高等代數(shù)-唐西林課件多項(xiàng)式

第一章多項(xiàng)式基本概念集合：數(shù)學(xué)中的基本概念，集合論的主要研究對象。一定范圍的、確定的、可區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來看待，就叫作集合，簡稱集，其中各事物叫作集合的元素或簡稱元。全體自然數(shù)；平面上的所有直線,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小說就不算集合，因?yàn)椴粷M足確定與可區(qū)別的條件。如果集合只含有有限個(gè)元素，便稱為有窮集合，否則稱為無窮集合。元素與集合的關(guān)系事物m是集合S的元素有時(shí)也說成m屬于S或S含有m，記為m∈S。否則說成m不屬于

S，記為m

S

。空集合。一個(gè)元素或者屬于一個(gè)集合，或者不屬于這個(gè)集合。集合與元素是相對的：如集合的冪集合。集合與集合的關(guān)系A(chǔ)是B的子集合：如果x∈A那么x∈B。集合的交：A∩B={x|

x∈A且x∈B}集合的并：A∪B={x|

x∈A或者x∈B}集合的差：A-B={x|

x∈A，集合的積：A×B={（x，y)|

x∈A,y∈B}x

B}設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合，f

是一個(gè)法則，如果對A中任一元素x，依照法則f,

B中有某一元素y與x相對應(yīng)，就稱f為一個(gè)從A到B的 。

y叫做x

的像，

x叫做

y的原像。記做y=

f

(x).A叫做定義域，B叫做上域（范圍），

f

叫做一個(gè)對應(yīng)法則。f=g（相等）：定義域，上域相等，對應(yīng)法則相同。f≤g（g是f的擴(kuò)張，f是g的限制）：f的定義域是g的定義域的子集，f的上域是g的上域的子集，在A上的對應(yīng)法則相同。單、滿、雙射如果一個(gè)從A到B的

，使得A中任意兩個(gè)不同元素在B中的像也不同，則這種

稱為單射；如果一個(gè)從A到B的中元素的像，則這種，使B中每個(gè)元素都是A稱為滿射；既是單射又是滿射的

稱為雙射。雙射也稱為一一。如果A，B都是數(shù)集，則

f：A→B就是通常意義下的函數(shù)。如果

f：A→B

是雙射，那么存在唯一g:B

→A,

g(y)=x,這里f(x)=y.稱g是f的逆，記為

g=f

-1的復(fù)合如果f

：A→B

，g

：B→C

，那么h

：A→C

，h（x)=g(f(x))叫做f,g的復(fù)合。的復(fù)合滿足結(jié)合律。足左消去律。足右消去律。單滿恒等

f

f

-1

=1B, f

-1

f

=

1A（恒等

）四則運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算A×B到D的

叫做A×B到D的運(yùn)算叫做A上的代數(shù)代數(shù)運(yùn)算：A×A到A的運(yùn)算。四則運(yùn)算:+、－、乘、除。數(shù)學(xué)歸納法題第一數(shù)學(xué)歸納法：有一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)

P(n)，（i）如果“P(1)

為真”；（ii）假設(shè)

“P(n)

為真”，那么“P(n+1)

也為真”．則這個(gè)與自然數(shù)有關(guān) 題對于所有的自然數(shù)n，P(n)都為真。第二數(shù)學(xué)歸納法：一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)

題P(n)，（i）如果“P(1)

為真”；（ii）假設(shè)設(shè)n≤k時(shí)“P(n)

為真”，那么“P(k+1)也為真”．則這個(gè)與自然數(shù)有關(guān) 題對于所有的自然數(shù)n，P(n)都為真。數(shù)環(huán)與數(shù)域數(shù)環(huán)：復(fù)數(shù)集合的非空子集R如果對于加、減、乘是封閉的,就稱R是一個(gè)數(shù)環(huán)。整數(shù)環(huán)

Z,

偶數(shù)環(huán)2Z數(shù)域：復(fù)數(shù)集合的非空子集F如果含有非零元，且對于加、減、乘、除是封閉的,就稱F是一個(gè)數(shù)域。有理數(shù)域Q，實(shí)數(shù)域R，復(fù)數(shù)域C一元多項(xiàng)式定義（數(shù)環(huán)上或者數(shù)域上的多項(xiàng)式）P

:數(shù)環(huán)或數(shù)域,ai∈P,0≤i≤n

;n≥0,

x

:未定元,形如稱為P上關(guān)于x

的一元多項(xiàng)式.n

n1

0a

xn

a xn1

an

n1

0

iP[x]

{a

xn

axn1

a

|

a

P,

0

i

n}f

(x)

aixi

:稱為第i

次項(xiàng),ai

:第i

次項(xiàng)系數(shù).n

次多項(xiàng)式:當(dāng)an

≠0時(shí),次數(shù):(f

(x))或deg

f

(x),anxn

:首項(xiàng),an:首項(xiàng)系數(shù).a0:常數(shù)項(xiàng).零次多項(xiàng)式(非0常數(shù)多項(xiàng)式):f

(x)=a0

≠0.零多項(xiàng)式:f

(x)=0,此時(shí)說f

(x)沒有次數(shù)，或者規(guī)定

deg

f

(x)=－∞多項(xiàng)式的相等定義兩個(gè)多項(xiàng)式稱為相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的次數(shù)相同且各次項(xiàng)的系數(shù)相等即若g(x)

b

xm

b

xm1

b

x

bm

m1

1

0則f

(x)=g(x)當(dāng)且僅當(dāng)m

=n,ai

=bi

,0≤i≤nf

(x)

a

xn

a

xn1

ax

an

n1

1

0多項(xiàng)式的加法P[x]對加法構(gòu)成加群,即滿足如下性質(zhì)(

f

(x)+

g(x)

)

+

h(x)

=

f

(x)+

(

g(x)

+

h(x)

)f

(x)

+

g(x)

=

g(x)

+

f

(x)0

+

f

(x)

=

f

(x)f

(x)

+

(－f

(x)

)

=

0多項(xiàng)式的加法設(shè)f

(x),

g

(x)∈

P[x],適當(dāng)增加幾個(gè)系數(shù)為0的項(xiàng),可設(shè)

(a

b

)xn

(an

n

n1則f

(x)+g

(x)∈P[x].n

n1

1

0f

(x)

a

xn

a xn1

a

x

a01ng(x)

b

xn

bn1xn1

b

x

b定義加法:f

(x)

g(x)

b

)xn1

(a

b

)x

(a

b

)n1

1

1

0

0多項(xiàng)式的數(shù)乘設(shè)

ca

xn

ca xn1

cax

can

n1

1

0易知

cf

(x)∈P[x].xn1

a

x

a

P[x],1

0f

(x)

a

xn

an

n1c

P定義c與f(x)的數(shù)乘為:cf

(x)多項(xiàng)式的數(shù)乘P[x]對加法與數(shù)乘構(gòu)成P上的線性空間,即滿足(1)

~

(4)且滿足如下性質(zhì)c(

f

(x)

g(x))

cf

(x)

cg

(x)(c

d

)

f

(x)

cf

(x)

df

(x)(cd

)

f

(x)

c(df

(x))(8)1

f

(x)

f

(x)多項(xiàng)式的乘法設(shè)定義f

(x)與g(x)的乘積:f

(x)g(x)=h(x)其中n

n1

1

0f

(x)

a

xn

a

xn1

a

x

a

P[x]g(x)

b

xm

bm

m1

1

0xm1

b

x

b

P[x]h(x)

cxnm

cnm

nm1xnm1

c

x

c

P[x]1

0cnm

anbmcnm1

an1bm

anbm1

i

jk

aibj

a1bk

1

ak

b0

a0bkckc0

a0b0P[x]對加法,數(shù)乘和乘法構(gòu)成k-代數(shù),即滿足(1)~(8)且滿足性質(zhì):(

f

(x)

g(x))h(x)

=

f

(x)(g(x)

h(x))f

(x)g(x)

=

g(x)

f

(x)(f

(x)+g(x))

h(x)

=

f

(x)h(x)+

g(x)

h(x)c

(

f

(x)g(x)

)=(

c

f

(x))

g(x)

=f

(x)(

c

g(x))1·f

(x)

=

f

(x).注1:因?yàn)?9),(10),(13),P[x]稱為P上存在單位元1的結(jié)合交換代數(shù).注2:因?yàn)?1)~(4),(9)~(11),(13),P[x]對加法和乘法構(gòu)成有單位元的結(jié)合交換環(huán).多項(xiàng)式的次數(shù)的性質(zhì)deg

(f

(x)g(x))=deg

f

(x)

+

deg

g(x)deg

f

(x)

=deg

cf

(x),

0≠

c∈Pdeg

(

f

(x)+

g(x))

≤

max{deg

f(x)

,

deg

g(x)}f

(x),g(x)∈P[x].f

(x)≠0,g(x)≠0,則f

(x)g(x)≠0.若f

(x)≠0,f

(x)g(x)=f

(x)h(x),則g(x)=h(x)整除_定義(數(shù)域上的多項(xiàng)式)定義:P為數(shù)域設(shè)f

(x),g(x)∈P[x].若存在h(x)∈P[x].使得f

(x)

=g(x)

h(x)

,則稱g(x)整除f

(x),或f

(x)被g(x)整除,或g(x)是f

(x)的因式.記為g(x)|

f

(x).否則記g(x)|

f

(x).任意的f

(x)∈P[x],有f

(x)|

0對

f

(x)≠

0

,則

0

|f

(x)0≠c

∈P,對任意f

(x),有c

|

f

(x).整除_性質(zhì)性質(zhì):

f

(x),

g

(x),

h(x)∈

P[x],

0

≠

c∈P

,

則f

(x)|

g(x),則c

f

(x)|

g(x)f

(x)|g(x),g(x)|

h(x),則f

(x)|

h(x)f

(x)|

g(x),f

(x)|

h(x),則

u(x),v(x)∈P[x],有f

(x)

|

u(x)g(x)+

v(x)h(x)f

(x)|g(x),g(x)|f(x),則存在c

≠0∈P,使f

(x)=cg(x).帶余除法設(shè)f

(x),

g

(x)∈

P[x]

,

g

(x)

≠0

,則存在唯一q(x)、

r(x)∈P[x],且deg

r(x)＜deg

g(x),使得f

(x)=

g

(x)q(x)

+

r(x)注:定理結(jié)論可敘述為：f

(x)=g

(x)q(x)+r(x),這里或者r(x)=0，或者0≤deg

r(x)<deg

g(x).q(x)稱為g(x)除f(x)的商式

,r(x)稱為g(x)除f

(x)的余式.推論:

f

(x),

g(x)∈

P[x]

,

g

(x)≠

0,則

g(x)

|

f(x)當(dāng)且僅當(dāng)

g(x)

除

f(x)

的余式為0.最大公因式_定義定義:設(shè)f

(x),g

(x)∈P[x],若d(x)∈P[x]使得d(x)|

f

(x)且d(x)|

g(x)若h(x)|

f

(x)且h(x)|

g(x),則有h(x)|

d(x)則稱d(x)是f

(x)與g

(x)的最大公因式.如果f

(x)=g

(x)q(x)+r(x)，那么f(x)，g

(x)的公因式與

g

(x)，r(x)的公因式相同。最大公因式_唯一性設(shè)d(x),d1

(x)是f

(x)和g(x)的最大公因式,據(jù)定義有

d(x)|

d1

(x)且d1(x)|

d(x),故存在c∈P,使得d(x)=cd1

(x).即f

(x),g(x)的最大公因式最多差一個(gè)非零常數(shù)。f(x),g(x)的最大公因式中首項(xiàng)系數(shù)為1的是唯一確定的,

f(x),g(x)的最大公因式中首項(xiàng)系數(shù)為1的記為d(x)

=

(

f

(x),

g(x)

)

.性質(zhì):如果f

(x)=g

(x)q(x)+r(x)，那么(f

(x),g

(x))=(g

(x),r(x))。最大公因式_多個(gè)多項(xiàng)式定義:對m個(gè)多項(xiàng)式fi(x)∈P[x],1≤i≤m,若存在首項(xiàng)系數(shù)為1的d(x)∈P[x],使得d(x)

|

fi(x)

,

1

≤

i≤

m若h(x)|

fi(x),1≤i≤m,則h(x)|

d(x)則稱d(x)是fi(x),1≤i≤m

的最大公因式,記做d(x)

=

(f1(x)

,f2(x)

,

…

,

fm(x)

)命題:設(shè)f

(x),g

(x),h(x)∈P[x],則(

f

(x),

g

(x),

h(x))

=

(

(f

(x),

g

(x)),

h(x)

)=(

f

(x),

(g

(x),

h(x)

)

)最小公倍式定義:設(shè)f

(x),g

(x),c(x)∈P[x],且c(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1，c(x)稱為f

(x),g

(x)的最小公倍

式

,如果f

(x)|

c(x),且g(x)|

c(x)若f

(x)|

h(x),g(x)|

h(x),則c(x)|

h(x)記為

c(x)=[f

(x),g(x)]最大公因式_存在性定理設(shè)f

(x),g

(x)∈P[x],則存在d(x)∈P[x],使得(f

(x),g(x))=d(x),且存在u(x),v(x)∈P[x],使得d(x)

=u(x)

f

(x)+

v(x)g(x).證明用Euclidean輾轉(zhuǎn)相除法.注1:證明方法即是計(jì)算方法.注2:設(shè)f

(x),g

(x),d(x)∈P[x],且d(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1.擴(kuò)展Euclidean算法擴(kuò)展Euclidean算法:已知f

(x),g(x),求u(x),v(x)∈P[x]使得(

f

(x)

,

g(x)

)

=

u(x)

f

(x)

+

v(x)

g(x)例子（P14）命題:如果存在u(x),v(x)∈P[x],使得d(x)

=

u(x)

f

(x)

+

v(x)

g(x)d(x)

|

f

(x),

d(x)

|

g(x)則d(x)=(f

(x),g(x)).特別提示若沒有條件(2),則(1)不能保證結(jié)論成立.互素_1定義:設(shè)f

(x),g

(x)∈P[x],若(f

(x),g(x))=1,則稱f

(x)與g(x)互素.定理設(shè)

f

(x),

g

(x)

∈

P[x]

,

則

f

(x)

,

g(x)

互素當(dāng)且僅當(dāng)存在

u(x),

v(x)使得u(x)

f

(x)

+

v(x)

g(x)

=

1.互素_2性質(zhì):設(shè)

f1(x)

|

g(x),

f2(x)

|

g(x),

且(f1(x)

,

f2(x)

)

=

1,

則f1(x)

f2(x)

|

g(x).設(shè)(f

(x),g(x))=1,且f

(x)|

g(x)h(x),則f

(x)|

h(x).設(shè)(

f

(x),

g(x))

=

d(x),

f

(x)

=

f1(x)d(x),

g(x)

=g1(x)d(x),則(f1(x)

,

g1(x)

)

=

1.設(shè)(f1(x),g(x))=1,(f2(x),g(x))=1,則(f1(x)

f2(x)

,

g(x)

)

=

1.多個(gè)多項(xiàng)式互素定義:對m個(gè)多項(xiàng)式fi(x)∈P[x],1≤i≤m,若1=(f1(x),f2(x),…,fm(x))則稱f1(x),f2(x),…,fm(x)互素.注意f1(x),f2(x),…,fm(x)互素與它們兩兩互素的區(qū)別.不可約多項(xiàng)式_定義定義

設(shè)

p(x)∈P[x],

且deg

p(x)≥1,

若

p(x)不能表為兩個(gè)次數(shù)較小的多項(xiàng)式之積,

則稱p(x)是不可約多項(xiàng)式,

否則稱為可約多項(xiàng)式.注多項(xiàng)式是否可約與數(shù)域P有關(guān).例如

x2－2在Q[x]上是不可約多項(xiàng)式,但在R[x]上是可約多項(xiàng)式.不可約多項(xiàng)式_性質(zhì)性質(zhì)1

f(x),

p(x)∈

P[x],

且p(x)是不可約多項(xiàng)式,則或p(x)|f(x)或(f(x),p(x)|)=1.性質(zhì)2

設(shè)f(x),

g(x),

p(x)∈

P[x],且

p(x)是不可約多項(xiàng)式,若p(x)|

f(x)g(x),則或p(x)|

f(x)或p(x)|g(x).注1

設(shè)

p(x)∈

P[x],

滿足以下性質(zhì):

對任意

f(x)∈P[x]或

p(x)|

f(x)

或(f(x),

p(x)|)=1,

則

p(x)是不可約多項(xiàng)式.注2設(shè)p(x)∈P[x],滿足以下性質(zhì):對任意f(x),g(x)∈P[x],如果p(x)|

f(x)g(x)必有p(x)|

f(x)或p(x)|g(x),則p(x)是不可約多項(xiàng)式.因式分解基本定理_1設(shè)f(x)∈P[x],且deg

f(x)≥1,

則f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x),其中pi(x)是不可約多項(xiàng)式,1≤i≤s(存在性);若f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)其中pi(x),qj(x)是不可約多項(xiàng)式,1≤i≤s,1≤j≤t,則必有s

=t且經(jīng)過適當(dāng)調(diào)換因子順序后,qi(x)=ci

pi(x),1≤i≤s,其中ci是P中非零常數(shù)(唯一性).?因式分解基本定理的應(yīng)用證明x2-2在有理數(shù)域內(nèi)不可約.整數(shù)分解基本定理.多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式其中pi(x)是兩兩互素首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,ei≥1.1

2

mf

(x)

cpe1

(x)

pe2

(x)...pem

(x)因式分解的應(yīng)用_2設(shè)g(x)

bp

f1

(x)

p

f2

(x)...p

fm

(x)1 2 mei≥0,

fi≥0,

ei+fi＞0,

1≤i≤m,pi(x)是兩兩互素首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,則1.2.3.f

(x)

ape1

(x)

pe2

(x)...pem

(x)1

2

m1

21

2

ma

a

amf

(x)g(x)

p

(x)

p

(x)...p

12(

f

(x),

g(x))

mbbb1

2

m

i

i

ip

(x)

p

(x)...p

(x),b

min

e

,

f

,1

i(x),

ai

ei

fi

,1

i

m,

m,1

2

m

i

i

i[

f

(x),

g(x)]

pc1

(x)

pc2

(x)...pcm

(x),

c

max{e

,

f

},1

i

m,4.[

f

(x),

g(x)](

f

(x),

g(x))

f

(x)g(x).多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)設(shè)f(x)=anxn

+an-1xn-1

+…+a1x

+a0,則其導(dǎo)數(shù)為f

'(x)

=

nanxn-1

+

(n-1)an-1xn-2

+…+

a1(f(x)+

g(x))'

=

f

'(x)

+

g'(x)(f(x)

g(x))'

=

f

'(x)

g(x)

+

f(x)

g'(

x)(cf(x))'=

cf

'(

x)(f

m(x))'=

mf

m-1(x)

f

'(

x).重因式定義不可約多項(xiàng)式p(x)稱為f(x)的k重因式

如果pk

(x)|

f

(x)

并且pk+1(x)

|

f

(x.)k=1時(shí)叫單因式，k>1時(shí)叫重因式定理

如果p(x)是f(x)的k重因式，那么p(x)是f

'(x)的k-1重因式。如果p(x)是f(x)的k(>0)重因式,那么它是f

'(x),…,f

（k-1）(x)的因式，但不是f

(k)(x)的因式.p(x)是f(x)的重因式當(dāng)且僅當(dāng)p(x)|(f(x)，f

'(x))。f(x)無重因式當(dāng)且僅當(dāng)(f(x),

f

'(x))=1.定理

設(shè)d(x)=(f(x),f

'(x)),f(x)=f1(x)d(x),則f1(x)是一個(gè)無重因式的多項(xiàng)式,且f1(x)與f(x)的不可約因式成分相同,而d(x)的各個(gè)不可約因式的重?cái)?shù)比

f(x)少1.證明思路:設(shè)f

(x)

cpe1

(x)pe2

(x)...pem

(x)是標(biāo)準(zhǔn)分1

2

m解式,則d(x)

pe1

1(x)pe2

1(x)...pem

1(x)1

2

m而f1

(x)

cp1

(x)

p2.(x)...pm

(x)重因式性質(zhì)多項(xiàng)式函數(shù)_1本節(jié)P為數(shù)環(huán)或數(shù)域設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,對任意b

∈P,定義f(b)=anbn+an-1bn-1+…+a1b+a0,則f:b→f(b)定義了數(shù)域P上的函數(shù)f.f(x)表示f在x處的值.根的定義:稱b是f(x)的根,如果f(b)=0.余數(shù)定理:設(shè)f(x)∈P[x],b

∈P,則存在g(x)∈P[x],使得

f(x)=(x-b)g(x)+f(b).推論b是f(x)的根當(dāng)且僅當(dāng)(x-b)|

f(x).如果x-b是f(x)的k重因式那么稱b是f(x)的k重根.綜合除法f(x)=(x-b)g(x)+f(b).則n

n1 1 0設(shè)

f

(x)

a

xn

a

xn1

ax

a1

0g(x)

bxn1n1

b

x

ba1a0bb2bb1

b1f

(b)

a1

,

f

(b)

bb1

a0

.

an

1

,

an

,

bn

2

bbn

1b1

bb2bn

1b

anan

1bbn

1

bn

1

bn

2多項(xiàng)式函數(shù)_2定理

設(shè)f(x)∈P[x],且degf(x)=n,則f(x)在P內(nèi)至多有n個(gè)不同的根.推論

設(shè)f(x),g(x)∈P[x],且degf(x),degg(x)≤n,且存在不同的n+1個(gè)數(shù)

b1,b2,…,bn+1∈P,使得

f(bi)=g(bi) 1≤i≤n+1,

則

f(x)=g(x).定理

設(shè)f(x),g(x)∈P[x],則f(x),g(x)作為多項(xiàng)式相等(即次數(shù)和各次項(xiàng)系數(shù)相等)當(dāng)且僅當(dāng)f(x),g(x)作為多項(xiàng)式函數(shù)相等(即對任意b∈P,有f(b)=g(b))

.數(shù)域上的多項(xiàng)式做為形式表達(dá)式與做為函數(shù),其意義是相同的。f(x)≡0(作為函數(shù))等價(jià)于

f(x)=0(作為多項(xiàng)式)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式代數(shù)基本定理

每個(gè)次數(shù)大于0的復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式都至少有一個(gè)根.推論

復(fù)數(shù)域上的一元n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰好有n個(gè)根.推論

復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式都是一次的.復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:f

(x)

c(x

a

)e1

(x

a

)e2

...(x

a

)em1

2

m其中ai是兩兩不同的復(fù)數(shù).Vieta定理(根與系數(shù)的關(guān)系)設(shè)f(x)=xn

+p1xn-1

+…+pn-1x

+pn∈P[x]在C中有n個(gè)根

x1,

x2,

…,

xn

,則xi

xj

p2

,1i

jnn

xi

p1,i1xi

xj

xk

p3

,,

x

x

...x

(1)n

p

.1

2

n

n1i

jk

n......實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式定理（虛根成對定理）:設(shè)f

(x)=anxn

+an-1xn-1

+…+a1x

+a0是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)

式．若虛數(shù)a

+bi是f

(x)的根，則a－bi也是f

(x)的根，且重?cái)?shù)相同.推論:

實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式或?yàn)橐淮位驗(yàn)槎味囗?xiàng)式ax2+bx+c,其中b2－4ac<o.實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式:其中αi,bi,ci全是實(shí)數(shù)，li,mj是正整數(shù)，bi2－4ci<0.ttl

l2 m

2 mn 1 s

1 11

t1

s(x

b

x

c

) (x

b

x

c

)f

(x)

a

(x

) (x

)有理系數(shù)多項(xiàng)式與整系數(shù)多項(xiàng)式特別注意數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式與數(shù)域上的多項(xiàng)式整除的區(qū)別與不可約的區(qū)別3x+6=3(x+2)定理：任意一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式可以表示為一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式與一個(gè)既約分?jǐn)?shù)的乘積。本原多項(xiàng)式定義：設(shè)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式，若an,an-1,…,a0的最大公因數(shù)為1，則稱

f

(x)為本原多項(xiàng)式．Gauss引理：兩個(gè)本原多項(xiàng)式之積仍為本原多項(xiàng)式．推論：如果不考慮符號，任意一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式可以唯一地表示為一個(gè)本原多項(xiàng)式與一個(gè)既約分?jǐn)?shù)的乘積。有理系數(shù)多項(xiàng)式_2定理(與整系數(shù)多項(xiàng)式的關(guān)系):若整系數(shù)多項(xiàng)式f

(x)在有理數(shù)域上可約,則它必可分解為兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式之積.定理

本原多項(xiàng)式f

(x)在有理數(shù)域上可約,f(x)在整數(shù)環(huán)上可約.當(dāng)且僅當(dāng)Eisenstein判別法

設(shè)多項(xiàng)式f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式,an≠0,n≥1.若存在一個(gè)素?cái)?shù)p滿足(i)

p|

ai,

０≤i≤n-1;(ii)

p不整除an

;(iii)p2不整除a0,則f

(x)在有理數(shù)域上不可約.該判別法只是充分條件,不是必要條件.1

可以直接判別的多項(xiàng)式:x2+2;2

需要變形后判別的多項(xiàng)式x4+x3+x2+x+1.一般采用一次變形x=t+c.有理系數(shù)多項(xiàng)式_的可能的有理根定理：設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項(xiàng)式，則既約分?jǐn)?shù)p/q是f(x)的根的必要條件是q|an,p|a0．判斷既約分?jǐn)?shù)p/q是f

(x)的根的方法:首先計(jì)算f

(1),f

(-1),判斷1,-1是否是根;若不是則判斷q-p是否整除f(1),q+p是否整除f(-1).若其中之一不整除則不是根,排除大量的可能分?jǐn)?shù).P32,例1,2,

多項(xiàng)式x3+4不可約,P46,27(1)一元多項(xiàng)式性質(zhì)小結(jié)與數(shù)域無關(guān)的性質(zhì):整除,帶余除法,最大公因式,互素.與數(shù)域有關(guān)的性質(zhì):不可約多項(xiàng)式,標(biāo)準(zhǔn)分解式,重因式,多項(xiàng)式的根.定理:設(shè)p(x),f(x)∈P[x],p(x)是不可約多項(xiàng)式,若p(x)和f(x)在復(fù)數(shù)域上有公共根,則p(x)|

f(x).數(shù)域、數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式的區(qū)別帶余除法，平凡因子與整除多項(xiàng)式的性質(zhì)與數(shù)域的關(guān)系與數(shù)域擴(kuò)大無關(guān)的多項(xiàng)式性質(zhì)整除、最大公因式、互素、余數(shù)定理等與數(shù)域擴(kuò)大有關(guān)的多項(xiàng)式性質(zhì)不可約、因式分解、根理論等多元多項(xiàng)式_1兩個(gè)n元多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們同類項(xiàng)的系數(shù)全部相等．若f

(x1,x2,…,xn)和g

(x1,x2,…,xn)都是P上n元非零多項(xiàng)式,則按字典排列后乘積的首項(xiàng)等于f與g的首項(xiàng)之積.ii

ix

x

x1

2

ni1i2

in

1

2

nf

(

x1,

x2

,,

xn

)

a多元多項(xiàng)式_2若f

(x1,x2,…,xn)≠0,

g

(x1,x2,…,xn)≠0,

則f

(x1,x2,…,

xn)

g

(x1,x2,…,

xn)

≠0．設(shè)f(x1,x2,…,xn)是P上n元非零多項(xiàng)式,則必存在P上n個(gè)元a1,a2,…,an使得f

(a1,a2,…,an)

≠0．P上兩個(gè)n元多項(xiàng)式f

(x1,x2,…,xn),g

(x1,x2,…,xn)相等的充要條件是對任意a1,a2,…,an

∈P都有:f

(x1,x2,…,

xn),=g

(x1,x2,…,xn)．對稱多項(xiàng)式_1定義:

設(shè)f

(x1,x2,…,xn)是P上n元多項(xiàng)式，若對任意的1≤i≠j≤n均有：f

(x1,…,

xi

,…,

xj

,…,

xn)＝

f

(x1,…,

xj

,…,

xi

,…,

xn)則稱f

(x1,x2,…,xn

)是P上n元對稱多項(xiàng)式．對稱多項(xiàng)式在未定元的任一置換下不變．對稱多項(xiàng)式的和是對稱多項(xiàng)式．對稱多項(xiàng)式的乘積是對稱多項(xiàng)式．對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式是對稱多項(xiàng)式．對稱多項(xiàng)式_2

xi

x

j1i

jnn初等對稱多項(xiàng)式:1

x1

x2

xn

xii

1

2

x1

x2

x1

x3

xn1

xn

n

x1

x2

xn對稱多項(xiàng)式_2對稱多項(xiàng)式基本定理:設(shè)f

(x1,x2,…,xn)是數(shù)域P上的對稱多項(xiàng)式,則必存在P上唯一的一個(gè)多項(xiàng)式g(y1,y2,…,yn)使得f

(x1,x2,…,

xn)=

g(σ1’σ2’…’σn).注:證明是構(gòu)造性的,證明過程實(shí)際上給出求g(y1,y2,…,yn)的方法.結(jié)式和判別式_1設(shè)f

(x)=a0xn+a1xn-1+…+an

,g(x)=b0xn+b1xn-1+…+bn稱為f

(x)與g(x)的結(jié)式.下列階行列式a00

0an

0an1

0a1

a2

an0

a0

a1

an10

0

a0

an2R(

f

,

g)

00a0anb0b1b2000b0b1000b0b1bm結(jié)式和判別式_2定理:f

(x)和g(x)是互素當(dāng)且僅當(dāng)R

(f,g)≠0.定理:設(shè)f

(x)=a0xn+a1xn-1+…+an,g(x)=b0xn+b1xn-1+…+bn,f

(x)的根為x1,x2,…,xn

,g(x)的根為y1,y2,…,ym,則m

nm n(

x

j

yi

)R(

f

,

g)

a

b0

0

i

1

j1結(jié)式和判別式_3利用結(jié)式,可以定義一個(gè)多項(xiàng)式f

(x)=a0xn+a1xn-1+…+an的判別式為:定理:設(shè)多項(xiàng)式f

(x)=a0xn+a1xn-1+…+an的根為x1,x2,…,xn

，則推論:

f

(x)有重根當(dāng)且僅當(dāng)△(f

)=0．01

n(n1)(

f

)

(1)2

a

1R(

f

,

f

'

)i0

j1

jin(

f

)

a2n2

(x

x

)2中國剩余定理_1命題

設(shè)

p1(x),p2(x),…,

pn(x)是數(shù)域P上兩兩互素的多項(xiàng)式,證明對于每個(gè)i,

1≤i≤n,存在多項(xiàng)式fi(x),使得

fi

(x)

1(mod

pi

(x))中國剩余定理

設(shè)p1(x),p2(x),…,pn(x)是數(shù)域P上兩兩互素的多項(xiàng)式,deg

pi(x)=mi,1≤i≤n,則對任意n個(gè)多項(xiàng)式f1(x),f2(x),…,fn(x),存在唯一多項(xiàng)式f(x),使得deg

f(x)≤m1+m2+…+mn,且對任意i,1≤i≤n,有f(x)

≡

fi(x)(mod

pi(x)).i

j

f

(x)

0(mod

p

(x)),

j

i中國剩余定理_2Language插值公式設(shè)a1,a2,…,an是數(shù)域P上n

個(gè)不同的數(shù),則對任意

n

個(gè)數(shù)b1,b2,…,bn,存在唯一次數(shù)小于

n

的多項(xiàng)式適合條件L(ai)=bi,1≤i

≤n.i

i1

j

inL(x)

bx

ajia

aj一元三次方程的公式解_Cartan公式考慮一元三次方程式f(x)=x3+ax2+bx+c=0.若q=0,則x1

0,x2

若p=0,則中若p≠0,q≠0,令x=u+v,得