2014年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽初二年級試題及參考答案

《數(shù)學(xué)王老師》：QQ群：335945791年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽初二年級試題及參考答案說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分數(shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1．若，，且，則代數(shù)式的值為（）A.1B.2C.3D.4【答】B.已知等式可化為，即，所以，于是.2．已知△中，，點在邊的延長線上，，則QUOTEQUOTE＝（）A．16B．15C．13D．12【答】D.作于點，則為的中點，所以.3．已知為整數(shù)，且滿足，QUOTEQUOTE則的可能的值有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答】C.由已知等式得，顯然均不為0，所以＝0或.若，則.又為整數(shù)，可求得或所以或.因此，的可能的值有3個.4．用1g、3g、6g、30g的砝碼各一個，在一架沒有刻度的天平上稱量重物，如果天平兩端均可放置砝碼，那么，可以稱出的不同克數(shù)的重物的種數(shù)為（）A．21B．20C．31D．30【答】C.可以稱出的重物的克數(shù)可以為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40，共31種.5．已知實數(shù)滿足，則的值為（）A．6B．4C．3D．不確定【答】A.由可得，所以，.6．已知△的三邊長分別為2，3，4，為三角形內(nèi)一點，過點作三邊的平行線，交各邊于、、、、、（如圖），如果，則＝（）A．B．C．D．【答】D.設(shè)，.由平行線的性質(zhì)可得，，即，，所以，，兩式相加，得，所以.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．如果關(guān)于的方程恰好只有一個解，則實數(shù)＝．【答】.結(jié)合函數(shù)的圖象知：當(dāng)且僅當(dāng)時，關(guān)于的方程恰好只有一個解.2．使得不等式QUOTEQUOTE對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為．【答】144.由條件得，由的唯一性，得且，所以，所以.當(dāng)時，由可得，可取唯一整數(shù)值127.故滿足條件的正整數(shù)的最大值為144.3．已知為等腰△內(nèi)一點，，，為的中點，與交于點，如果點為△的內(nèi)心（三角形的三條內(nèi)角平分線的交點），則．【答】.由題意可得，而，所以，從而可得.又，所以，從而.所以，，所以.4．已知為正整數(shù)，且為完全平方數(shù)，則＝．【答】8.易知，均不符合題意，所以，此時一定有，，而為完全平方數(shù)，所以一定有，整理得，解得（負根舍去）.第二試一、（本題滿分20分）設(shè)為正整數(shù)，為實數(shù)，記，在變動的情況下，求可能取得的最小整數(shù)值，并求出取得最小整數(shù)值時的值．解，………………5分注意到為正整數(shù)，所以，所以可能取得的最小整數(shù)值為5.……10分當(dāng)時，，故.…15分因為為正整數(shù)，所以是整數(shù)且不小于4，所以一定有，且，所以，或.……20分二．（本題滿分25分）在直角△中，為斜邊的中點，、分別在、上，，已知，，，求.解延長到點，使，連接、.又因為為的中點，所以△≌△.…………5分所以，，所以//，所以，故△是直角三角形，于是有.……10分又在直角△中，有.又由和可得，……15分于是可得，所以，即.……20分又，所以，即.因此，所以.……25分三．（本題滿分25分）設(shè)不全相等的非零實數(shù)滿足，求的