到具體的應(yīng)用，都特別強(qiáng)調(diào)了幾何方法和力學(xué)研究的密不可分的關(guān)系。其中Hamilton提出的力學(xué)定理可以用微分流形來(lái)研究剛體體系及太陽(yáng)系等復(fù)雜系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)；可以用相應(yīng)的Hamilton函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)研究能量、線性動(dòng)量與角動(dòng)量等Hamilton系統(tǒng)的守恒性質(zhì)。

Hamilton系統(tǒng)是一種重要的力學(xué)系統(tǒng)，廣泛的出現(xiàn)在物理、力學(xué)、工程、純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域。通?？梢哉J(rèn)為，一切耗散可忽略不計(jì)的真實(shí)物理過程都可以表示成Hamilton方程的形式，而它們的共同基礎(chǔ)都是辛幾何。辛幾何歷史可以追溯到十九世紀(jì)英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家Hamilton，他為了研究Newton力學(xué)，引入廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量來(lái)表示系統(tǒng)的能量，即Hamilton函數(shù)。

考慮Newton運(yùn)動(dòng)方程，設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)位置，它滿足拉格朗日方程其中表示動(dòng)能，表示勢(shì)能。引入共軛動(dòng)量，其滿足

下面定義則

令，那么上述方程可表示如下：

其中，為n階單位矩陣，稱為有限維Hamilton系統(tǒng)，H(z)為Hamilton函數(shù)。

Hamilton系統(tǒng)有兩個(gè)重要特性：守恒性與辛結(jié)構(gòu)。我們知道Hamilton系統(tǒng)的解是一個(gè)單參數(shù)的保測(cè)變換,即辛變換。因此在研究Hamilton系統(tǒng)的計(jì)算方法時(shí)候，都要使得離散后的方程保持原有系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)。用傳統(tǒng)的數(shù)值算法模擬Hamilton系統(tǒng)，會(huì)破壞系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)，進(jìn)而使數(shù)值模擬不能保持長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)定。因此構(gòu)造一種能保持Hamilton系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)的算法，具有重要意義，稱能保持Hamilton系統(tǒng)辛結(jié)構(gòu)的算法為辛算法。

無(wú)限維Hamilton系統(tǒng)一般情況下可以表示為：

(1.28)

其中，z=z(x,t)為狀態(tài)向量，H為Hamilton函數(shù)：

(1.29)

為H的Frechet導(dǎo)數(shù)。

等式(1.28)也可通過Lagrange泛函導(dǎo)出?？紤]如下非線性Klein-Gordon方程，其中，為某一光滑非線性函數(shù)。

對(duì)以下的Lagrange泛函作變分

(1.30)

其中Lagrange密度為：

就可以得到Euler-Lagrange方程：

對(duì)Lagrange密度L作Legendre變換，即令得到一階方程組

(1.31)

令

則(1.31)等價(jià)于Hamilton系統(tǒng)(1.28)。相應(yīng)的辛二形式為：

從以上過程可知，Legendre變換僅對(duì)時(shí)間方向進(jìn)行。若對(duì)空間方向也進(jìn)行Legendre變換，即可得到相應(yīng)一階方程

(1.32)

Hamilton函數(shù)為：

相應(yīng)空間方向的辛二形式為：

大量的孤立波方程，可表示為無(wú)限維Hamilton系統(tǒng)。例如：

非線性Schrodinger方程：

其Hamilton函數(shù)為：

其中

KdV方程：

其Hamilton形式為：

將求解有限維Hamilton系統(tǒng)的辛算法推廣到無(wú)限維最直接有效的方法是：先對(duì)空間方向進(jìn)行離散，這樣離散以后的系統(tǒng)為有限維Hamilton系統(tǒng)，然后應(yīng)用辛算法。常用的半離散方法為差分法[20,21,22,23,24]，擬譜方法和配置點(diǎn)法[25]等。

在上例導(dǎo)出非線性Klein-Gordon方程的無(wú)限維Hamilton形式時(shí)，采用的是不完全Legendre變換。若對(duì)方程(1.29)采用完全的Legendre變換，即同時(shí)令，可得到相應(yīng)一階方程組：

(1.33)

記(1.33)等價(jià)于：

(1.34)

其中

Bridges和Reich稱形如(1.34)的方程為具有多辛結(jié)構(gòu)的Hamilton系統(tǒng)。

求解有限維Hamilton系統(tǒng)的辛算法與其它方法相比具有許多優(yōu)點(diǎn)，其中有一點(diǎn)就是辛算法可以對(duì)守恒量長(zhǎng)時(shí)間數(shù)值模擬。但是當(dāng)用辛算法對(duì)無(wú)限維Hamilton進(jìn)行離散時(shí)具有局限性，具體表現(xiàn)在守恒量是全局性的。為了克服此局限性，Marsden等[26,27,28,29]和Bridges[30,31,32]分別從Lagrange系統(tǒng)和Hamilton系統(tǒng)出發(fā)，提出了多辛Hamilton系統(tǒng)和多辛算法的概念。Marsden等是從變分原理開始，由邊界項(xiàng)得到辛形式，限制到具體方程上得到該方程的多辛守恒律；Bridges是將有限維的Hamilton系統(tǒng)推廣到無(wú)限維Hamilton系統(tǒng)，使得偏微分方程在時(shí)間方向和空間方向上都有各自不同的辛結(jié)構(gòu)。

多辛結(jié)構(gòu)的良好特征是它可以導(dǎo)出一個(gè)包含微分二形式的守恒律，即多辛守恒律。與多辛守恒律相對(duì)應(yīng)的是多辛Hamilton系統(tǒng)具有能量守恒律和動(dòng)量守恒律。由于這些守恒律不依賴邊界，因而都是局部守恒律。

Bridges和Reich考慮了一般情形的多辛Hamilton系統(tǒng)。設(shè)是有限維相空間，S為Q上的函數(shù)，M，K為兩個(gè)反對(duì)稱矩陣，則稱

(1.35)

為多辛Hamilton系統(tǒng)。其中，為反對(duì)稱矩陣；為狀態(tài)向量及為光滑函數(shù)；表示函數(shù)關(guān)于z的梯度，為底空間的兩個(gè)獨(dú)立變量。

具有m個(gè)空間變量的一般多辛Hamilton系統(tǒng)可表示為：

(1.36)

洪佳林等對(duì)(1.36)作了詳細(xì)的討論[33,34,35]，為簡(jiǎn)單起見，我們僅討論具有一個(gè)空間變量，且系數(shù)矩陣為常系數(shù)的情形，即(1.35)中。

Bridges和Reich證明了多辛Hamilton系統(tǒng)(1.35)具有如下局部守恒律，即多辛守恒律、局部能量守恒律和局部動(dòng)量守恒律。

Hamilton系統(tǒng)(1.35)滿足多辛守恒律：

(1.37)

其中分別對(duì)應(yīng)于t和x方向的兩個(gè)不同的辛結(jié)構(gòu)。

多辛Hamilton系統(tǒng)(1.35)具有局部能量守恒律：

(1.38)

和局部動(dòng)量守恒律：

(1.39)

利用矩陣分解：

Moore[36]得到了多辛守恒律、局部能量和動(dòng)量守恒律的另一種表示，即

與無(wú)限維Hamilton系統(tǒng)比較，多辛Hamilton系統(tǒng)具有的守恒律都是局部的，但是它們?cè)谌我獾臅r(shí)空區(qū)域內(nèi)成立，而且不依賴于邊界條件。若對(duì)局部守恒律在空間方向積分，并利用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，就可導(dǎo)出相應(yīng)的整體守恒律即辛守恒律、能量守恒律和動(dòng)量守恒律。而這些適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件顯然也是整體守恒律的必要條件。因此，局部守恒律蘊(yùn)涵著整體守恒律。另外多辛Hamilton系統(tǒng)的相空間是有限維的，因而可應(yīng)用有限維的理論來(lái)分析方程的性質(zhì)。

1.3原有的數(shù)值方法

1.3.1時(shí)間分裂方法

時(shí)間分裂方法[31-35]是近些年研究非線性偏微分方程數(shù)值解時(shí)使用較多的方法，目前常見的有分裂差分方法[36-40]、分裂譜方法[41-46]等等，時(shí)間分裂方法的主要優(yōu)點(diǎn)是把方程的非線性項(xiàng)與線性項(xiàng)分開計(jì)算，把較難處理的非線性項(xiàng)單獨(dú)處理。

時(shí)間分裂方法的基本原理[37]如下：

對(duì)方程：

(1.40)

方程(1.40)改寫為如下形式：

(1.41)

其中分別為方程的線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)。

在時(shí)間步上，由(1.41)有：

(1.42)

即有：

(1.43)

設(shè)是的近似，由(1.42)可得

(1.44)

則可以得到如下的分裂格式：

(1.45)

(1.46)

其中為函數(shù)在時(shí)間層對(duì)u的逼近。

因此方程(1.40)可以采用下面的時(shí)間分裂步來(lái)進(jìn)行計(jì)算：

分裂步1：(1.47)

分裂步2：(1.48)

方程(1.47)是一個(gè)非線性的常微分方程，可以精確的求解，方程(1.48)可以采用不同的數(shù)值方法來(lái)計(jì)算，常見的有分裂譜方法，分裂差分方法，如分裂C-N格式等等。

分裂格式(1.47)-(1.48)在時(shí)間方向上為一階的。根據(jù)Strang[31]的分裂思想，可構(gòu)造如下在時(shí)間方向上二階的分裂格式：

(1.49)

(1.50)

(1.51)

本格式相當(dāng)于對(duì)(1.47)分別在時(shí)間步和進(jìn)行了兩次的計(jì)算。

對(duì)本問題利用時(shí)間分裂方法，其步驟如下：

Step1.方程組(1.25)的第一個(gè)方程可分解為：

(1.52)

Step2.對(duì)方程組(1.52)的第一個(gè)方程做傅里葉變換得：

得

進(jìn)一步解得

Step3.對(duì)方程組(1.25)的第二個(gè)方程做傅里葉變換得：

然后對(duì)上述方程做差分得進(jìn)而可求出：

Step4.直接解方程組(1.52)的第二個(gè)方程可得：

Step5.最后求出：

這一小節(jié)先是對(duì)時(shí)間分裂步方法的基本原理的一個(gè)簡(jiǎn)單介紹，然后簡(jiǎn)單推導(dǎo)得出時(shí)間分裂步方法在本篇文章當(dāng)中對(duì)耦合長(zhǎng)短波方程的實(shí)現(xiàn)步驟，當(dāng)然以上五個(gè)步驟也是在用matlab進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)時(shí)的基本編程思路。在本文的數(shù)值試驗(yàn)部分，取特定的參數(shù)及變量值就可以按照上述步驟編寫程序得出相應(yīng)的結(jié)論。

1.3.2Crank-Nicolson方法

對(duì)方程組(1.25)進(jìn)行以下的差分離散：

記如下：

其中下標(biāo)N是時(shí)間節(jié)點(diǎn)數(shù)。

將上述方程組的第一個(gè)等式按照定義的合并空間指標(biāo)j之后得到下面這個(gè)等式：

其中A是單位矩陣，B和運(yùn)算是如下格式：

上式兩邊同時(shí)乘以：

化簡(jiǎn)得：

令上式可變?yōu)椋?/p>

同理方程組第二式可化為：

其中

綜上所述最后推出迭代格式為：

本文研究的方程是耦合的長(zhǎng)短波方程，它是Schrodinger-KdV方程組的一個(gè)特例。本文所做的工作主要是建立耦合的長(zhǎng)短波方程的幾種多辛格式，并通過數(shù)值試驗(yàn)與已有的數(shù)值算法比較。

在本文的第一章引言中，會(huì)介紹一下耦合的長(zhǎng)短波方程的背景，然后敘述Hamilton系統(tǒng)、辛算法和多辛算法，進(jìn)而會(huì)介紹兩種現(xiàn)在認(rèn)可的數(shù)值算法：時(shí)間分裂方法和Crank-Nicolson方法，并對(duì)相應(yīng)的格式進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo)。

在本文的第二章中，會(huì)詳細(xì)敘述新建立的三種多辛格式，它們是EulerBox格式、多辛Preissman格式和Fourier擬譜格式，給出相應(yīng)的性質(zhì)并格式的誤差的階數(shù)做了詳細(xì)的說(shuō)明。三種多辛數(shù)值算法用來(lái)解決周期性帶有初始問題的長(zhǎng)短波相互作用方程。

第三章是本文的數(shù)值試驗(yàn)，針對(duì)上述5種數(shù)值格式，取三組時(shí)間步長(zhǎng)dt和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)N算出各自的誤差，并根據(jù)公式求出相應(yīng)的誤差的階數(shù)。

第四章是本文的結(jié)論說(shuō)明，通過理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)分析新構(gòu)造的三種格式，給出本篇文章的結(jié)論。

第二章多辛格式

根據(jù)多辛的定義[9]，如果偏微分方程可表示為：

(2.1)

則稱方程（2.1）為多辛Hamilton系統(tǒng)。其中：M,K是反對(duì)稱矩陣；z(x，t)是狀態(tài)變量的函數(shù)。S：是光滑函數(shù)；是Hamiltonian函數(shù)S=S(z)的梯度。

多辛格式滿足多辛守恒律

(2.2)

是外微分格式

(2.3)

定義了一個(gè)對(duì)稱的時(shí)間空間結(jié)構(gòu)。多辛結(jié)構(gòu)由Nothers定理[8]自然地可以得到局部守恒律。事實(shí)上，對(duì)于Hamiltonian系統(tǒng)中的偏微分方程(2.1)，當(dāng)S與x，t無(wú)關(guān)，可以得到局部能量守恒律和局部動(dòng)量守恒律。

(2.4)

(2.5)

對(duì)于周期邊界或者在邊界條件為0的F(z)和G(z)，可以推出整體能量和動(dòng)量守恒律

(2.6)

其中，

能保持離散多辛守恒律的數(shù)值方法為多辛算法[9,10,11]。為了得到長(zhǎng)短波相互作用方程的多辛格式，令方程組(1.25)可以用下列一階方程組表示：

(2.7)

反對(duì)稱矩陣M,K表示如下。

方程(2.1)等號(hào)右邊的S(z)為：

直接計(jì)算就可以得出方程組(3.1)滿足多辛守恒律：

(2.8)

(2.4)和(2.5)中定義的密度函數(shù)可以下面給出

(2.9)

加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件可以得到整體守恒律。例如在周期或者消失在無(wú)限邊界條件的情況下可對(duì)E和I在空間區(qū)域上積分，就可以得到整體能量守恒律(1.6)和動(dòng)量守恒律(1.7)。

(2.10)

對(duì)于長(zhǎng)短波相互作用方程這是兩個(gè)很重要的整體守恒律。

2.1EulerBox格式

根據(jù)[13]通過引入兩個(gè)矩陣M和K的分裂矩陣可以獲得方程組(2.1)的Euler-box格式。例如，分裂矩陣M,K如下：

(2.11)

相應(yīng)的格式變?yōu)椋?/p>

(2.12)

格式(2.12)滿足離散多辛守恒律：

(2.13)

其中很明顯矩陣的分裂是不唯一的。但是在本文中，分別是M,K的上三角矩陣。這種特殊的選擇使得Euler-box格式變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

(2.14)

離散方程組(2.14)也具有離散多辛守恒律(2.13)的形式。其中只需取為消去所有引入的變量p，q，r和s，與長(zhǎng)短波相互作用方程組(1.25)相比可以得到下面的多辛積分：

(2.15)

其中，注意這個(gè)格式是線性隱式的，不需要每一步都解線性代數(shù)方程?？梢宰C明此格式的局部截?cái)嗾`差是。

命題2.1格式(2.15)的局部階段誤差的階是。

證明：(1)對(duì)于等式可得

截?cái)嗾`差為：

在進(jìn)行泰勒展開得：

由(2.7)中的第一個(gè)等式可得

所以

進(jìn)一步得知截?cái)嗾`差的階是

(2)對(duì)于等式可得

截?cái)嗾`差T在進(jìn)行泰勒展開得：

由(2.7)中的第二個(gè)等式可得：

進(jìn)一步得知的截?cái)嗾`差階是

(3)對(duì)于等式可得

在進(jìn)行泰勒展開得：

將代入得

將等式代入上式中得：

由(2.7)中的第四、五、六式可得：

由于

所以得：

進(jìn)一步得知截?cái)嗾`差的階是。證畢

命題2.2多辛Euler-box格式(2.15)滿足下面的離散守恒律：

證明：方程組(2.15)的第三個(gè)方程是利用的定義展開上式得，

兩邊同時(shí)乘以，

得對(duì)空間方向j求和，得到

由周期邊界條件可知

進(jìn)一步可知

再由可以得到所需要的結(jié)論。證畢。

2.2Preissman格式

多辛Preissman格式有具有許多非常好的性質(zhì)。Bridges證明了多辛Preissman格式應(yīng)用于線性Hamilton系統(tǒng)時(shí)，滿足離散局部能量和局部動(dòng)量守恒律;對(duì)于非線性Hamilton系統(tǒng)，Moore和Reich證明了其僅滿足半離散局部能量和動(dòng)量守恒律。

由多種方法可導(dǎo)出多辛Preissman格式，其中最典型的方法為時(shí)間和空間方向分別利用隱式中點(diǎn)辛格式。多辛Preissman格式可表示為

其中

.

和分別表示空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)。Bridges和Reich證明了Preissman格式能精確滿足多辛守恒律。

Preissman格式滿足多辛守恒律

其中

對(duì)于線性Hamilton系統(tǒng)，多辛Preissman能精確保持局部能量和動(dòng)量守恒律，如果Hamilton函數(shù)，其中A為對(duì)稱矩陣，則Preissman格式全離散局部能量守恒律

和全離散局部動(dòng)量守恒律

其中:

然而，一般而言，對(duì)非線性Hamilton系統(tǒng)，離散局部能量和動(dòng)量守恒律不能精確滿足。Moore和Reich提出了一種半離散能量和動(dòng)量守恒律。

半離散格式

滿足半離散能量守恒律

其中

而半離散格式

滿足半離散動(dòng)量守恒律

其中

由此可見，對(duì)于全離散多辛格式，它能精確保持Hamilton系統(tǒng)的離散多辛結(jié)構(gòu)，但并不意味著系統(tǒng)的其它守恒量，如局部能量和動(dòng)量守恒律，整體能量和動(dòng)量，以及決定相空間結(jié)構(gòu)的其它整體不變量守恒。而大量的數(shù)值計(jì)算顯示，多辛格式能使局部守恒律在長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算中保持很好。

針對(duì)多辛Preissman格式，給出能量密度E，能量流F，動(dòng)量密度I和動(dòng)量流G相應(yīng)的離散形式。分別如下

在空間和時(shí)間中都用辛隱式中點(diǎn)離散可以得到Preissman格式：

(2.16)

格式(2.16)滿足下面的離散多辛守恒律：

(2.17)

其中

把多辛Preissman格式(2.16)應(yīng)用到方程(1.27)的多辛形式中，得到

(2.18)

(2.18)是一個(gè)二階的多辛格式。所以它滿足相應(yīng)的多辛離散守恒律(2.17)，其中只需?。?/p>

(2.19)

方程(2.18)的第一式乘以，并將(2.18)的第三式代入其中，同時(shí)(2.18)的第二式乘以，并將(2.18)的第四式代入其中得：

方程(2.18)的第五、第六和第七式消去s，r得

所以消除所有的引入的變量u，v，p，q，r和s，只用變量φ和ψ來(lái)表示多辛格式。于是我們可以得到一個(gè)新的隱式多辛格式：

(2.20)

下面由(2.20)通過消去D和M得到所需計(jì)算的迭代格式：

(1)由定義可知，所以

進(jìn)一步可得：

(2)由定義可知，所以

進(jìn)一步可得：

(3)由可得

假設(shè)為周期邊界，下面引入矩陣A，B以及向量：

綜合上述(1)(2)(3)的推導(dǎo)，(2.20)的第一式可化為：

.

.

由于(2.20)中的第一式是非線性方程，只能用迭代的來(lái)算，兩邊同時(shí)乘以得：

令得：

同理由(2.20)的第二式可得：

即(2.20)轉(zhuǎn)化為：

注意，方程(2.20)是隱式的,想要得到解需要解非線性方程組。因此,這個(gè)簡(jiǎn)單的迭代算法使用。通過泰勒展式可知多辛格式(2.20)的截?cái)嗾`差階是。

命題2.3多辛的Preissman格式(2.18)滿足下面的守恒性質(zhì)：

(2.21)

(2.22)

證明：等式(2.21)是很顯然的。很容易證明等式(2.23)是正確的。

(2.23)

用方程組(2.18)的第一個(gè)第二個(gè)等式分別乘以和，然后合并成為下面的等式：

(2.24)

由等式(2.23)和方程組(2.18)的第三個(gè)和第四個(gè)方程可以得到：

把上式代入等式(2.24)，對(duì)j，k求和，可以得到：

所以，等式(2.22)也成立。證畢。

2.3Fourier擬譜格式

譜方法是求解微分方程的高精度算法，是近二十年來(lái)發(fā)展最快的數(shù)值方法之一，它已成功地應(yīng)用于許多領(lǐng)域的數(shù)值計(jì)算，例如流體力學(xué)、理論物理、量子力學(xué)、非線性光學(xué)等。由于用無(wú)限可微的正交函數(shù)作為基函數(shù)，譜方法具有通常有限元和差分方法無(wú)與倫比的高精度，即如果精確解是解析的，則譜方法的精度是指數(shù)階的。

對(duì)于滿足周期邊界條件的多辛Hamilton系統(tǒng)，Bridges和Reieh[43]提出了基于Fourier變換的多辛Fourier離散。多辛Fourier變換導(dǎo)出了在Fourier空間中的多辛概念和半離散系統(tǒng)。Islas和Schober[65,66]對(duì)多辛Fourier離散進(jìn)行進(jìn)一步研究，證明了對(duì)于線性Hamilton系統(tǒng)，能保證局部能量和動(dòng)量守恒。陳景波和秦孟兆[44]討論了在物理空間上進(jìn)行離散的多辛Fourier擬譜方法，并應(yīng)用于求解非線性Schrodinger方程。

Fourier擬譜方法分二個(gè)基本步驟。第一步為通過解在配置點(diǎn)上三角多項(xiàng)式插值構(gòu)造解的離散形式；第二步利用解在配置點(diǎn)上的值求出導(dǎo)數(shù)值，即構(gòu)造微分矩陣。為簡(jiǎn)單起見，設(shè)所討論的區(qū)間。對(duì)任何整數(shù)N>0，令為空間步長(zhǎng)，

為配置點(diǎn)；

為插值空間，其中為

插值算子助定義如下：對(duì)任意

利用

及正交性

得：

對(duì)定義離散內(nèi)積和離散模

在配置點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值可由函數(shù)值和微分矩陣求得

其中表示一階Fourier微分矩陣，其元素為

顯然，為反對(duì)稱矩陣。

傅里葉變換可以保持偏微分方程的多辛性質(zhì)不變。離散傅立葉方程恢復(fù)了標(biāo)準(zhǔn)譜離散的性質(zhì)，這導(dǎo)致哈密頓常微分方程系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)辛[11,14]可積。

對(duì)方程(1.27)用傅立葉擬譜方法，是一階的傅立葉擬譜微分矩陣，我們得到

(2.25)

其中。的元素定義如下：

由定義可知是反對(duì)稱矩陣。

從計(jì)算的角度，對(duì)傅立葉擬譜方法的評(píng)價(jià)是通過使用FFT算法，而不是譜差分矩陣。

多辛擬譜離散具有半離散多辛守恒律：

(2.26)

其中只需?。?/p>

(2.27)

(2.27)是多辛守恒律(2.2)的譜離散形式。因此傅立葉擬譜離散保留了方程(2.1)的多辛結(jié)構(gòu)。

反對(duì)稱矩陣保證了整體辛守恒。因?yàn)楹?，?duì)空間方向j加和，方程(2.26)變?yōu)?/p>

(2.28)

由(2.28)可知在時(shí)間上也具有整體辛守恒。

把Euler中點(diǎn)格式應(yīng)用到半離散格式(2.25)中，可以得到

(2.29)

格式(2.29)是多辛的，換句話說(shuō)，它滿足N次離散多辛守恒律：

(2.30)

其中只需取：

消去引入的變量u，v，p，q，r和s，可以得到：

(2.31)

其中。截?cái)嗾`差階為，m是解的光滑度。

第三章數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在本章中，將上述的五種格式進(jìn)行分類對(duì)比，Eulerbox格式(簡(jiǎn)記box_ls)、CrankNicolson格式(簡(jiǎn)記CNI)與多辛Preissman(簡(jiǎn)記E_LS)進(jìn)行比較，當(dāng)dt/dx分別取0.002/0.2，0.001/0.1，0.0005/0.05比較上述格式的無(wú)窮范數(shù)誤差及階數(shù)；同時(shí)，時(shí)間分裂步方法(簡(jiǎn)記TSS)與Fourier擬譜方法(簡(jiǎn)記ls1)比較，當(dāng)dt=0.0001時(shí)，N=128，256，512和N=128時(shí)，dt=0.05，0.02，0.01的u和v的誤差和階數(shù)。比較上述格式的無(wú)窮范數(shù)誤差及階數(shù)。其中dx=L/N，L為距離長(zhǎng)度，N為離散節(jié)點(diǎn)。數(shù)值試驗(yàn)時(shí)，L不變，dx是隨著N的增加而減小。

給出誤差的階數(shù)的定義：

U_Order≈(lg(eu1/eu2))/(lg(h1/h2)),

V_Order≈(lg(ev1/ev2))/(lg(h1/h2))

h1、h2是兩次不同數(shù)值試驗(yàn)的空間步長(zhǎng)，即上述定義的dx；eu1、eu2是相對(duì)應(yīng)的u的誤差，同理ev1、ev2是相對(duì)應(yīng)的v的誤差。

3.1E_LS、CNI與Box_ls的誤差及階數(shù)

1、多辛Preissman在第二章已經(jīng)推導(dǎo)出相應(yīng)的格式：

這是非線性方程組，采取迭代方法。

考慮第n+1層的計(jì)算方法(前n層已經(jīng)算好)：

Step1.初始值的選取.

Step2.進(jìn)行迭代，下面是第k+1步的結(jié)果.

Step3.迭代終止條件.

當(dāng)時(shí)迭代結(jié)束.

2、CNI的有關(guān)推導(dǎo)在第二章已經(jīng)給出

其中矩陣形式在前面章節(jié)有具體的說(shuō)明，這里不再重復(fù)。

下面分別取下面三組數(shù)值：

dt=0.002,L=40,N=201,dx=L/N=0.2

dt=0.001,L=40,N=401,dx=L/N=0.1

dt=0.0005,L=40,N=801,dx=L/N=0.05

利用上述e_ls、CNI和box_ls三種數(shù)值方法分別求出u和v的無(wú)窮范數(shù)誤差、二范數(shù)誤差以及相對(duì)應(yīng)的階數(shù)，eu、ev分別代表u、v的誤差,Order是對(duì)應(yīng)的誤差的階數(shù)。

經(jīng)過運(yùn)算，得到以下結(jié)果：

dt/dx

SchemeⅠ(box_ls)

Order

SchemeⅡ(CNI)

Order

0.002/0.2

eu=1.2176e-002

ev=2.8485e-003

eu=4.3666e-003

ev=1.7120e-002

0.001/0.1

eu=3.1101e-003

ev=6.5453e-004

U_Order=1.9690

V_Order=2.1217

eu=1.0934e-003

ev=4.2602e-003

U_Order=1.9977

V_Order=2.0067

0.0005/0.05

eu=7.8168e-004

ev=1.6213e-004

U_Order=1.9923

V_Order=2.0133

eu=2.7314e-004

ev=1.0751e-003

U_Order=2.0011V_Order=1.9865

表1box_ls格式與CNI格式在dt/dx取表中三組值的無(wú)窮范數(shù)誤差及階數(shù)

Dt/dx

SchemeⅡ(CNI)

Order

SchemeⅢ(e_ls)

Order

0.002/0.2

eu=4.3666e-003

ev=1.7120e-002

eu=1.4137e-002

ev=3.9281e-002

0.001/0.1

eu=1.0934e-003

ev=4.2602e-003

U_Order=1.9977

V_Order=2.0067

eu=3.6487e-003

ev=9.5126e-003

U_Order=1.9540

V_Order=2.0459

0.0005/0.05

eu=2.7314e-004

ev=1.0751e-003

U_Order=2.0011V_Order=1.9865

eu=9.9859e-004

ev=2.3104e-003

U_Order=1.9694

V_Order=2.0417

表2CNI格式與e_ls格式在dt/dx取表中三組值的無(wú)窮范數(shù)誤差及階數(shù)

dt/dx

SchemeⅠ(box_ls)

Order

SchemeⅡ(CNI)

Order

0.002/0.2

eu=1.7294e-002

ev=3.1941e-003

eu=7.1059e-003

ev=1.6248e-002

0.001/0.1

eu=4.3933e-003

ev=7.8758e-004

U_Order=1.9769

V_Order=2.0199

eu=1.7749e-003

ev=4.0883e-003

U_Order=2.0013

V_Order=1.9907

0.0005/0.05

eu=1.1040e-003

ev=1.9646e-004

U_Order=1.9926

V_Order=2.0032

eu=4.4421e-004

ev=1.0249e-003

U_Order=1.9984

V_Order=1.9960

表3box_ls格式與CNI格式在dt/dx取表中三組值的二范數(shù)誤差及階數(shù)

dt/dx

SchemeⅡ(CNI)

Order

SchemeⅢ(e_ls)

Order

0.002/0.2

eu=7.1059e-003

ev=1.6248e-002

eu=1.9566e-002

ev=4.1638e-002

0.001/0.1

eu=1.7749e-003

ev=4.0883e-003

U_Order=2.0013

V_Order=1.9907

eu=4.9466e-003

ev=9.9677e-003

U_Order=1.9838

V_Order=2.0626

0.0005/0.05

eu=4.4421e-004

ev=1.0249e-003

U_Order=1.9984

V_Order=1.9960

eu=1.3139e-003

ev=2.4099e-003

U_Order=1.9126

V_Order=2.0483

表4CNI格式與e_ls格式在dt/dx取表中三組值的二范數(shù)誤差及階數(shù)

3.2TSS與LS1的誤差及階數(shù)

1、時(shí)間分裂步方法(TSS)

用TSS進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)解耦合長(zhǎng)短波方程，可分為以下幾個(gè)步驟，這也是用matlab編程求得結(jié)果的相應(yīng)的算法。都表示對(duì)做Fourier變換，表示對(duì)做Fourier逆變換。針對(duì)此問題步驟如下：

Step1.方程組(1.25)的第一個(gè)方程可分解為：

Step2.對(duì)上述方程組的第一個(gè)方程做傅里葉變換得：

得，做逆變換進(jìn)一步解得

Step3.對(duì)方程組(1.25)的第二個(gè)方程做傅里葉變換得：

然后對(duì)上述方程做差分得：

進(jìn)而可求出，

Step4.直接解方程組的第二個(gè)方程，可得

Step5.最后求出

2、Fourier擬譜格式

在上一章針對(duì)耦合長(zhǎng)短波的問題，利用Fourier擬譜方法推導(dǎo)出了下面的格式。

其中，是一階的傅立葉擬譜微分矩陣，的元素定義如下：

下面分別取下面三組數(shù)值：dt=0.0001時(shí)，N=128，256和512和N=128時(shí)，dt=0.05,0.02,0.01的u和v的誤差和階數(shù)。

利用上述TSS和ls1兩種數(shù)值方法分別求出u和v的無(wú)窮范數(shù)誤差、二范數(shù)誤差以及相對(duì)應(yīng)的階數(shù)。與前面表示一致，eu、ev分別代表u、v的誤差。

N

SchemeⅣ(ls1)

SchemeⅤ(TSS)

128

eu=0.5926e-007

ev=1.1283e-005

eu=1.0862e-005

ev=5.0472e-005

256

eu=5.4559e-007

ev=2.5974e-006

eu=1.0798e-005

ev=4.6900e-005

512

eu=5.9126e-007

ev=2.6403e-006

eu=1.0812e-005

ev=4.6949e-005

表5當(dāng)dt=0.001, N=128,256,512的ls1格式與TSS格式的無(wú)窮范數(shù)誤差

dt

SchemeⅣ(ls1)

SchemeⅤ(TSS)

0.001

eu=4.5926e-007

ev=1.1283e-005

eu=1.0862e-005

ev=5.0472e-005

0.0005

eu=9.2427e-007

ev=2.1668e-005

eu=5.4051e-005

ev=2.3803e-004

0.0002

eu=4.8666e-007

ev=1.3880e-005

eu=2.1660e-005

ev=9.7365e-005

表6當(dāng)N=128, dt=0.02,0.01,0.005的ls1格式與TSS格式的二范數(shù)誤差

第四章結(jié)論

本文針對(duì)耦合的長(zhǎng)短波方程，構(gòu)造了Euler_box格式、多辛Pressiman格式和Fourier擬譜格式，從理論推導(dǎo)到數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們可以得到以下結(jié)論：

1、從數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看，所構(gòu)造的三種格式計(jì)算精度都非常高，EulerBox格式是半顯式的，空間方向二階精度時(shí)間方向一階精度的數(shù)值方法；Preissman格式是隱式的，空間和時(shí)間方向都是二階精度的數(shù)值方法；Fourier擬譜方法是空間方向譜階精度時(shí)間方向二階精度。

2、數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證我們的理論分析結(jié)果，新構(gòu)造的三種數(shù)值算法都保持Hamilton系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)。

3、如果在長(zhǎng)時(shí)間的積分區(qū)間內(nèi)計(jì)算，Hamilton系統(tǒng)能量誤差就可以控制在很小的范圍內(nèi)，充分顯示了多辛算法在守恒量的長(zhǎng)時(shí)間數(shù)值模擬上的突出優(yōu)越性；

辛和多辛算法自創(chuàng)始以來(lái)已有一二十年，它的發(fā)展十分迅猛，特別是辛算法已發(fā)展得比較成熟。辛算法和多算方法還具有很大的研究?jī)r(jià)值，還存在著許多有待解決和完善的問題。本文雖然在這方面作了一些探討，但是仍然留有一些問題有待進(jìn)一步研究。

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