江蘇省南京市某高級中學2021-2022學年高二上學期第一次月考數(shù)學試卷 Word版含答案

2021-2022學年第一學期第一次月考高二數(shù)學(總分160分，考試時間120分鐘)

【答案】3【解析】如圖：作出可行域ｙ一、填空題：共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在答題卡中相應題的橫線上．拋物線y24x的準線方程．Ａ【答案】x1 Ｂxp ｘ【解析】拋物線y22px(p0)的準線方程為 2x2 y2雙曲線9－4＝1的漸近線方程是 ．2

目標函數(shù)：z2xy，則y2xz當目標函數(shù)的直線過點B(1,1)時，Z有最小值Zmin2xy3.【答案】

x3y0．x2 y2

7．已知p：x22x30，q：xa．若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的最大值．9－4＝0得2x3y0．3．若f(x)exx，則f'(0) ．【答案】0【解析】由于f'(x)(exx)'(ex)'1ex1，所以f'(0)1-1=0．4.在平面直角坐標系xOy中，若曲線y＝lnx在x＝e(e為自然對數(shù)的底處的切線與直線ax－y＋3＝0垂直，則實數(shù)a的值．【答案】－e

【答案】3x22x30知3x1a3時p是qa的最大值為3．x2y218．已知橢圓25 9 上一點P到左焦點的距離為4，則點P到右準線的距離．1521 1 【解析】由題2a10，由于點P4，所以點P6．xe【解析】由于y′＝x，所以曲線y＝lnx在x＝e處的切線的斜率k＝y(tǒng)′＝e.又該切線與直線ax－y＋3＝xe1直，所以a·

1a＝－e.

6e4 d 15e＝－

設點P到右準線的距離為d

5，即 2．圓心在直線x＝2上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程．【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝5

9M是圓(x5)2y3)29【答案】8

到直線l

3 4 20x x (2，－3)r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5.∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.

d 255【解析】圓心到直線距離為 5

，最大距離為dr538.

x,

x4y33x5y25x1滿足 ，

z2xy

的最小值 ．

若命題“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍．【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”為假命題，則其否定“對任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”為真命題，當aa>，＝0,4x>0不恒成立，故不成立；當a≠0時，Δ＝1－a2<，

解得a>2，所以實數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)．xy20x，y滿足約束條件x2y20，則x2y2的取值范圍.2xy20【答案】

0,8【解析】作出可行域如圖:

14 x2 y2 2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為

，長軸長為4，過橢圓的左頂a2 b2 2Alx2＋y2＝a2P，Q.PQ＝λAPλ的取值范圍為 ．【答案】0<λ<1【解析】解法1 λ PQ

AQ－AP AQx2y20x2y28.

＝AP＝2＋2＝，

AP ＝AP－1l：y＝k(x＋2)，由＝2

得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，即(x＋2)[2k2＋1x＋4k2－2]＝0，2－4k2

2－42

4k

2－42

4k

16＋16k2所以x

＝－2,x＝

，得P

，

＋22＋

，即AP＝，11F，11

F是橢圓的左右兩個焦點，過2ABF2

F且與橢圓

A4 k2＋1

P 2k2＋1 2k2＋1 2k2＋1 2k2＋1 2k2＋1

2k2＋12長軸垂直的直線交橢圓與A，B兩點．則橢圓的離心率為 ．3

2是正三角形，

.2k2＋14同理AQ＝

.所以λ AQ ＝ ＝

4k2＋1

－1＝1－2

.由于k2>0，所以0<λ<1.【答案】3

k2＋12＋＝，

4 k2＋12k2＋1

k＋1

4k 4kam3 2am

x得(k2＋1)y2－4ky＝0y

y

，由解法1知，λ＝

m

22m，2a，即 2 ，2

＝2 4k

k2＋1

P 2k2＋11AQ y1

k2＋1 13 c 3

AP－1＝

Q－1＝4k －1＝1－ .F

3m2c c

m e ，所以 a 3．

yP2k2＋1

k2＋1，即1 2，即由于k2>0，所以0<λ<1。13.CAPB＝90°，

二、解答題：本大題共6小題，共90分．把解答寫在答題卡中．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．則m的最大值為 ．【答案】6

f1（本題滿分14分）已知函數(shù)

x

x3x16.CP使∠APB＝90CAB32＋42－1≤m≤32＋42＋1，即4≤m≤6.

yf（1）求曲線

x在點

處的切線的方程；（2）求滿足斜率為4的曲線的切線方程．（1）

fx3x21

，由于切點為

6

，所以切線的斜率

kf2

，則切線方程y613x2為 ，

13xy32

.………………6分

1（本小題滿分16分）已知雙曲線以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸，雙曲線的漸近線方程為3x4y0，且過A(5 9x,y（2）設切點坐標為0

，由已知得

fx0

4

3x214 x，即0 ，

1，

，4)。Cˊ的標準方程；y216xM的標準方程；切點為

時，切線方程為

y14

x1

，即4xy180；切點為

時，切線方程為

y184x1，即

4xy140 14分

在條件下，已知點，且CD分別為橢圓M的上頂點和右頂點，點P是線段CD上的動點，求APBP的取值范圍。16.（14）C：x2＋y2－8y＋12＝0l：ax＋y＋2a＝0.(1)alC相切；(2)lC、BAB＝22l的方程．Cx2＋y2－8y＋12＝0x2＋(y－4)2＝4(0,4)，半徑為2.

x2y21【解析（1）16 9 5分x2y21lC

|4＋2a| 3＝2.解得a＝－4 6分

橢圓M的標準方程：25 9 ；… 9分a2＋1CCD⊥AB，則依據(jù)題意和圓的性質(zhì)，

P(x0

,y0

APBPx20

y210 ；C＝|＋2a|，

CD:3x5y150(0x5)a2＋1得CD2＋DA2＝AC2＝22，得1

d 153215325215 34DA＝2AB＝2.

則當OPCD時，取到最小值，即： ；解得a＝－7，或a＝－1.故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 14分

191APBP24當P在D點時，取到最大值：OD5，∴34 ?！?16分17（本題滿分14分）已知a為實數(shù)，p：點M(1,1在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部；q：xR,都有x2ax1≥0.p為真命題，求a的取值范圍；p且qpq”為真命題，求a的取值范圍．【解析（1）由題意得，(1a)2(1a)24，解得a1，故p為真命題時a的取值范圍為(1,1)． 6

C(t,2)(tR,t0)19.(本小題滿分16分)已知以點 t 為圓心的圓與x軸交于點O、A,與y軸交于點O、B,其中O為原點.求△AOB的面積；OMON設直線2x+y-4=0與圓C交于點N,若 ,求圓C的方程；在(2l:x+y+3=0，AlCB，CA的橫坐標的取值范圍．（2）pq一真一假，從而

(xt)2(y2)2t24

x22txy24y0 1a1,

【解析(1)由題設圓C的方程為 t t2

,化簡得 t

,當y=0當p真q假時有a或a2, 無解；a≤1或a≥1,p q p q 2≤a≤當假真時有 解得2≤a≤1≤a≤2．

41212時,x=02tA(2t,0;當x=0,y=0t1212

4B(0, )t ,∴實數(shù)a的取值范圍是14分

S AOB∴

OAOB

2t

44t………………54tOMON

y＝kx，

24x2＝ ，(2)∵

,則原點O在MN的中垂線,設MN的中點為則CH⊥MN,∴CHO三點共則直線 1

1 1＋2k2聯(lián)x2 y2 解得 12 24

＝ 1.ktOC的斜率

21t2 2,∴t=2t=-2(x2)2(y1)2

(x2)2(y1)25

＋＝1，241＋k2所以x2＋y2＝ 1.11 1 1＋2k21241＋k2

24k211 1＋2k21∴圓心C(2,1)或C(-2,-1)∴圓C的方程為 或

,由于當圓方程為

同理，x2＋y2＝

2.(13分)(x2)2y1)252x+y-4=0d>rC

2 2 1＋2k2212由于kk＝－，為(x2)2(y1)25 11分

12 2所以OP2＋OQ2＝x2＋y2＋x2＋y2lCACC

1 1 2 2241＋k2 241＋k25 5 ＝1＋21＋1＋22k2 k2從而∠CAQ≥30°.CQ＝

，所以CA≤2 .設A(x0,-3－x0)，則CA2＝(x－2)2＋(-3－x－1)2≤20，解得 1 2 10 0 -2≤x0≤0. 16分

241＋－ 22241＋k2

2k＝ 11＋2k2

1 120.(

x2 y2

1R(x，y)C上

1 1＋2－2k2本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：24＋12＝ 0 0

136＋72k2的任一點，從原點O向圓R：(x－x)2＋(y－y)2＝r2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q.直線OP，OQ的斜率 ＝

1＝36.當直線OP，OQ落在坐標軸上時，明顯有OP2＋OQ2＝36.0 0存在，并記為k，k。

1＋2k21綜上所述，OP2＋OQ2＝36. 16分11 2RxCR；

2OP，OQP(x，y)，Q(x，y)．2y1y2

1 1 2 212 2 2kk＋1＝0

＋1＝0，即y2y2＝x2x2.

.①求證k＋1＝0；②試問OP2＋OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明 12 xx

12 41212 12理由．

由于P(x1，y1)，Q(x，y2)在橢圓C上，22 2 121＋1＝1， y2＝12－x2，所24 12

1 21即2＋

2

2＝12－

x2.x2 y224 12

12 22 1

1 1所以12－x2

12－x2

x2x2，整理得x2＋x2＝24， 21 2

412 1 2【解析】(1)由于圓R與x軸相切于橢圓C的右焦點，所以x 2 3

1 1 0=

12－x2

x2＝12，x＝23，

1 2 21

22x2 y2 0

所以OP2＋OQ2＝36.(15分)又由于點R在橢圓C上，所以0＋0＝1.聯(lián)立①②，解得024 120

y＝±6.

當直線OP，OQ落在坐標軸上時，明顯有OP2＋OQ2＝36.所以圓R的方程(x-23)2＋(y±6)2＝6. 4分OP：y＝k1x，OQ：y＝k2xR相切，|kx－y|

綜上所述，OP2＋OQ2＝36. 16分10

0＝22(x2－8)k2－2xyk＋y2－8＝0.11＋k21

0 1 001 0同