2019年微分幾何答案

第二章曲面論§1曲面的概念1.求正螺面={u,u,bv}的坐標(biāo)曲線.解u={u,u,bv={,,bv為圓柱螺線．２．證明雙曲拋物面b（u-v）,2uv｝的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。證ua,b,0}+u{a,b,2a,b,0}以{a,b,2}為方向向量的直線;v(a,b,0)以{a,-b,2}為方向向量的直線。解=，=任意點的切平面方程為即xcoscos+ycossin+zsin-a=0法線方程為 。求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。解橢圓柱面的參數(shù)方程為x=cos,y=asin,z=t,,。所以切平面方程為：，即xbcos+yasin－ab=0此方程與t無關(guān)，對于的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數(shù)值對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。與三坐標(biāo)軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面體的體積為：是常數(shù)。§２曲面的第一基本形式求雙曲拋物面b（u-v）,2uv｝解,∴I=2。２．求正螺面={u,u,bv解I，∵Ｆ＝０，∴坐標(biāo)曲線互相垂直。３．在第一基本形式為I=的曲面上，求方程為u=v解由條件,沿曲線u=v有du=dv，將其代入得=，ds=coshvdv,在曲線u=v上，從到的弧長為。設(shè)曲面的第一基本形式為I=，求它上面兩條曲線u+v=0,u–v=0分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量u+v=0與u–v=0的交點為u=0,v=0u+v=的方向為du=-dv,u–v=0δu=δv,設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos=。求曲面z=axyx=x,y解曲面的向量表示為={x,y,axy},坐標(biāo)曲線xxx,y,axy向量={0，1，ax}；坐標(biāo)曲線y=的向量表示為={x,1，0，ax=xy=的夾角為，則有cos=u-曲線和v解對于u-曲線dv=δu:δv,則有Eduδu+v+u)+Gdv=0dv=0duu-曲線的正交軌線的微分方程為Eδu+v=0.同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為Fδu+Gδv=0.du,dv的二次方程P+2QdudvR＝０，確定兩個切方向：dv）和δuδv，證明這兩個方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0.證明因為du,dv不同時為零，假定dv0，則所給二次方程可寫成為P+2Q+R=0,設(shè)其二根,,則=，+=……①又根據(jù)二方向垂直的條件知E+F(+)+G=0……②將①代入②則得ER-2FQ+GP=0.證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.證用分別用δ、d表示沿u－曲線，v－曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u－曲線δu０，δv＝０，沿v－曲線u＝０，v０．沿二等分角軌線方向為du:dv,根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得，即。展開并化簡得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.9．設(shè)曲面的第一基本形式為I=，求曲面上三條曲線u=v,v=1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。曲線圍城的三角形的面積是S==2=2==。解=，=E==,F==0,GS=.={ucosv,usinv,u+v(t>1,0<<2=arctgu+v,t=.分析根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射=arctgu+v,t=,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明螺面的第一基本形式為I=2+2dudv+(+1),旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I=,在旋=arctgu+v,t==2+2dudv+(+1)=I.所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu+v,t=.§3曲面的第二基本形式解={sinhucosv,sinhusinv,1},={-coshusinv,coshucosv,0}={coshucosv,coshusinv,0},={-sinhusinv,sinhucosv,0},={-coshucosv,-coshusinv,0},=coshu,=0,=coshu.所以I=coshu+coshu.==,L=,M=0,N==1.所以II=-+。,,,,,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,I=,II=.={u,u,bv},-∞<u,v<∞處處有EN-2FM+GL=0解，={0,0,0},={-uucosv,cosv,0},={-ucosv,-usinv,0},，，L=0,M=,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.(0,0(dx:dy,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率.(S)的中心距離為d(0<d<1)(S解設(shè)平面與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1.證明因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二類基本量成比例。7={u,u,bv}，，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，L==0,N==0uv族曲線都是漸近線。而u線。..漸近線的微分方程為,即一族為dy=0,即,為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即.證在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向(C線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，，在曲線上，t=0,,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù),y證曲面的向量表示為={x,y,f(x)+g(y)},x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。,.因為,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族x=常數(shù),y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng)。11.確定螺旋面={u,u,bv}上的曲率線.解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，L=0,M=,N=0,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:.求雙曲面z=axy解N=0.由=0得,積分得兩族曲率線為.解M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是::.給出曲面上一曲率線L,設(shè)LL證法一：因L是曲率線,所以沿L有,又沿L有?=常數(shù),求微商得,所以,即-·=0,則有=0,或·=0.若=0,則L是平面曲線；若·=0，L又是曲面的漸近線，則沿L，=0，這時d=，為常向量，而當(dāng)L是漸近線時，=，所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若，則因‖，所以‖，所以d‖，由伏雷內(nèi)公式知d‖（）而L是曲率線，所以沿Ld‖，=0若不垂直于，則有?=常數(shù),求微商得因為LL矛盾。如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。求正螺面的主曲率。解設(shè)正螺面的向量表示為={u,u,bv}.解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，L=0,M=,N=0,代入主曲率公式（EG-）-（LG-2FM+EN）+LN-=0得=。所以主曲率為 。確定拋物面z=a()在（0，0）解，，。在0，）,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0N=2a-4a+4=0，兩主曲率分別為=2a,=2a.證曲面上的給定點處兩主曲率分別為、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為，，即證由得,即漸進方向為,=-.又-+=2為常數(shù),所以為為常數(shù),即為常數(shù).316求雙曲面z=axyx=y=0證在點x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H=,K==-.證法一：由H==0有==0或=-0.若==0,則沿任意方向,=0,即對于任意的du:dv,,所以有L=M=N=0,對應(yīng)的點為平點.若=-0,則K=<0,即LN-M<0,對應(yīng)的點為雙曲點.證法二：取曲率網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則F=M=0,因為極小曲面有H=0，所以LG+EN=0,因E>0,G>0,所以LN<0。若=0，則L=M=N=0，曲面上的點是平點，若<0,則曲面上的點是雙曲點。證法一：如果曲面的平均曲率為零,由上題曲面上的點都是雙曲點或平點.19=1,即=/4,=-/4,證法二：漸近線方程為所以，所以，所以=，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。證法三：，所以高斯曲率，所以0，所以曲面上的點是平點或雙曲點。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L=N=0，若M=0，曲面上的點是平點，若，則，所以MF=0，所以F=0，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。在xoz平面上去圓周y0,,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為={(b+acos)cos(b+acos)sin,解E=,F=0,G=,L=a,M=0,N=cos(b+acos),LN-=acos(b+acos),由于b>a>0,b+acos>0LN-的符號與cos0≤<和<<2LN->0面上的點為雙曲點,即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點為雙曲點；當(dāng)=或時，LN-=0上、下兩緯圓上的點為拋物點。旋轉(zhuǎn)曲面上存在等溫網(wǎng)。證旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為，做參數(shù)變換，v=,則在新參數(shù)下，為等溫網(wǎng)。兩個曲面、交于一條曲線，而且C）是的一條曲率線，則）率線的充要條件為、沿著相交成固定角。證兩個曲面、交于曲線CC要條件為=常數(shù)，這等價于d(·)=0,即dd于是·d=0，又d