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文檔簡介
2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.2.設實數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.143.已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.設復數(shù),則=()A.1 B. C. D.5.()A. B. C. D.6.已知,則“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.設復數(shù)滿足,在復平面內(nèi)對應的點的坐標為則()A. B.C. D.8.若復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.9.一個盒子里有4個分別標有號碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個,記下它的標號后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標號最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種10.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點,其橫坐標分別為,則()A. B. C. D.11.在平面直角坐標系中,已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.12.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,所對的邊分別邊,且,設角的角平分線交于點,則的值最小時,___.14.實數(shù),滿足,如果目標函數(shù)的最小值為,則的最小值為_______.15.的三個內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知,則________.16.的展開式中,x5的系數(shù)是_________.(用數(shù)字填寫答案)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的準線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點F,且點F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.(1)求橢圓C的標準方程;(2)過點F做直線與橢圓C交于A,B兩點,P是AB的中點,線段AB的中垂線交直線l于點Q.若,求直線AB的方程.18.(12分)山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成,總分為750分.其中,統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語,自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目,語、數(shù)、外三科各占150分,選考科目成績采用“賦分制”,即原始分數(shù)不直接用,而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級。參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分,該學科C+等級的原始分分布區(qū)間為58~69,則該同學化學學科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61~70,那么該同學化學學科的轉(zhuǎn)換分為:設該同學化學科的轉(zhuǎn)換等級分為x,69-6565-58=70-x四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7.(1)某校高一年級共2000人,為給高一學生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布ξ~N(60,12(i)若小明同學在這次考試中物理原始分為84分,等級為B+,其所在原始分分布區(qū)間為82~93,求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取4人,記X表示這4人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.(附:若隨機變量ξ~N(μ,σ2),則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68219.(12分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)分別求數(shù)列,的前項和,.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長為2的正三角形,,為線段的中點.(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點,當二面角的余弦值為時,求三棱錐的體積.21.(12分)△的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長.22.(10分)在平面直角坐標系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點,.(1)若,求線段的中點的坐標;(2)設點,若,求直線的斜率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡,可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因為,則,而,所以.故選:A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎題.2.D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當目標函數(shù)過點時,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎題.3.C【解析】分析:先求導,再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,得到關于a的不等式組,再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當a<1時,,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當1≤a<e時,函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當1≤a<e時,滿足題意.當a時,函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點睛:本題的難點在于“對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來,完成了數(shù)學問題的等價轉(zhuǎn)化,找到了問題的突破口.4.A【解析】
根據(jù)復數(shù)的除法運算,代入化簡即可求解.【詳解】復數(shù),則故選:A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算與化簡求值,屬于基礎題.5.B【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】.故選B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的基本概念,是基礎題.6.B【解析】
構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當?shù)倪x取直線為m,n即可進行判斷.【詳解】如圖,取長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,直線=直線。若令AD1=m,AB=n,則m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直線m垂直于平面β,所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考點有兩個:①考查了充分必要條件的判斷,在確定好大前提的條件下,從m⊥n?m⊥?和m⊥?m⊥n?兩方面進行判斷;②是空間的垂直關系,一般利用長方體為載體進行分析.7.B【解析】
根據(jù)共軛復數(shù)定義及復數(shù)模的求法,代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)對應點坐標的幾何意義,復數(shù)模的求法及共軛復數(shù)的概念,屬于基礎題.8.B【解析】
利用復數(shù)乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法運算,考查復數(shù)模的計算,屬于基礎題.9.C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應用,屬于基礎題.10.A【解析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對稱軸方程為,由圖可得與關于對稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對稱軸方程為,,又,由圖可得與關于對稱,故選:A【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性,考查了學生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.11.C【解析】
利用誘導公式以及二倍角公式,將化簡為關于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因為,且,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.12.D【解析】
由題可得函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),排除選項B;又,,所以排除選項A、C,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)題意,利用余弦定理和基本不等式得出,再利用正弦定理,即可得出.【詳解】因為,則,由余弦定理得:,當且僅當時取等號,又因為,,所以.故答案為:.【點睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應用,以及基本不等式求最值,考查計算能力.14.【解析】
作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的最小值為,確定出的值,進而確定出C點坐標,結(jié)合目標函數(shù)幾何意義,從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi),由得可知,直線的截距最大時,取得最小值,此時直線為,作出直線,交于A點,由圖象可知,目標函數(shù)在該點取得最小值,所以直線也過A點,由,得,代入,得,所以點C的坐標為.等價于點與原點連線的斜率,所以當點為點C時,取得最小值,最小值為,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題,在解題的過程中,注意正確畫出約束條件對應的可行域,根據(jù)最值求出參數(shù),結(jié)合分式型目標函數(shù)的意義求得最優(yōu)解,屬于中檔題目.15.【解析】
利用正弦定理邊化角可得,從而可得,進而求解.【詳解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因為,所以,因為,所以,故答案為:【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式,屬于基礎題.16.-189【解析】由二項式定理得,令r=5得x5的系數(shù)是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)或.【解析】
(1)由拋物線的準線方程求出的值,確定左焦點坐標,再由點F到直線l:的距離為4,求出即可;(2)設直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,運用根與系數(shù)關系和弦長公式,以及兩直線垂直的條件和中點坐標公式,即可得到所求直線的方程.【詳解】(1)拋物線的準線方程為,,直線,點F到直線l的距離為,,所以橢圓的標準方程為;(2)依題意斜率不為0,又過點,設方程為,聯(lián)立,消去得,,,設,,,,線段AB的中垂線交直線l于點Q,所以橫坐標為3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直線方程為或.【點睛】本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系,要熟練應用根與系數(shù)關系、相交弦長公式,合理運用兩點間的距離公式,考查計算求解能力,屬于中檔題.18.(1)(i)83.;(ii)272.(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)原始分數(shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間,結(jié)合所給示例,即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;根據(jù)正態(tài)分布滿足N60,122(2)根據(jù)各等級人數(shù)所占比例可知在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25,由二項分布即可求得X【詳解】(1)(i)設小明轉(zhuǎn)換后的物理等級分為x,93-8484-82求得x≈82.64.小明轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?3分;(ii)因為物理考試原始分基本服從正態(tài)分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在區(qū)間72,84的人數(shù)為2000×0.136=272(人);(2)由題意得,隨機抽取1人,其等級成績在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25隨機抽取4人,則X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列為X01234P812162169616數(shù)學期望EX【點睛】本題考查了統(tǒng)計的綜合應用,正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法,分布列及數(shù)學期望的求法,文字多,數(shù)據(jù)多,需要細心的分析和理解,屬于中檔題。19.(1)(2);【解析】
(1),,可得為公比為2的等比數(shù)列,可得為公差為1的等差數(shù)列,再算出,的通項公式,解方程組即可;(2)利用分組求和法解決.【詳解】(1)依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列,為公差為1的等差數(shù)列,由,得解得故數(shù)列,的通項公式分別為.(2),.【點睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項和,考查學生的計算能力,是一道中檔題.20.(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系,設,求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解
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