三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)典例題

11/11遂寧市安居區(qū)西眉中學(xué)高2017級(jí)數(shù)學(xué)資料（高中數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題）2014年11月[例1]若A、B、C是的三個(gè)內(nèi)角，且，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）""①.②.③.④.""A．1B.2C.3D.4""錯(cuò)解：∴，故選B""錯(cuò)因：三角形中大角對(duì)大邊定理不熟悉，對(duì)函數(shù)單調(diào)性理解不到位導(dǎo)致應(yīng)用錯(cuò)誤""正解：法1在中，在大角對(duì)大邊，""法2考慮特殊情形，A為銳角，C為鈍角，故排除B、C、D，所以選A.""[例2]已知角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則和的關(guān)系為.""錯(cuò)解：∵角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，∴+，（""錯(cuò)因：把關(guān)于軸對(duì)稱片認(rèn)為關(guān)于軸的正半軸對(duì)稱.""正解：∵角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱""∴即""說明：（1）若角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則和的關(guān)系為""（2）若角的終邊關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，則和的關(guān)系為""（3）若角的終邊在同一條直線上，則和的關(guān)系為""[例3]已知，試確定的象限.""錯(cuò)解：∵，∴是第二象限角，即""""從而""故是第三象限角或第四象限角或是終邊在軸負(fù)半軸上的角.""錯(cuò)因：導(dǎo)出是第二象限角是正確的，由即可確定，""而題中不僅給出了符號(hào)，而且給出了具體的函數(shù)值，通過其值可進(jìn)一步確定的大小，即可進(jìn)一步縮小所在區(qū)間.""正解：∵，∴是第二象限角，""又由知""，故是第四象限角.""[例4]已知角的終邊經(jīng)過，求的值.""錯(cuò)解：""""錯(cuò)因：在求得的過程中誤認(rèn)為0""正解：若，則，且角在第二象限""""若，則，且角在第四象限""""說明：（1）給出角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的某個(gè)三解函數(shù)值常用定義求解；""（2）本題由于所給字母的符號(hào)不確定，故要對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論.""[例5]（1）已知為第三象限角，則是第象限角，是第象限角；""（2）若，則是第象限角.""解：（1）是第三象限角，即""，""當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第二象限角""當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第四象限角""而的終邊落在第一、二象限或軸的非負(fù)半軸上.""（2）因?yàn)?，所以為第二象限?""點(diǎn)評(píng)：為第一、二象限角時(shí)，為第一、三象限角，為第三、四象限角時(shí)，為第二、四象限角，但是它們?cè)谝韵笙藿瞧椒志€為界的不同區(qū)域.""[例6]一扇形的周長為20，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？""解：設(shè)扇形的半徑為，則扇形的弧長""扇形的面積""所以當(dāng)時(shí)，即時(shí).""點(diǎn)評(píng)：涉及到最大（小）值問題時(shí)，通常先建立函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用函數(shù)求最值的方法確定最值的條件及相應(yīng)的最值.""[例7]已知是第三象限角，化簡。""解：原式＝＝""又是第三象限角，""所以，原式＝。""點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)化簡一般要求是：（1）盡可能不含分母；（2）盡可能不含根式；（3）盡可能""使三角函數(shù)名稱最少；（4）盡可能求出三角函數(shù)式的值.本題的關(guān)健是如何應(yīng)用基本關(guān)系式脫去根式，進(jìn)行化簡.""[例8]若角滿足條件，則在第（）象限""A.一B.二C.三D.四""解：角在第二象限.故選B.""[例9]已知，且.""（1）試判斷的符號(hào)；""（2）試判斷的符號(hào).""解：（1）由題意，，""，所以.""（2）由題意知為第二象限角，，所以.""四、典型習(xí)題導(dǎo)練""1．已知鈍角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則的值為）"" A． B． C． D．""2．角α的終邊和角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則β為（）""αB.л-αC.（2kл+1）л-α(k∈Z)л-α（k∈Z）""3.若αα≥0∈Z，則角α的集合為（）""A．[2k－，2k+]B.(2k－,2)""C.(2k－，2)∪D.以上都不對(duì)""4．當(dāng)0＜x＜時(shí),則方程()=0的解集為()""A.B.C.D.""5．下列四個(gè)值3333的大小關(guān)系是()""3＜3＜3＜3＞3＞3＞3""3＜3＜3＜33＞3＞3＞36．已知x∈(0,),則下面四式:中正確命題的序號(hào)是.①＜x＜②()＜＜()③33x＜1④()＜()＜7．有以下四組角：(1)\F(π,2)；(2)\F(π,2)；(3)2k±\F(π,2)；(4)\F(π,2)(k∈z)其中終邊相同的是（）A.(1)和(2)B.(1)、(2)和(3)C.(1)、(2)和(4)D.(1)、(2)、(3)和(4)8．若角α的終邊過點(diǎn)(30°，30°),則α等于（）A.\F(1,2)B.－\F(1,2)C.－\F(\R(3),2)D.－\F(\R(3),3)9．函數(shù)的定義域是,值域是.三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)三、典型例題導(dǎo)講[例1]已知錯(cuò)解：兩邊同時(shí)平方，由得∴解得：或解得：錯(cuò)因：沒有注意到條件時(shí)，由于所以的值為正而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解：兩邊同時(shí)平方，有求出∴[例2]若、B為銳角且a＞1,0＜b＜1，求的值錯(cuò)解：由得B錯(cuò)因：對(duì)題目最終要求理解錯(cuò)誤.不清楚最后結(jié)論用什么代數(shù)式表示正解：由①2+②2得a22221∴2∴2∴2∵B為銳角∴得[例3]若函數(shù)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值.點(diǎn)評(píng)：本試題將三角函數(shù)“”誘導(dǎo)公式有機(jī)地溶于式子中，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，這就要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要腳踏實(shí)地，狠抓基礎(chǔ).[例4]已知=2，求的值；（2）的值．解：（1）∵2,∴;所以=；（2）由(I),α=－,所以.點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)計(jì)簡潔明了，入手容易，但對(duì)兩角和和差的三角函數(shù)、同角間的基本關(guān)系式要求熟練應(yīng)用，運(yùn)算準(zhǔn)確.[例5]化簡：錯(cuò)解：原式錯(cuò)因：對(duì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式不完全理解，不加討論而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解：原式（1）當(dāng)，時(shí)原式+=0（2）當(dāng)，時(shí)原式+0[例6]若，則=（）A．B．C．D．錯(cuò)解：1—2=錯(cuò)因：誘導(dǎo)公式應(yīng)用符號(hào)錯(cuò).正解：==—=—1+2=—.故選A.[例7]．已知.（1）求－的值；（2）求的值.解法一：（1）由即又故（2）①②解法二：（1）聯(lián)立方程①②由①得將其代入②，整理得故（2）點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號(hào)等基本知識(shí)，以及推理和運(yùn)算能力.[例8](1)化簡：\F(2α2α－1)＋2α2α(2)設(shè)(α\F(π,2))=－\F(1,4),且2α＞0求αα解：原式\F(2α2α)＋\F(2α2α)2α2α2α2α2α2α=12α2α(2)解：由(α\F(π,2))\F(1,4)∴α\F(1,4)∵2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+πkπ＜α<kπ+\F(π,2)(k∈z)∴α為第一象限或第二象限的角∵α\F(1,4)＜0∴α為第三角限角α\R(1－2α)＝\F(\R(15),4)α=\F(αα)=\R(15)點(diǎn)評(píng)：本題要求同學(xué)們熟練掌握同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，在求值過程中特別注意三角函數(shù)值的符號(hào)的探討.點(diǎn)評(píng)：有部分同學(xué)可能會(huì)認(rèn)為不等式組（*）兩者沒有公共部分，所以定義域?yàn)榭占?，原因是沒有正確理解弧度和實(shí)數(shù)的關(guān)系，總認(rèn)為二者格格不入，事實(shí)上弧度也