導數(shù)的應用問題課件

§1中值定理設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域有定義,如果對于該鄰域內(nèi)任意異于x0的x

值,都有

f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值(極小值)f(x0),而x0稱為函數(shù)f(x)的極大點(或極小點)

函數(shù)極值的概念極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.極大點和極小點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點.§1中值定理設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域有費馬(Fermat)定理

如果

x0是函數(shù)f(x)的極值點,并且f(x)在該點可導,則f

(x0)0

(逆命題不一定成立)例如,函數(shù)y=x2+1,x=0是y的極值點,且f’(x)=2x,f’(0)=0例如,函數(shù)y=x3,f’(x)=3x2,f’(0)=0,但x=0不是y的極值點

函數(shù)駐點的概念使導數(shù)f’(x)為零的點稱為f(x)的駐點或穩(wěn)定點可導的極值點是駐點,但駐點不一定是極值點.費馬(Fermat)定理例如,函數(shù)y=x2+1,x=0是y的拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導,那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導,那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導,那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

在區(qū)間

I上任取兩點

x1

x2(x1<x2)應用拉格朗日中值定理在(x1,x2)內(nèi)至少存在一點

x,使

f(x2)f(x1)f

(x)(x2x1)(x1<x<x2)

由假定

f

(x)0所以

f(x2)f(x1)0即

f(x2)f(x1)

因此

f(x)在區(qū)間

I上是一個常數(shù)

推論

如果函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上的導數(shù)恒為零

那么

f(x)在區(qū)間

I上是一個常數(shù)

證明

在區(qū)間I上任取兩點應注意的問題：

如果定理的三個條件有一個不滿足則定理的結(jié)論有可能不成立

羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得f

(x)0

應注意的問題：羅爾(Rolle)定理羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得f

(x)0

羅爾(Rolle)定理§3.2

洛必達法則

還有其它類型的未定式

0、、00、1、0

未定式

在函數(shù)商的極限中,如果分子和分母同是無窮小或同是無窮大那么極限可能存在也可能不存在這種極限稱為未定式,記為§3.2洛必達法則還有其它類型的未定式未定式舉例

下列極限都是未定式

(0型)(00型)(1型)(0型)(型)(型)(型)未定式舉例(0型)(00型)(1型)(0型)(

如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件

(1)f(x)和g(x)都是當xa時的無窮小

(2)f(x)和g(x)在點a的某去心鄰域內(nèi)都可導且g(x)0洛必達(L’Hospital)法則(應用于那么

型不定式)注：當x∞時，相應法則仍成立。如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件例解例解例解例解例解例解

如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件

(1)f(x)和g(x)都是當xa時的無窮大

(2)f(x)和g(x)在點a的某去心鄰域內(nèi)都可導且g(x)0洛必達(L’Hospital)法則(應用于那么

型不定式)如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件

解

例

解

例解例解例

解

例

解

例解例解導數(shù)的應用問題課件例解例解1.解極限不存在洛必達法則失效.思考題:以下解法對否?注意：洛必達法則的使用條件．2.解1.解極限不存在洛必達法則失效.思考題:以下解法對否?注意1.解思考題:以下解法對否?2.解注意：洛必達法則的使用條件．1.解思考題:以下解法對否?2.解注意：洛必達法則的使用條§3函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值和最小值3.1函數(shù)單調(diào)性的判定法3.2函數(shù)的極值3.3函數(shù)的最大值和最小值§3函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值和最小值3.1函數(shù)單調(diào)性的

f

(x)>0

f

(x)<0

觀察結(jié)果

函數(shù)單調(diào)增加時導數(shù)大于零

函數(shù)單調(diào)減少時導數(shù)小于零

觀察與思考

函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有什么關系？函數(shù)單調(diào)性的判定法導數(shù)符號的幾何意義：導數(shù)為正，曲線上升，導數(shù)為零，曲線不升不降，導數(shù)為負，曲線下降f(x)>0f(x)<0觀察結(jié)果定理設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導，則該函數(shù)在區(qū)間(a

b)內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）的充要條件是：f

(x)≥0（f

(x)≤0

),x∈(a,b),而f(x)=0只在個別點處成立

例如：y=x3,y'=3x2≥0,所以x3在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)增加。推論（充分性）若函數(shù)f(x)在某區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)為正（或為負），即f(x)>0（或f(x)<0),則函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）

定理設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導，則該函數(shù)在區(qū)間用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法①求駐點，將區(qū)間分解為幾個子區(qū)間②對每一個子區(qū)間判定函數(shù)導數(shù)的正、負性，得到函數(shù)在該子區(qū)間的單調(diào)性。

例：求函數(shù)f(x)=(x-1)2-4的單調(diào)區(qū)間。

解：函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），由f’(x)=2(x-1)(x-1)’=2x-2=0

可得駐點ξ=1當x<1時，f’(x)<0,當x>1時，f’(x)>0.所以函數(shù)f(x)在（-∞，1）上單調(diào)減少，在（1，+∞）上單調(diào)增加。用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法例：求函數(shù)f(x)提問：

f(a)和f(b)是極值嗎？函數(shù)的極值函數(shù)的極值及其求法

設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義如果對于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)

f(x)的一個極大值(或極小值)。x1x2x3x4x5

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,

使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.

觀察與思考：

觀察極值與切線的關系.提問：函數(shù)的極值函數(shù)的極值及其求法設函數(shù)f(

設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么f

(x0)0.駐點

使導數(shù)f

(x)為零的點(方程f

(x)0的實根)稱為函數(shù)f(x)的駐點.定理觀察與思考：觀察曲線的升降與極值之間的關系.

x1x2x3x4x5設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且在x0處取

設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)(x0

b)內(nèi)可導

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)

f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

判別法則I(第一充分條件)

x1x2x3x4x5設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)且在(ax確定極值點和極值的步驟

(1)求出導數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f

(x)的符號;

(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.判別法則I(第一充分條件)

設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)(x0

b)內(nèi)可導

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)

f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

確定極值點和極值的步驟(1)求出導數(shù)f(導數(shù)的應用問題課件判別式II(第二充分條件)

設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f(x0)0

f

(x0)0

那么

(1)當f

(x0)0時函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)當f

(x0)0時函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

應注意的問題：

如果f(x0)0

f

(x0)0

則定理3不能應用但不能由此說明f(x0)不是f(x)的極值.討論：

函數(shù)g(x)x3在點x0是否有極值？判別式II(第二充分條件)設函數(shù)f(x)在點導數(shù)的應用問題課件最大值最小值問題

觀察與思考：

觀察哪些點有可能成為函數(shù)的最大值或最小值點,

怎樣求函數(shù)的最大值和最小值.

x1x2x3x4x5Mm最大值最小值問題觀察與思考：x1x2x3x4x5Mmx1x2x3x4x5Mm

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間的端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得.

函數(shù)在閉區(qū)間[a

b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最大者;其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最小者

極值與最值的關系x1x2x3x4x5Mm閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法

(1)求出函數(shù)f(x)在(a

b)內(nèi)的駐點和不可導點設這此點為x1

x2

xn;

(2)計算函數(shù)值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)判斷:

最大者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最大值最小者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最小值

x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法極值VS最大值、最小值

(1)極值是局部性的概念，函數(shù)在其定義域范圍之內(nèi)可以有多個極大值或極小值;

(2)最大值和最小值是全局性概念，函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)只有一個最大值和一個最小值。極值VS最大值、最小值

例

求函數(shù)f(x)|x23x2|在[34]上的最大值與最小值

解比較可得f(3)20是f(x)在[34]上的最大值

f(1)f(2)0是f(x)在[34]上的最小值

例求函數(shù)f(x)|x23x2|在[特殊情況下的最大值與最小值

如果f(x)在一個區(qū)間(有限或無限開或閉)內(nèi)可導且只有一個駐點x0

那么當f(x0)是極大值時

f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值

當f(x0)是極小值時

f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值

特殊情況下的最大值與最小值ThankyouThankyou§1中值定理設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域有定義,如果對于該鄰域內(nèi)任意異于x0的x

值,都有

f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值(極小值)f(x0),而x0稱為函數(shù)f(x)的極大點(或極小點)

函數(shù)極值的概念極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.極大點和極小點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點.§1中值定理設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域有費馬(Fermat)定理

如果

x0是函數(shù)f(x)的極值點,并且f(x)在該點可導,則f

(x0)0

(逆命題不一定成立)例如,函數(shù)y=x2+1,x=0是y的極值點,且f’(x)=2x,f’(0)=0例如,函數(shù)y=x3,f’(x)=3x2,f’(0)=0,但x=0不是y的極值點

函數(shù)駐點的概念使導數(shù)f’(x)為零的點稱為f(x)的駐點或穩(wěn)定點可導的極值點是駐點,但駐點不一定是極值點.費馬(Fermat)定理例如,函數(shù)y=x2+1,x=0是y的拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導,那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導,那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導,那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理

在區(qū)間

I上任取兩點

x1

x2(x1<x2)應用拉格朗日中值定理在(x1,x2)內(nèi)至少存在一點

x,使

f(x2)f(x1)f

(x)(x2x1)(x1<x<x2)

由假定

f

(x)0所以

f(x2)f(x1)0即

f(x2)f(x1)

因此

f(x)在區(qū)間

I上是一個常數(shù)

推論

如果函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上的導數(shù)恒為零

那么

f(x)在區(qū)間

I上是一個常數(shù)

證明

在區(qū)間I上任取兩點應注意的問題：

如果定理的三個條件有一個不滿足則定理的結(jié)論有可能不成立

羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得f

(x)0

應注意的問題：羅爾(Rolle)定理羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

yf(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導;

(3)

f(a)f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點x使得f

(x)0

羅爾(Rolle)定理§3.2

洛必達法則

還有其它類型的未定式

0、、00、1、0

未定式

在函數(shù)商的極限中,如果分子和分母同是無窮小或同是無窮大那么極限可能存在也可能不存在這種極限稱為未定式,記為§3.2洛必達法則還有其它類型的未定式未定式舉例

下列極限都是未定式

(0型)(00型)(1型)(0型)(型)(型)(型)未定式舉例(0型)(00型)(1型)(0型)(

如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件

(1)f(x)和g(x)都是當xa時的無窮小

(2)f(x)和g(x)在點a的某去心鄰域內(nèi)都可導且g(x)0洛必達(L’Hospital)法則(應用于那么

型不定式)注：當x∞時，相應法則仍成立。如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件例解例解例解例解例解例解

如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件

(1)f(x)和g(x)都是當xa時的無窮大

(2)f(x)和g(x)在點a的某去心鄰域內(nèi)都可導且g(x)0洛必達(L’Hospital)法則(應用于那么

型不定式)如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足如下條件

解

例

解

例解例解例

解

例

解

例解例解導數(shù)的應用問題課件例解例解1.解極限不存在洛必達法則失效.思考題:以下解法對否?注意：洛必達法則的使用條件．2.解1.解極限不存在洛必達法則失效.思考題:以下解法對否?注意1.解思考題:以下解法對否?2.解注意：洛必達法則的使用條件．1.解思考題:以下解法對否?2.解注意：洛必達法則的使用條§3函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值和最小值3.1函數(shù)單調(diào)性的判定法3.2函數(shù)的極值3.3函數(shù)的最大值和最小值§3函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值和最小值3.1函數(shù)單調(diào)性的

f

(x)>0

f

(x)<0

觀察結(jié)果

函數(shù)單調(diào)增加時導數(shù)大于零

函數(shù)單調(diào)減少時導數(shù)小于零

觀察與思考

函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有什么關系？函數(shù)單調(diào)性的判定法導數(shù)符號的幾何意義：導數(shù)為正，曲線上升，導數(shù)為零，曲線不升不降，導數(shù)為負，曲線下降f(x)>0f(x)<0觀察結(jié)果定理設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導，則該函數(shù)在區(qū)間(a

b)內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）的充要條件是：f

(x)≥0（f

(x)≤0

),x∈(a,b),而f(x)=0只在個別點處成立

例如：y=x3,y'=3x2≥0,所以x3在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)增加。推論（充分性）若函數(shù)f(x)在某區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)為正（或為負），即f(x)>0（或f(x)<0),則函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）

定理設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導，則該函數(shù)在區(qū)間用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法①求駐點，將區(qū)間分解為幾個子區(qū)間②對每一個子區(qū)間判定函數(shù)導數(shù)的正、負性，得到函數(shù)在該子區(qū)間的單調(diào)性。

例：求函數(shù)f(x)=(x-1)2-4的單調(diào)區(qū)間。

解：函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），由f’(x)=2(x-1)(x-1)’=2x-2=0

可得駐點ξ=1當x<1時，f’(x)<0,當x>1時，f’(x)>0.所以函數(shù)f(x)在（-∞，1）上單調(diào)減少，在（1，+∞）上單調(diào)增加。用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法例：求函數(shù)f(x)提問：

f(a)和f(b)是極值嗎？函數(shù)的極值函數(shù)的極值及其求法

設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義如果對于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)

f(x)的一個極大值(或極小值)。x1x2x3x4x5

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,

使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.

觀察與思考：

觀察極值與切線的關系.提問：函數(shù)的極值函數(shù)的極值及其求法設函數(shù)f(

設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么f

(x0)0.駐點

使導數(shù)f

(x)為零的點(方程f

(x)0的實根)稱為函數(shù)f(x)的駐點.定理觀察與思考：觀察曲線的升降與極值之間的關系.

x1x2x3x4x5設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且在x0處取

設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)(x0

b)內(nèi)可導

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)

f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

判別法則I(第一充分條件)

x1x2x3x4x5設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)且在(ax確定極值點和極值的步驟

(1)求出導數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f

(x)的符號;

(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.判別法則I(第一充分條件)

設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)(x0

b)內(nèi)可導

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)

f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

確定極值點和極值的步驟(1)求出導數(shù)f(導數(shù)的應用問題課件判別式II(第二充分條件)

設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f(x0)0

f

(x0)0