微分中值定理及應(yīng)用課件

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第十九講微分中值定理腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)1第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。熟悉一階微分形式不變性。熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運算法則，能熟練運用求導(dǎo)的基本公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法、取對數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微分。了解n階導(dǎo)數(shù)的概念，會求常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能較好運用上述定理解決有關(guān)問題（函數(shù)方程求解、不等式的證明等）。掌握羅必塔法則并能熟練運用它計算有關(guān)的不定式極限。第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求：2第五節(jié)微分中值定理第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一.費馬定理二.羅爾中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理第五節(jié)微分中值定理第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一.費3費馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理費馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理4函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)等于時,函數(shù)的極限值.在點x處的差商導(dǎo)數(shù)與差商函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)等于時,函數(shù)的極5我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出的局部的或“小范圍”性質(zhì),推出其整體的或“大范圍”性質(zhì).為此,我們需要建立函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式,這些關(guān)系式稱為“微分學(xué)中值定理”.這些中值定理的創(chuàng)建要歸功于費馬、拉格朗日、柯西等數(shù)學(xué)家.我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出6首先,從直觀上來看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式”是怎么一回事.首先,從直觀上來看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式7導(dǎo)數(shù)與差商相等！導(dǎo)數(shù)與差商相等！8將割線作平行移動,那么它至少有一次會達(dá)到這樣的位置：在曲線上與割線距離最遠(yuǎn)的那一點P處成為切線,即在點P處與曲線的切線重合.也就是說,至少存在一點使得該命題就是微分中值定理.將割線作平行移動,那么它至少有一次會達(dá)到這樣的位置：在曲線9極值的定義極值的定義10一.費馬定理可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要條件是函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值為零.定理一.費馬定理可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要11費馬定理的幾何解釋如何證明？費馬定理的幾何解釋如何證明？12則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？13但是……不保證在內(nèi)部！但是……不保證在內(nèi)部！14水平的可保證在內(nèi)部一點取到極值水平的可保證在內(nèi)部一點取到極值15二.羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點定理二.羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點定理16實際上,切線與弦線AB平行.實際上,切線與弦線AB平行.17最小值至少各一次.證最小值至少各一次.證18最小值至少各一次.由費馬定理可知：最小值至少各一次.由費馬定理可知：19例1證其中,例1證其中,20綜上所述,綜上所述,21連續(xù)可微端點函數(shù)值相等例2分析連續(xù)可微端點函數(shù)值相等例2分析22例2證由羅爾定理,至少存在一點例2證由羅爾定理,至少存在一點23分析問題的條件,作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵.分析問題的條件,作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵24且滿足羅爾定理其它條件,例3證且滿足羅爾定理其它條件,例3證25想想,看能不能找到證明的方法.例4分析想想,看能不能找到證明的方法.例4分析26例4證則由已知條件可知:例4證則由已知條件可知:27該矛盾說明命題為真.如果使用一次羅爾定理后,能否再一次使用羅爾定理?如果需要,當(dāng)然可以使用.該矛盾說明命題為真.如果使用一次羅爾定理后,能否再一次使28例5證例5證29例6證例6證30引理1達(dá)布中值定理達(dá)布中值定理費馬定理的一種推廣引理1達(dá)布中值定理達(dá)布中值定理費馬定理的一種推廣31證明引理1證明引理132證明達(dá)布中值定理請自己完成!證明達(dá)布中值定理請自己完成!33如何描述這一現(xiàn)象如何描述這一現(xiàn)象34三.拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點定理三.拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點定理35切線與弦線AB平行如何利用羅爾定理來證明？切線與弦線AB平行如何利用羅爾定理來證明？36則由已知條件可得：故由羅爾定理,至少存在一點證則由已知條件可得：故由羅爾定理,至少存在一點證37定理的證明方法很多,例如,可作輔助函數(shù)拉格朗日有限增量公式定理的證明方法很多,例如,可作輔助函數(shù)拉格朗日有限增量38某一時刻達(dá)到它的平均速度.拉格朗日中值定理告訴我們,在t=a到t=b的時間段內(nèi),連續(xù)運動的物體至少會在某一時刻達(dá)到它的平均速度.拉格朗日中值定理告訴我們,在t39還有什么？還有什么？40推論1推論141推論2(C為常數(shù))推論2(C為常數(shù))42推論3用來證明一些重要的不等式推論3用來證明一些重要的不等式43推論4用來判斷函數(shù)的單調(diào)性推論4用來判斷函數(shù)的單調(diào)性44在推論4中,在推論4中,45推論5則再由推論4,即得命題成立.該推論可以用來證明不等式.證推論5則再由推論4,即得命題成立.該推論可以用46解例7解例747故從而例8證故從而例8證48例9證例9證49例10證延拓!例10證延拓!50例11證從而例11證從而51例12解例12解52例13解例13解53又故從而即例14證又故從而即例14證54則又且故即例15證則又且故即例15證55在拉格朗日中值定理中,將曲線用參數(shù)方程表示,會出現(xiàn)什么結(jié)論？在拉格朗日56使曲線在該點的切線與弦線平行,即它們的斜率相等.注意:并不具備任意性,它們間的關(guān)系由曲線確定.使曲線在該點的切線與弦線平行,即它們的斜率相等.注意:并不57四.柯西中值定理設(shè)則至少存在一點四.柯西中值定理設(shè)則至少存在一點58有人想：分子分母分別用拉格朗日中值定理,就可證明柯西中值定理了.有人想：分子分母分別用拉格朗日中值定理,就可證明柯西中值59故由羅爾中值定理至少存在一點使得亦即證故由羅爾中值定理至少存在一點使得亦即證60分析例16分析例1661例16證例16證62微分中值定理及應(yīng)用課件63三個中值定理的關(guān)系RolleLagrangeCauchy圖形旋轉(zhuǎn)參數(shù)方程三個中值定理的關(guān)系RolleLagrangeCauchy圖形64高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第十九講微分中值定理腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)65第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。熟悉一階微分形式不變性。熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運算法則，能熟練運用求導(dǎo)的基本公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法、取對數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微分。了解n階導(dǎo)數(shù)的概念，會求常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能較好運用上述定理解決有關(guān)問題（函數(shù)方程求解、不等式的證明等）。掌握羅必塔法則并能熟練運用它計算有關(guān)的不定式極限。第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求：66第五節(jié)微分中值定理第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一.費馬定理二.羅爾中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理第五節(jié)微分中值定理第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一.費67費馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理費馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理68函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)等于時,函數(shù)的極限值.在點x處的差商導(dǎo)數(shù)與差商函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點x處的導(dǎo)數(shù)等于時,函數(shù)的極69我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出的局部的或“小范圍”性質(zhì),推出其整體的或“大范圍”性質(zhì).為此,我們需要建立函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式,這些關(guān)系式稱為“微分學(xué)中值定理”.這些中值定理的創(chuàng)建要歸功于費馬、拉格朗日、柯西等數(shù)學(xué)家.我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出70首先,從直觀上來看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式”是怎么一回事.首先,從直觀上來看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式71導(dǎo)數(shù)與差商相等！導(dǎo)數(shù)與差商相等！72將割線作平行移動,那么它至少有一次會達(dá)到這樣的位置：在曲線上與割線距離最遠(yuǎn)的那一點P處成為切線,即在點P處與曲線的切線重合.也就是說,至少存在一點使得該命題就是微分中值定理.將割線作平行移動,那么它至少有一次會達(dá)到這樣的位置：在曲線73極值的定義極值的定義74一.費馬定理可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要條件是函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值為零.定理一.費馬定理可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要75費馬定理的幾何解釋如何證明？費馬定理的幾何解釋如何證明？76則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？77但是……不保證在內(nèi)部！但是……不保證在內(nèi)部！78水平的可保證在內(nèi)部一點取到極值水平的可保證在內(nèi)部一點取到極值79二.羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點定理二.羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點定理80實際上,切線與弦線AB平行.實際上,切線與弦線AB平行.81最小值至少各一次.證最小值至少各一次.證82最小值至少各一次.由費馬定理可知：最小值至少各一次.由費馬定理可知：83例1證其中,例1證其中,84綜上所述,綜上所述,85連續(xù)可微端點函數(shù)值相等例2分析連續(xù)可微端點函數(shù)值相等例2分析86例2證由羅爾定理,至少存在一點例2證由羅爾定理,至少存在一點87分析問題的條件,作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵.分析問題的條件,作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵88且滿足羅爾定理其它條件,例3證且滿足羅爾定理其它條件,例3證89想想,看能不能找到證明的方法.例4分析想想,看能不能找到證明的方法.例4分析90例4證則由已知條件可知:例4證則由已知條件可知:91該矛盾說明命題為真.如果使用一次羅爾定理后,能否再一次使用羅爾定理?如果需要,當(dāng)然可以使用.該矛盾說明命題為真.如果使用一次羅爾定理后,能否再一次使92例5證例5證93例6證例6證94引理1達(dá)布中值定理達(dá)布中值定理費馬定理的一種推廣引理1達(dá)布中值定理達(dá)布中值定理費馬定理的一種推廣95證明引理1證明引理196證明達(dá)布中值定理請自己完成!證明達(dá)布中值定理請自己完成!97如何描述這一現(xiàn)象如何描述這一現(xiàn)象98三.拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點定理三.拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點定理99切線與弦線AB平行如何利用羅爾定理來證明？切線與弦線AB平行如何利用羅爾定理來證明？100則由已知條件可得：故由羅爾定理,至少存在一點證則由已知條件可得：故由羅爾定理,至少存在一點證101定理的證明方法很多,例如,可作輔助函數(shù)拉格朗日有限增量公式定理的證明方法很多,例如,可作輔助函數(shù)拉格朗日有限增量102某一時刻達(dá)到它的平均速度.拉格朗日中值定理告訴我們,在t=a到t=b的時間段內(nèi),連續(xù)運動的物體至少會在某一時刻達(dá)到它的平均速度.拉格朗日中值定理告訴我們,在t103還有什么？還有什么？104推論1推論1105推論2(C為常數(shù))推論2(C為常數(shù))106推論3用來證明一些重要的不等式推論3用來證明一些重要的不等式107推論4用來判斷函數(shù)的單調(diào)性推論4用來判斷函數(shù)的單調(diào)性108在推論4中,在推論4中,109推論5則再由推論4,即得命題成立.該推論可以用來證明不等式.證推論5則再由